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一次函数与几何图形综合专题 总论：函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能 使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据 已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何 元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九 年级解决中考压轴题所必须具备的。1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标 4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据 2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据 3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较 复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数 学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的 解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需 求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过 解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方 程或方程组；3.注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽 1 b b y1 与 y2 平行；y1 与 y2 重合.b b b b 1 象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用 函数方法可以解决许多数学问题函数与几何结合的综合题中往往注意考查学生的分类讨论的数学思想，因 此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进行缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的 一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。4.用数形结合的思想。数 形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合 法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们 的辩证统一表现在：“数”可以准确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数形 结合的思想来解 5.运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的 综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识”转化为 旧知 识”，把“未 知”化 为“已 知”，把“抽 象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简单”的问题，可以大胆地说，不掌握转化 的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。知识规律小结：（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k0）位置的影响 当 b 0 时，直线与 y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b 0 时，直线与 y 轴的负半轴相交 当 k，b 异号时，即-b k 0 时，直线与 x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即-b k=0 时，直线经过原点；b 当 k，b 同号时，即-0 时，直线与 x 轴负半轴相交 k 当 k O，b O 时，图象经过第一、二、三象限；当 k 0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 b O，b O 时，图象经过第一、三、四象限；当 k O，b 0 时，图象经过第一、二、四象限；当 k O，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 b O，b O 时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（k0）与直线 y=kx(k0)的位置关系 直线 y=kx+b(k0)平行于直线 y=kx(k0)当 b 0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线 y=kx+b；当 b O 时，把直线 y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2（k10，k20）的位置关系 k1k2 y1 与 y2 相交；k k 1 2 y 与 y 相交于 y 轴上同一点（0，b）或（0，b）；1 2 1 2 1 2 k k,k k,1 2 1 2 2 1 2 2 k1=1 y=1 例题精讲：1.