第2讲插值法与曲线拟合优秀课件.ppt
第2讲插值法与曲线拟合第1页，本讲稿共36页主要内容n 插值法u 拉格朗日插值u 差商与差分u 牛顿插值公式u 逐次线性插值法u 三次样条插值 n 曲线拟合u 曲线拟合的最小二乘法第2页，本讲稿共36页2.1 插值法n 在实际问题中，我们会遇到两种情况u 变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值 例如:从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据u 变量间的函数关系可以表示,但计算复杂,只能计算特殊点的函数值 例如:求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等n 为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。第3页，本讲稿共36页2.1 插值法设函数 在区间 上有定义,已知在点 上的函数值,即。插值问题:求一个简单函数 使得插值条件插值函数插值节点如果是多项式,则称为插值多项式求插值函数的方法称为插法 a,b称为插值区间如何构造P(x)?第4页，本讲稿共36页2.1 插值法设函数 在区间 上有定义,已知在点 上的函数值,即。n k y x Pk k,.,2,1,0,)(=是否存在多项式 使得当n=0时,只有一个插值节点的情形 当n=1时,有两个插值节点的情形当n=2时,有三个插值节点的情形插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过 n 的多项式集合 中，满足插值条件的插值多项式 是存在并且唯一的。是否任意给定n+1个不同的插值 节点都可以构造出满足插值条件的插值多项式?第5页，本讲稿共36页2.1 插值法n 例1:给定数据表如下(1)用一次插值多项式计算 f(0.7)的近似值(2)用二次插值多项式计算 f(0.7)的近似值(3)用三次插值多项式计算 f(0.7)的近似值x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f(x)21 25 23 20 21 24求三次插值多项式要解一个四阶线性方程组,计算量大太了,有没有更简便的办法?第6页，本讲稿共36页2.1 插值法n 拉格朗日(Lagrange)插值多项式例2:数据如例1,应用拉格朗日多项式重新计算(1)(2)(3)拉格朗日插值的优缺点:公式结构紧凑,在理论分析中方便,但如遇节点增减,所有数据需全部重算第7页，本讲稿共36页2.1 插值法n 牛顿(Newton)插值多项式u 记函数 在 的值，称 为 关于 的零阶差商。u 称 为函数 关于点 的一阶差商u 一般地，关于 的 k阶差商 为第8页，本讲稿共36页2.1 插值法n 差商表一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差例3:数据如例1 写出差商表,应用牛顿插值多项式重新计算(1)(2)(3)第9页，本讲稿共36页2.1 插值法n 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长。n 在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化。第10页，本讲稿共36页2.1 插值法n 差分的定义 称为在 处以 为步长的向前差分 称为在 处以 为步长的向后差分 称为在 处以 为步长的中心差分n 下面以向前差分为例,向后差分和中心差分的情形相似n 用一阶差分可以定义二阶差分n 一般地可定义 m 阶差分为第1 1页，本讲稿共36页2.1 插值法n 差分表牛顿向前差分插值公式例4:数据如例1 写出差分表,应用上式重新计算(1)(2)(3)第12页，本讲稿共36页2.1 插值法n 高次插值的病态性质 对于一个确定的区间,插值节点越多,插值多项式的次数越高插值。20世纪初，Runge(龙格)就给出了一个等距节点插值多项式 不收敛到 的例子。n 设，在区间 上取 个等距节点,构造拉格朗日插值多项式为 其中第13页，本讲稿共36页2.1 插值法n 龙格现象如何避免高次插值的病态问题?一种可行的办法是采取分段低次插值第14页，本讲稿共36页2.1 插值法n 分段线性插值:从几何上看，就是用折线逼近曲线。n 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为，记 则 的分段线性插值函数定义为:在区间 上 显然有第15页，本讲稿共36页2.1 插值法分段线性插值示意图例5:数据如例1,应用分段线性插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值第16页，本讲稿共36页2.1 插值法n 分段二次插值:n 设 是区间 上的函数，在节点 上的函数值为，记 则 的二次插值函数定义为:在区间 上显然有第17页，本讲稿共36页2.1 插值法分段二次插值示意图例6:数据如例1,应用分段二次插值计算f(0.5),f(0.75)的近似值第18页，本讲稿共36页2.1 插值法n 三次样条插值函数n 定义：对于区间 上给定的一个分划 如果函数 在子区间 上都是不超过3次的多项式，并且 2 阶导数 在内节点 处连续，则称 为区间 上以 为节点的三次样条函数。n 对于函数，若 还满足插值条件：则称 为 在区间 上的 三 次样条插值函数。第19页，本讲稿共36页2.1 插值法n 三次样条插值示意图:例7:数据如例1x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f(x)21 25 23 20 21 24如何求三次样条插值函数?