2021-2022学年高二物理竞赛数学物理方法课件.pptx

数学物理方法2第三章内容概述3.1 复数项级数3.2 幂级数3.3 泰勒级数展开3.6 孤立奇点分类3.5 洛朗级数展开3.4 解析延拓基础推广特殊的幂级数00)(kkkzza应用应用3本节课内容l3.1 复数项级数l3.2 幂级数3.1 复数项级数收敛 绝对收敛 一致收敛 绝对一致收敛数列的收敛l无穷数列ak收敛，是指aakklim即，存在一个a，使得对任意e 0，存在一个N，使得任意 kN 时，有| aka|0，存在一个N，使得任意 n, m N 时，有 | aman|0，存在一个N，使得任意 n, m N 时，有 | AmAn|0，存在一个N，使得任意 n N 和任意正整数p，有pnnkknmpnkkpnmnkknaAAaAAaApnm100- , , 则设epnnkka1柯西收敛判据是充要条件收敛的定义的比较l无穷数列ak收敛，是指l无穷级数 收敛，是指“部分和”数列An收敛，即aakklim0kkankknnnaAAA0,lim其中，011 kkn是个发散级数。是个收敛数列，级数例：复数项级数kkkkkkivuwwwwww.2100nkknkknviuAn00 1项和前，就表示为的极限亦即数列的极限级数)(0nnkkAwnkknnkknnkknviuw000limlimlim实数+，还是实数，虚数+，还是虚数。实部与虚部独立。复数项级数的收敛判据1.变为实部、虚部，分别按照实数的情况判断。2.直接对复数级数使用柯西收敛判据。3.判断级数绝对收敛。绝对收敛必收敛。对任意e 0，存在一个N，使得任意 n N 和任意正整数 p，有epnnkkw1绝对收敛l绝对收敛是指正实数项数列 收敛l绝对收敛必收敛，反之不然。绝对收敛是收敛的充分但不必要条件，数值进行了处理（取模），相当于进行了一次缩放。0kkw“有效缩放”法判断绝对收敛l找到一个正实数项组成的收敛级数（显然它也是绝对收敛的），使得对的每一项有 |wk| mk， 称为原级数的一个“有效缩放”。0kkm绝对收敛。收敛，即则00 kkkkww0kkw0kkm缩放法收敛判据. . 210021002100mmmmwwwwwwwwkkkkkk 有效缩放：更大一点的、正实数项、收敛级数绝对收敛绝对收敛的性质l绝对收敛必收敛，反之不然。l求和各项先后顺序可变，结果不变。l绝对收敛的两个级数，可以多种方法求和：ABqpqpqpnnkknkkllkllkk000000改变次序，和不变 . .021120011000002322211312113222123121110032132100qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqqqpppqpnnkknkkllkllkk或者ABqpqpqpnnkknkkllkllkk000000复函数项级数kkkkkkivuwwwwww.2100nkknkknviuAn00 1项和前，就表示为的极限亦即数列的极限级数)(0nnkkAwnkknnkknnkknviuw000limlimlim变量w、u、v、A都理解关于复数z的定义在区域B（或曲线l）上的复变函数。复函数项级数1.变为实部、虚部，分别按照实函数的情况判断。2.直接对复数级数使用柯西收敛判据。3.判断函数项级数绝对收敛。绝对收敛必收敛。4.判断函数项级数一致收敛。一致收敛必收敛。5.判断函数项级数绝对一致收敛。绝对一致收敛，则必一致收敛，必绝对收敛，必收敛。复函数项级数的柯西收敛判据对B上的任意一点z，对任意e 0，存在一个N(z,e ，使得任意 n N 和任意正整数 p，有epnnkkzw1)(收敛的充分必要条件：函数项级数 )( 0kkzw柯西收敛判据的比较复数函数项级数：对B上的任意一点z，对任意e 0，存在一个N(z,e ，使得任意 n N 和任意正整数 p，有epnnkkzw1)(复数项级数：对任意e 0，存在一个N(e ，使得任意 n N 和任意正整数 p，有epnnkkw1一致收敛复数函数项级数：对任意e 0，存在一个与z无关的N(e ，使得任意 n N 和任意正整数 p，有epnnkkzw1)(对所有的z都成立。则称级数一致收敛。一致收敛l一致收敛的意思，就是对所有的z点，收敛趋势一致，可以用同样的N，来反映收敛速度。l一致收敛是仅对函数项数列而言的，对数据项数列，没有一致收敛的提法。复数函数项级数的一致绝对收敛通过找到一个“有效缩放”，来证明一个复数函数项级数 的一致绝对收敛。即找到一个正实数项组成的一个收敛级数使得每一项有 |wk(z)| mk (任意z)，0kkm绝对一致收敛。一致收敛，即则 )( 00kkkkwzw 0kkw一致收敛级数的性质一致收敛，则：复函数项级数 )()( 0kkzwzw1.若每一项都是连续函数，则w(z)也是连续函数。2.连续函数可以逐项积分，单值解析函数可以逐项求导。 0)()(00)()( d )(d)(d)(kmkmklklkklzwzwzzwzzwzzw3.2 幂级数收敛圆：我的地盘我做主。幂级数的定义l复数函数项级数l幂级数.)()( )(.)( )( )( )(202010002100zzazzaazzazwzwzwzwkkkkk每一项都是全平面的解析函数幂级数绝对收敛的判据正实数项级数 收敛的判据：l判据1：比值判别法（达朗伯判别法）l判据2：根式判别法1lim1kkkmm1limkkkm0kkm幂级数绝对收敛的判据正项实数级数收敛的判据，对l判据1：比值判别法（达朗伯判别法）l判据2：根式判别法00)(kkkzza1)(lim)()(lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1lim)(lim00zzazzakkkkkkk收敛圆l比值判别法要求即幂级数 在收敛圆的内部绝对收敛。R称为收敛半径。1lim01zzaakkkRaazzkkk10lim（这里要求极限存在）00)(kkkzzaRzz0定义为收敛圆l 对于幂级数收敛圆内部 |zz0|R, 上述比值小于1，即每一项的模越来越小，级数收敛；反之，收敛圆外，每一项的模越来越大，级数发散。圆上则不确定。Rzzzzaawwkkkkkk0011limlim000)(kkkkkwzza根式判别法的收敛半径l比值判别法要求即l比较Razzkkk1lim0（这里要求极限存在）1lim)(lim00zzazzakkkkkkk1limkkkaaR讨论l比值判别法和根式判别法是级数收敛的充分条件，但不是必要条件。例如例2中的幂级数1 z2 + z4 z6 +，可写出ak=1 (k=4n)， ak=1 (k=4n+2)， ak=0 (k=4n+1或4n+3)，显然下面两个极限都不存在：l这两种方法可以按照需要选一个来计算收敛半径，效果一样。kkkkkkaaa1lim lim1和l可以验证，正的常数项数列 是的一个有效缩放，因此说，在圆的内部，一致绝对收敛。“圆的内部”绝对一致收敛l圆的内部，是指比圆小的任意一个闭区域 。l圆|z-z0|R的内部一个闭区域 ，存在一个闭的内圆 |z-z0|R1R，使得 包含于这个内圆中。00)(kkkzzaBBBB01kkkRa