已知，如图，在平面直角坐标系内，点 A 的坐标为（0，24），经过原点的直线 l1 与经过点 A 的直线 l2 相 交于点 B，点 B 坐标为（18，6）（1）求直线 l1，l2 的表达式；（2）点 C 为线段 OB 上一动点（点 C 不与点 O，B 重合），作 CD y 轴交直线 l2 于点 D，过点 C，D 分别 向 y 轴作垂线，垂足分别为 F，E，得到矩形 CDEF 设点 C 的纵坐标为 a，求点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示）；若矩形 CDEF 的面积为 108，求出点 C 的坐标 l2 y A l2 y A B l1 E D B l1 O x F O C x 解：（1）设直线 l1 的表达式为 y=k1x 点（18，6）在直线 l1 上 6=18k1 3 3 x 设直线 l2 的表达式为 y=k2x+b 点 A（0，24），B（18，6）在 l2 上 待定系数法可得直线 l2 的解析式为：y=-x+24（2）点 C 在直线 l1 上，且点 C 的纵坐标为 a x=3a，点 C 的坐标为（3a，a）CD y 轴 点 D 的横坐标为 3a 点 D 在直线 l2 上，y=-3a+24 D（3a，-3a+24）C（3a，a），D（3a，-3a+24）CF=3a，CD=-3a+24-a=-4a+24 矩形 CDEF 的面积为 108 S 矩形CDEF=CF CD=3a（-4a+24）=108，解得 a=3 当 a=3 时，3a=9 3 C 点坐标为（9，3）2如图所示，直线 L：y mx 5m 与 x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于 A、B 两点。（1）当 OA=OB 时，试确定直线 L 的解析式；（2）在(1)的条件下，如图所示，设 Q 为 AB 延长线上一点，作直线 OQ，过 A、B 两点分别作 AMOQ 于 M，BNOQ 于 N，若 AM=4，BN=3，求 MN 的长。(3)当 m 取不同的值时，点 B 在 y 轴正半轴上运动，分别以 OB、AB 为边，点 B 为直角顶点在第一、二象限 内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE，连 EF 交 y 轴于 P 点，如图。问：当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想 PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。第 2 题图 第 2 题图 第 2 题图 考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定 专题：代数几何综合题 分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由 OA=OB 得到启发，证明 AMO ONB，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求 PB 的长 解答：解：（1）直线 L：y=mx+5m，A（-5，0），B（0，5m），由 OA=OB 得 5m=5，m=1，直线解析式为：y=x+5（2）在 AMO 和 OBN 中 OA=OB，OAM=BON，AMO=BNO，AMO ONB AM=ON=4，BN=OM=3 如图，作 EK y 轴于 K 点 ABO BEK，OA=BK，EK=OB PBF PKE，PK=PB（3）先证 再证 PB=1 1 5 BK=OA=2 2 2 点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次 函数图象的实际应用问题 4 2 P2 3.如 图，直 线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点，直 线 l 与直线 l 关于 x 轴 对 称，已 知 直 线 l 的解析式为 y x 3 1 2 1 1（1）求直线 l 的解析式；（3 分）（2）过 A 点在 ABC 的外部作一条直线 l，过点 B 作 BE l 于 E,过点 C 作 CF l 于 F 分别，请画出图形并 3 3 3 求证：BE CF EF（3）ABC 沿 y 轴向下平移，AB 边交 x 轴于点 P，过 P 点的直线与 AC 边的延长线相交于点 Q，与 y 轴相交 与点 M，且 BP CQ，在ABC 平移的过程中，OM 为定值；MC 为定 值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并 y 求出其值。（6 分）B y l 1 y A 0 x A 0 x A 0 x M C l 2 C C 考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质 Q 分析：（1）根据题意先求直线 l1 与 x 轴、y 轴的交点 A、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线 l 的上点 C 的坐标，用待定系数法求直线 l2 的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明 BEA AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明 BE+CF=EF；（3）首 先 过 Q 点作 QH y 轴于 H，证明 QCH PBO，然后根据全等三角形的性质和 QHM POM，从而得 HM=OM，根据线段的和差进行计算 OM 的值 解答：解：（1）直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（-3，0），B（0，3），直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称，C（0，-3）直线 l2 的解析 式为：y=-x-3；（2）如图 1 答：BE+CF=EF 直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称，AB=BC，EBA=FAC，BEl3，CF l3 BEA=AFC=90 BEA AFC BE=AF，EA=FC，BE+CF=AF+EA=EF；（3）对，OM=3 过 Q 点作 QH y 轴于 H，直线 l2 与直线 l1 关于 x 轴对称 POB=QHC=90，BP=CQ，又 AB=AC，ABO=ACB=HCQ，则 QCH PBO（AAS），QH=PO=OB=CH QHM POM HM=OM OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM 4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且 a、b 满 OM=足 1 2 BC=3（a 2)2 b 4 0.