学案7中国古代数学中的算法案例.ppt
开始学案7中国古代数学中的算法案例学点一学点二 1.用两数中较大的数减去较小的数,再用 和 构成新的一对数,再用大数减小数,以同样的操作一直做下去,直到产生,这个数就是最大公约数.2.古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是:用较大的数除以较小的数所得的 和 构成新的一对数,继续做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的数就是最大公约数.3.割圆术是我国魏晋时期的数学家 在注九章算术中采用.的一种方法.返回目录差数较小的数一对相等的数辗转相除法(欧几里得算法)余数 较小的数刘徽正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率3.把一个n次多项式f(x)=anxn anxna1x a0改写成如下形式:f(x)=anxnanxna1xa0=.=.=.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=.然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=,v3=,vn=,(anxn-1anxn2a1)xa0(anxn-2anxn3+a2)xa1)xa0 v0 xanv2xan3v1xan2vn-1xa0返回目录(（(anxan)x an2)xa1)xa0 返回目录这样,求n次多项式f(x)的值就转化为.上述方法称为秦九韶算法.观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,我们可以得到公式:.这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用 来实现.求n个一次多项式的值 vo=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,n)循环结构 返回目录学点一 求最大公约数 用更相减损之术求98和63的最大公约数.【分析】由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减.【解析】98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=14,14-7=7，所以98和63的最大公约数为7.【评析】等值算法是当大数减去小数的差等于小数时停止减法,较小的数就是所求的最大公约数.设计程序,求两正整数m,n的最小公倍数.解：由于m,n的最小公倍数,即为m与n的乘积除以m与n的最大公约数.因此,可先求出m与n的最大公约数,再用m n去除以这个最大公约数即可.程序如下:m=input(“m=”)n=input(“n=”)S=m*n;while mn if mn m=m-n;else n=n-m;end end T=print(%io(2),T)返回目录返回目录学点二 秦九韶算法用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x在x=3时的值.【分析】明确项数与次数正确改写所给多项式从内向外逐次求值.【解析】f(x)=(7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,v0=7，v1=73+6=27,v2=273+5=86,v3=863+4=262,v4=2623+3=789,v5=7893+2=2 369,v6=2 3693+1=7 108,v7=7 1083=21 324,f(3)=21 324.返回目录【评析】利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外逐次计算,由于后项计算需用到前项的结果,故应认真、细心,确保中间结果的准确性.返回目录求多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1当x=-2时的值.解：先改写多项式,再由内向外计算.f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1=(x+5)x+10)x+10)x+5)x+1.而x=-2,所以有:v0=1,v1=v0 x+a4=1(-2)+5=3,v2=vx+a3=3(-2)+10=4,v3=v2x+a2=4(-2)+10=2,v4=v3x+a1=2(-2)+5=1,v5=v4x+a0=1(-2)+1=-1.1.如何理解三个算法案例?(1)更相减损之术 所谓更相减损之术,就是对于给定的两个数,以两数中较大的数减去较小的数,然后将所得的差和较小的数构成一对新数,再用这对新数中的较大的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较小的数相等为止,此时相等的数便为原来两个数的最大公约数.所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大数被小数除尽,这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.返回目录返回目录(2)割圆术 是数学上最重要的常数之一,我国古代数学家在割圆术上取得了巨大的成就.通过学习割圆术,同学们可以尝试着计算的近似值.特别将不足近似值和过剩近似值相结合,通过近似值的上下限S2nSS2n+(S2n-Sn)(n=6,12,).(3)秦九韶算法 秦九韶算法是求一元n次多项式的一种算法,通过一次多项式的反复计算,逐步得出高次多项式的值,对于一个n次多项式,只需做n次乘法和n次加法即可.返回目录 2.中国古代数学中的算法案例学习的意义是什么?我国古代数学中算法的内容十分丰富,成就辉煌.课本中的更相减损之术、割圆术、秦九韶算法，就是很好的代表.我国古代数学主要特征是算法化,现代信息技术的发展也使算法焕发了生机.通过本部分的学习,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强民族自豪感,努力学习,为国家的发展贡献力量.1.学习更相减损之术与辗转相除法时,要注意两种方法的相通之处.2.要深切体会刘徽的“割之弥细，所失弥少”的思想方法,利用正多边形面积随边数增多,逐渐逼近圆面积来计算圆周率.3.学习秦九韶算法时,注意通过分析秦九韶算法的运算次数,感悟算法思想的优越性和先进性,算法的关键是采用逐步提出因式x的方法对多项式进行改写.学习过程中应注意研究分析教材中三个例子的算法设计思路,体会算法的道理所在.比较一下第二个和第三个例子中,算法和直接计算之间的区别,从中体会算法学习的必要性.返回目录 一样的软件 不一样的感觉 一样的教室 不一样的心情 一样的知识 不一样的收获