第20页，本讲稿共36页2.1 插值法n 三次样条 是节点 上的分段三次多项式，故可写成:其中 为待定系数，共有 个未知数，而 应满足的条件为：(1)插值和函数连续条件 个；(2)内节点处一阶导数连续 个条件；(3)内节点处二阶导数连续 个条件；n 总共由 个条件，因此，要确定 个系数，还需要附加两个条件。用待定系数法需要解一个4n阶的线性议程组,有没有更简便 的方法?第21页，本讲稿共36页2.1 插值法n 求三次样条插值函数的三弯矩算法n 记n 经过推导可得n 根据 的一阶导数在内节点的连续性,可得到第22页，本讲稿共36页2.1 插值法n 在实际应用中，我们一般使用如下三种类型的条件。n(1)固支条件:即已知两个端点的一阶导数值n(2)已知两个端点的二阶导数值:特别地，当 时称为自然边界条件n(3)周期条件:同时要求第23页，本讲稿共36页2.1 插值法n 应用第一种边界条件得到的三弯矩方程第24页，本讲稿共36页2.1 插值法n 应用第二种边界条件得到的三弯矩方程第25页，本讲稿共36页2.1 插值法n 例8:设 给定边界条件 试求三次样条函数 解：先求出三弯矩方程的参数:于是，三弯矩方程组为:求出的解为:第26页，本讲稿共36页2.1 插值法n 代入 的分段表示式，得到:边界条件修改为f(0)=-1,f(3)=1时得到的三次样条曲线边界条件为f(0)=0.2,f(3)=-1第27页，本讲稿共36页2.1 插值法n 练习 给定数据表如下(同例1),求三次样条函数 S(x)(1)边界条件为 f(0.2)=0,f(1.2)=0(2)边界条件为 f(0.2)=-20,f(1.2)=20(3)边界条件为 f(0.2)=0,f(1.2)=0 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f(x)21 25 23 20 21 24474.4,-348.8,20.8,115.6,117,-283.5(1)819.9,-439.7,39,133.7,26.1,62(2)0,-220.3,-18.7,145,38.8,0(3)第28页，本讲稿共36页曲线拟合的最小二乘法:在中 找一函数,使得误差平方和 最小。这里2.2 曲线拟合的最小二乘法设函数 在区间 上有定义,已知在离散点 上的实验数据。上的线性无关函数族。第29页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法n 通常在最小二乘法中 都考虑为加权平方和 这里 是a,b上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同,例如 可表示在 点处重复观测的次数。n 求解最小二乘拟合问题的方法(1)计算向量加权内积(2)列出法方程(正规方程)(3)得到解向量 即 第30页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法n 例9 考虑下表给出的离散点i xiyixi2xi yiS*(xi)0 1 1.3 1 1.3 1.241 2 3.5 4 7.0 2.762 3 4.2 9 12.6 4.283 4 5.0 16 10.0 5.794 5 7.0 25 35.0 7.315 6 8.8 36 52.8 8.836 7 10.1 49 70.7 10.347 8 12.5 64 100.0 11.868 9 13.0 81 117.0 13.389 10 15.6 100 156.0 14.8910 11 16.1 121 177.1 16.41 66 97.1 506 749.5第31页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法S*(x)=-0.276+1.517 x第32页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法n 例10 考虑下表给出的离散点xiyi0 1.00000.25 1.28400.50 1.64870.75 2.11701.00 2.7183xiyi-S*(xi)0-0.00520.25 0.01000.50 0.00050.75-0.01091.00 0.0053S*(x)=1.0052+0.8641 x+0.8437 x2第33页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法n 例11 考虑下表给出的离散点n 可以假设模型为 从而 即 是 和 的线性组合i xiyiln yixi2xjln yi0 1.00 5.10 1.629 1.0000 1.6291 1.25 5.79 1.756 1.5625 2.1952 1.50 6.53 1.876 2.2500 2.8143 1.74 7.45 2.008 3.0625 3.5144 2.00 8.46 2.135 4.0000 4.270第34页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法正规方程如下:解得:拟合曲线为:i xiyiS*(xi)0 1.00 5.10 5.091 1.25 5.79 5.782 1.50 6.53 6.563 1.74 7.45 7.444 2.00 8.46 8.44试一试直接用a0+a1x或a0+a1x+a2x2进行拟合,比较一 下哪种模型更精确?第35页，本讲稿共36页2.2 曲线拟合的最小二乘法S*1(x)=1.6238+3.365953 xS*2(x)=3.5171+0.693376 x+0.89113 x2S*(x)=3.071 exp(0.5056 x)在各种模型下拟合曲线的比较第36页，本讲稿共36页