(1)求直线 AB 的解析式；(2)若点 M 为直线 y=mx 上一点，且 ABM 是以 AB 为底 形，求 m 值；5 的等腰直角三角(3)过 A 点的直线 y kx 2k 交 y 轴于负半轴于 P，N 点的横坐标为-1，过 N 点的直线 y k k x 交 2 2 AP 于点 M，试证明 PM PN AM 的值为定值 考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数 解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 分析：（1）求出 a、b 的值得到 A、B 的坐标，设直线 AB 的解析式 y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当 BM BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，证 BMN ABO（AAS），求出 M 的坐标 即 可；当 AM BA，且 AM=BA 时，过 M 作 MN X 轴于 N，同 法 求 出 M 的 坐 标；当 AM BM，且 AM=BM 时，过 M 作 MN X 轴于 N，MH Y 轴于 H，证 BHM AMN，求出 M 的坐标即可（3）设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，求出 H、G 的 坐 标，证 AMG ADH，AMG ADH DPC NPC，推 出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案 解答：解：（1）要使（a 2)2 b 4 0 有意义，必须（a-2）2=0，b-4=0，a=2，b=4，A（2，0），B（0，4），设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4，函数解析式为：y=-2x+4，答：直线 AB 的解析式是 y=-2x+4（2）如图 2，分三种情况：6 答：m 的值是 3 由 y=k 又因为 N 点的横坐标为-1，且在 y=k 如图（1）当 BM BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，BMN ABO（AAS），MN=OB=4，BN=OA=2，ON=2+4=6，M 的坐标为（4，6），代入 y=mx 得：m=3 2，如图（2）当 AM BA，且 AM=BA 时，过 M 作 MN X 轴于 N，BOA ANM（AAS），同理求出 M 的坐标为（6，2），m=1 3，当 AM BM，且 AM=BM 时，过 M 作 MN X 轴于 N，MH Y 轴于 H，则 BHM AMN，MN=MH，设 M（x，x）代入 y=mx 得：x=mx，（2）m=1，1 或 或 1 2 3（3）解：如图 3，结论 2 是正确的且定值为 2，设 NM 与 x 轴的交点为 H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为 G，HD 交 MP 于 D 点，k x-与 x 轴交于 H 点，2 2 H（1，0），由 y=k k x-与 y=kx-2k 交于 M 点，2 2 M（3，K），而 A（2，0），A 为 HG 的中点，AMG ADH（ASA），k x-上，2 2 可得 N 的纵坐标为-K，同理 P 的纵坐标为-2K，ND 平行于 x 轴且 N、D 的横坐标分别为-1、1 N 与 D 关于 y 轴对称，AMG ADH DPC NPC，PN=PD=AD=AM，PM-PN AM=2 7 点评：本 题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的 解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和 计算是解此题的关键 5.如图，直线 AB 交 X 轴负半轴于 B（m，0），交 Y 轴负半轴于 A（0，m），OCAB 于 C（-2，-2）。(1 求 m 的值；(2 直线 AD 交 OC 于 D，交 X 轴于 E，过 B 作 BFAD 于 F,若 OD=OE，求 BF AE 的值；(3 如图，P 为 x 轴上 B 点左侧任一点，以 AP 为边作等腰直角APM，其中 PA=PM，直线 MB 交 y 轴于 Q，当 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若 变化，说明理由。解答：（1）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，将点（m,0）代入方程得 k=-1，则方程可写为 y=-x+m 再将点 C(-2,2)代入方程得-2(-1)(-2)+m,即 m=-4 过C作OB的垂线，垂足为G OB OA AOB为等腰直角三角形 CBO 45 CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形 GB OG CG 2 m-4（2）直线 AD 交 OC 于 D，交 X 轴于 E，过 B 作 BFAD 于 F,若 OD=OE，求 BF 的值；AE 8 AF AF（公共边）BAF FAH(已证)BO AO（已知）BOH AOE 90 HBO FAH（同角的余角相等）OE OD OED ODE FEB OED，ADC ODE(对顶角相等)ADC FEB HBO CAD CAD FAH 在 AFB和 AFH中 AFB AFH 90 AFB AFH（ASA）BF HF(全等三角形对应边相等)在 BOH和 AOE中，HBO EAO（已证）BOH AOE（ASA）BH AE（全等三角形对应边相等）BH BF BH 2BF BF BF BF 1 AE BH 2BF 2（3）如图，P 为 x 轴上 B 点左侧任一点，以 AP 为边作等腰直角APM，其中 PA=PM，直线 MB 交 y 轴于 Q，当 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说 明理由。9 线段 OQ 的长度不变 如图，过 P 作 x 轴的垂线交 AB 的延长线为 N，PM=PA,PB=PN,NPA=BPM,NPABPM（边角边），则有PMB=PAN=PAB，由题意可知OAB=ABO=45，OAP+APO=OAB+PAB+APB=90 MPA，在 PMB 中PMB+MBP+MPB=PMB+MBP+MPA+APB=180 PMB+MBP+APB=180-MPA=90 MBP=90-PMB-APB=90-PAB-APB=90-(90-OAB)45 所以MBA=180-ABO-MBP=180-45-45=90 故直线 MB 与直线 AB 互相垂直，所以线段 OQ 值不变（直线 AB 固定）。向左转|向右转 10（3）设点 D（x，-1-1 6.