随机变量向量及其概率分布.ppt

第二章 随机变量（向量）及其概率分布随机变量与随机变量分布函数随机变量的概率函数与随机变量的概率密度函数几个常用的概率分布随机向量与随机向量的分布函数随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数边际分布与条件分布随机变量的独立性随机变量函数的分布随机变量与随机变量分布函数一、随机变量例2.2 某人掷硬币试验，观察落地以后出现在上面的面。试验结果的事件表达形式：“出现5点”“出现6点”“出现3点”“出现4点”“出现1点”“出现2点”如果令 表示出现的点数，则 的可能取值为 出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点。例2.1 某人抛掷一枚骰色子，观察出现的点数。1.Def 设随机随机试验 的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数 与之对应，且对于任意给定的实数，有事件 都是有概率的，则称 为样本空间 上的随机变量。件是实变量 的“函数”。随机事件，随着 变化，事件 也会变化。这说明该事设 为一个随机变量，对于任意实数，则集合 是 随机变量的几个特征:3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。2）它的取值随试验结果而改变；1）它是一个变量；如果 表示国徽面在上面，表示有字面在上面。“国徽面在上面”；“有字面在上面”特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关系。随机变量实例：随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量连续型非连续型有限或无穷可列取值无穷且不可列取值2.随机变量举例与分类 的可能取值为。例2.6 在 区间上随机移动的点，该点的坐标。的可能取值为。例2.5 一部电话总机在一分钟内收到的呼叫次数。的可能取值为。例2.4 某个灯泡的使用寿命。的可能取值为。例2.3 某人抛掷一枚骰子，观察出现的点数。二、分布函数 1.随机变量的概率分布 是一个实函数！Def 能反映随机变量取值规律的数学表达式称为随机变量的概率分布律，简称概率分布。概率分布的常用表达方式有：分布函数（“通用型”）；概率函数或概率密度函数（“针对型”）。显然，分布函数是一个特殊的随机事件的概率。（1）对于任意有（非负有界性）；（2）（规范性）；有（3）对于任意（单调性）；（4）在每一点至少是右连续的（连续性）。为随机变量,为任意实数，则称为随机变量 的分布函数，其定义域为。Def 设3.分布函数的性质 2.分布函数概念0.3 0.3 0.42 1 0图2.1若已知随机变量 的分布函数，则对于任意有 例2.7 已知随机变量 的所有可能取值为，取各函数并作其图像。值的概率分别为，试求随机变量的分布解：由题设随机变量的概率分布为由分布函数的定义有当时，；当时，；当 时，；当 时，。分布函数图像如图2.1所示概率函数与概率密度函数一、随机变量的概率函数 1.离散型随机变量 Def 如果随机变量所有可能取值为有限或无穷可列，则该随机变量称为离散型随机变量。设离散型随机变量 的所有可能取值是，而取值 的概率为，即有则称该式为随机变量 的概率函数。其也可以用下列表达：并称其为随机变量 的概率分布列，简称分布列。注意：离散型随机变量的概率分布除用分布函数可以表示以外，还可以利用概率函数或分布列表示，概率函数与分布列是等效的，概率函数或分布列表示更直观、简便。2.概率函数或分布列的性质解：由随机变量 的分布列有 已知概率函数求分布函数 已知分布函数求概率函数（1）；（2）（归一性）。试求。例2.8 设 的分布列为 3.概率函数与分布函数的关系例2.9 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，用 表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。解：的可能取值为。于是，由古典概率有 所以，的分布列为例2.10 一名士兵向一目标连续射击，直至其击中目标为止。假定该士兵命中率为，而且任意两次射击之间互不影响，用表示该名士兵射击次数。求的概率分布。解：的可能取值为设表示该名士兵第 次击中目标，于是有相互独立；。所以 即 的概率函数为注意：这种类型的随机变量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。当时，取1的概率最大。例2.11 设随机变量的概率函数为试求（1）常数的值；（2）概率最大的取值。解:(1)由概率函数的性质有又有函数的幂级数展开知，从而有解得(2)由(1)知随机变量的分布列为显然，随机变量取1和2的概率最大。二、随机变量的概率密度函数 1.连续型随机变量 2.概率密度的性质Def 设为随机变量，其分布函数记为，如果存在非负函数，使得简称概率密度或密度函数。