在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b 的图像过点 B（-1，5 2），与 x 轴交于点 A（4,0），与 y 轴交于 点 C，与直线 y=kx 交于点 P，且 PO=PA（1）求 a+b 的值；（2）求 k 的值；（2）（3）D 为 PC 上一点，DF x 轴于点 F，交 OP 于点 E，若 DE=2EF，求 D 点坐标.考点：一次函数与二元一次方程（组）专题：计算题；数形结合；待定系数法 分析：（1）根据题意知，一次函数 y=ax+b 的图象过点 B（-1，5 2）和点 A（4，0），把 A、B 代入求值即可；（2）设 P（x，y），根据 PO=PA，列出方程，并与 y=kx 组成方程组，解方程组；1 1 x+2），因为点 E 在直线 y=x 上，所以 E（x，x），F（x，0），再根据等量 2 2 2 关系 DE=2EF 列方程求解 解答：解：（1）根据题意得：5=-a+b 2 0=4a+b 解方程组得：a=1 2，b=2 a+b=-1 3 3+2=，即 a+b=；2 2 2（2）设 P（x，y），则点 P 即在一次函数 y=ax+b 上，又在直线 y=kx 上，由（1）得：一次函数 y=ax+b 的解析式是 y=-又 PO=PA，x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=1 x+2，2 1 2 x+2，解方程组得：x=2，y=1，k=1 1 k 的值是；2 2 1 1（3）设点 D（x，-x+2），则 E（x，x），F（x，0），2 2 DE=2EF，1 1 x+2-x=2 x，2 2 2 解得：x=1，则-1 1 3 x+2=-1+2=，2 2 2 3 D（1，）2 点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系 11 DH=AC AB=2 3 DB=AB=3 BC=2 ABC=30 7.在直角坐标系中，B、A 分别在 x，y 轴上，B 的坐标为（3，0），ABO=30，AC 平分 OAB 交 x 轴于 C；(1)求 C 的坐标(2 若 D 为 AB 中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC(3)若 D 为 AB 上一点，以 D 作 DEC，使 DC=DE，EDC=120，连 BE，试问EBC 的度数 是否发生变化；若不变，请求值。.在直角坐标系中，B、A 分别在 x，y 轴上，B 的坐标为（3，0），ABO=30，AC 平分 OAB 交 x 轴于 C；解：AOB=90 ABO=30 OAB=30 又 AC 是OAB 的角平分线 OAC=CAB=30 OB=3 OA=3 OC=1 即 C(1，0)（1）若 D 为 AB 中 点，EDF=60，证 明：CE+CF=OC 证明：取 CB 中点 H，连 CD,DH AO=3 CO=1 AC=2 又D,H 分别是 AB,CD 中点 1 2 1 2 BC=2 CD=2 CDB=60 CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60 EDC=FDH AC=BC=2 CD AB ADC=90 CBA=30 ECD=60 HD=HB=1 DHF=60 在 DCE 和 DHF 中 12 DC EDC=FDH DCE=DHF DC=DH DCE DHF(AAS)CE=HF CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 CH=OC OC=CE+CF（2）若 D 为 AB 上一点，以 D 作DEC，使 DC=DE，EDC=120，连 BE，试问EBC 的 度数是否发生变化；若不变，请求值。解：不变 EBC=60 设 DB 与 CE 交与点 G DC=DE EDC=120 DEC=DCE=30 在 DGC 和 DCB 中 CDG=BDC DCG=DBC=30 DGC DCB DB=DG DC DC=DE DE DB=DG DE 在 EDG 和 BDE 中 DE DB=DG DE EDG=BDE EDG BDE DEG=DBE=30 EBD=DBE+DBC=60 8.如图，直线 AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点 B（0，b），且 a、b 满足 a 4+|4 b|=0（1）求 A、B 两点的坐标；（2）D 为 OA 的中点，连接 BD，过点 O 作 OE BD 于 F，交 AB 于 E，求证 BDO=EDA；13 y y B M B E F O A P x O D A x Q（3）如图，P 为 x 轴上 A 点右侧任意一点，以 BP 为边作等 腰 Rt PBM，其中 PB=PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x 轴上运动时，线段 OQ 的长是否发 生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.解答：解：a 4+|4-b|=0 a=4，b=4，0），B（0，4）；AOB 的角平分线，交 BD 于 G，BOG=OAE=45，OB=OA，OBG=AOE=90-BOF，BOG OAE，OG=AE GOD=A=45，OD=AD，GOD EDA GDO=ADE M 作 MN x 轴，垂足为 N BPM=90，MPN=90 MNP=90，PMN，PBO=MPN PBO MPN，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN，MAN=45 BAO=45，OAQ=90 腰直角三角形 OB=OQ=4 无论 P 点怎么动 OQ 的长不变 点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质（2）考查的是全等三角形的判定和性质（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质 14 A（4，（2）作（3）过 BPO+AOB=BPO=BP=MP，MN=OP，MN=AN，BAO+BAQ 是等 9.如图，平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x、y 轴上，点 B 的坐标为(0，1)，BAO=30（1）求 AB 的长度；（2）以 AB 为一边作等边 ABE，作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D求证：BD=OE（3）在（2）的条件下，连结 DE 交 AB 于 F求证：F 为 DE 的中点 y M E y E B O A x N D B O F A x D 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形 专题：计算题；证明题 分析：（1）直接运用直角三角形 30角的性质即可（2）连接 OD，易证 ADO 为等边三角形，再证 ABD AEO 即可（3）作 EH AB 于 H，先证 ABO AEH，得 AO=EH，再证 AFD EFH 即可 解答：（1）解：在 Rt ABO 中，BAO=30，AB=2BO=2；证明：连接 OD，ABE 为等边三角形，AB=AE，EAB=60，BAO=30，作 OA 的垂直平分线 MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D，DAO=60 EAO=NAB DO=DA，ADO 为等边三角形 DA=AO ABD 与 AEO 中，EAO=NAB，DA=AO ABD AEO（3）证明：作 EH AB 于 H（2）又 在 AB=AE，BD=OE AE=BE，AH=1 2 AB，BO=1 2 AB，AH=BO，BAO 中，Rt AEH Rt BAO，又 EHF=DAF=90，AFD 中，EFH=DFA，EH=AD 在 Rt AEH 与 Rt AH=BO，AE=AB EH=AO=AD 在 HFE 与 EHF=DAF，15 I HFE AFD，EF=DF F 为 DE 的中点 点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等 10.如图，直线 y=1 3 x+1 分别与坐标轴交于 A、B 两点，在 y 轴的负半轴上截取 OC=OB.(1)求直线 AC 的解析式；(2)在 x 轴上取一点 D（-1，0），过点 D 做 AB 的垂线，垂足为 E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点 的坐标；(3 过点 B 作 AC 的平行线 BM，过 点 O 作直线 y=kx（k 0），分 别 交 直 线 AC、BM 于点 H、，试 求 的值。AH BI AB 解：(1)直线 y=1 3 x+1 分别与 于 A、B 两点 可得点 A 坐标为（-3，0），点 B 坐标为（0，1）OC=OB 可得点 C 坐标为（0，-1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A（-3，0），C（0，-1）代入解析式 坐标轴交-3k+b=0 且 b=-1 可得 k=-1 3，b=-1 1 直线 AC 的解析式为 y=x-1 3(2)在 x 轴上取一点 D（-1，0），过点 D 做 AB 的垂线，垂足为 E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点 的坐标；解：GE AB k EG k AB 1 k GE=1 1 3=3 设直线 GE 的解析式为 y=-3x+b 将点 D 坐标（-1，0）代入，得 y=-3 b 0 16 4，4，F 点的坐标为（4，4）b 3 直线 GE 的解析式为 y=-3x-3 联立 y=1 3 x-1 与 y=-3x-3，可求出 x 3 将其代入方程可得 y=3 3 3(3)过点 B 作 AC 的平行线 BM，过点 O 作直线 y=kx（k 0），分别交直 线 AC、BM 于点 H、I，试求 AH BI AB 的值。解：过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N BM/AC OI OB OH OC OB=OC OI=OH O 为 IH 的中点 BM/AC NB=NA OI OH OI=OH NB=NA N 为 AB 中点 ON 是四边形 ABIH 的中位线 AH+BI=2ON N 是 AB 的中点，AOB 是直角三角形 AB=2ON（直接三角形斜边的中线等于斜边的一 半）AH+BI=AB AH BI AB=1 11.如图，直线 AB：y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A（6，0）、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 17（OB：OC=3：1.（1）求直线 BC 的解析式；（2）直线 EF：y=kx-k k0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存 在 这样 的直 线 EF，使得 S EBD=S FBD？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P 为 A 点右侧 x 轴上的一动点，以 P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K，当 P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式 专题：计算题 18 得 yF=FN=-yF，分析：代入点的坐标求出解析式 y=3x+6，利用坐标相等求出 k 的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐 标 解答：解：（1）由已知：0=-6-b，b=-6，AB：y=-x+6 B（0，6）OB=6 OB：OC=3：1，OC=OB 3=2，C（-2，0）设 BC 的解析式是 Y=ax+c，代入得；6=0a+c,0=-2a+c，解得：a=3,c=6，BC：y=3x+6 直线 BC 的解析式是：y=3x+6；（2）过 E、F 分别作 EM x 轴，FN x 轴，则 EMD=FND=90 SEBD=S FBD，又 NDF=EDM，EDM，联立 y=kx-k,y=-x+6 DE=DF NFD FN=ME 得 yE=5k k 1，联立 y=kx-k，y=3x+6 9k k-3 ME=yE，5k-9k=k 1 k-3 k0，5（k-3）=-9（k+1），k=3 7；（3）不变化 K（0，-6）于 H，角三角形，PB=PQ，QHA=90，PQH，HPQ，OP=QH，PH+PO=BO+QH，即 OA+AH=BO+QH，又 OA=OB，AH=QH，AHQ 是等腰直角三角形，QAH=45，过 Q 作 QH x 轴 BPQ 是等腰直 BPQ=90，BOA=BPO=BOP PH=BO，19 OAK=45，AOK 为等腰直角三角形，OK=OA=6，K（0，-6）点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解 20