则称 为连续型随机变量，非负函数 为概率密度函数，（1）对于任意有；（2）（3）对于任意 有（4）在函数连续点有 3.连续型随机变量与离散型随机变量区别 证明：设 的分布函数为，易知 处处连续。于是，对于任意的，一定成立下列结论：即有不等式关于求极限，便得所以有该定理表明连续型随机变量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。为连续型随机变量，定理：设为任意实数，则有对于连续型随机变量总成立下式：例2.12 设随机变量 的概率密度为试求。解:有概率密度的性质知解得，所以例2.13 设随机变量的分布函数为试求(1)常数 的值；(2)；(3)概率密度。解:(1)由于连续型随机变量分布函数处处连续，所以有从而有，于是分布函数为(2)(3)几个常用的概率分布 引入随机变量的概念以后，客观世界中的许多随机现象，如果抛开其所涉及的具体内容，实质上可以用同一个概率模型（概率分布）来表达。凡是随机试验只有两个可能的结果，都可以二点分布作为其概率模型。例如：掷硬币观察正反面，产品是否格，人口性别统计，系统是否正常，电力消耗是否超负荷等等。二点分布所能刻画随机现象：其中，则称 服从参数为 的二点分布。Def 若随机变量 的分布表为 1.二点分布（0-1分布）一、几个常用的离散型概率分布 2.二项分布 Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的二项分布，记为。解:设表示该学生恰好有3门课及格；表示该学生至少有3门课及格。显然，这是一个5重贝努里概型，从而有课及格的概率和至少有3门课及格的概率。知该学生每门课程及格的概率为0.8。试求该学生恰好有3门 例2.14 设某学生在期末考试中，共有5门课程要考，已 当 时，二项分布就是二点分布。规律都可用二项分布来刻画。凡是 重贝努里概型中随机事件 发生次数的概率分布 二项分布所能刻画随机现象：例2.15 某保险公司以往资料显示，索赔要求中有8%是因为被盗而提出来的。现已知该公司某个月共收到10个索赔要求，试求其中包含4个以上被盗索赔要求的概率。解:设表示10各索赔要求中被盗索赔要求的个数，则于是，所求概率为即10各索赔要求中有4个以上被盗索赔要求的概率为0.00059通过该例题的求解，可以看出：二项分布当参数 很大，而很小时，有关概率的计算是相当麻烦的。甚至有时借助于计算工具也难实现。为了解决这种情况下的二项分布有关概率计算问题，1837年法国数学家S.D.Poisson 提出了一下定理。Poisson定理 设随机变量，若 时，有，则有 证明：令，于是有对于固定的 有所以 实际应用中：当 较大,较小，适中时，即可用泊松定理的结果对二项概率进行近似计算。解:400 400次上街 次上街 400 400重 重Bernoulli Bernoulli概型；概型；记 记 为出事故的次数，则 为出事故的次数，则。由于，所以由Poisson定理有若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则该人成功的概率为。这表明随着实验次数的增多，小概率事件是会发生的！例2.16 某人骑摩托车上街，出事故的概率为0.02，独 立重复上街400次，求至少出两次事故的概率。3.泊松（Poisson）分布 Def 若随机变量 的概率函数为则称 服从参数为 的二项分布，记为。服务台在某时间段内接待的服务次数；交换台在某时间段内接到呼叫的次数；矿井在某段时间发生事故的次数；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目；单位时间内市级医院急诊病人数；一本书中每页印刷错误的个数。泊松分布所能刻画随机现象：特别注意:体积相对较小的物质，在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均值求出。二、几个常用的连续型概率分布 1.均匀分布（Uniform Distribution）Def 若随机变量 的概率密度函数为则称随机变量 服从区间 上的均匀分布，记为 解:方程有实数根等价于，即所求概率为。有实根的概率。例2.17 设 在 上服从均匀分布，求方程落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。这正是几何概型的情形。均匀分布所能刻画随机现象：2.指数分布（Exponential Distribution）Def 若随机变量 的概率密度函数为则称随机变量 服从参数为 的指数分布，记为 解:的概率密度为例2.18 设 服从参数为3的指数分布，试写出它的密度函数并求 指数分布所能刻画随机现象：随机服务系统中的服务时间；电话的通话时间；无线电元件的寿命；动植物的寿命。3.正态分布（Normal Distribution）Def 若随机变量 的概率密度函数为其中参数 满足，则称随机变量 服从参数为 的正态分布，记为。Gauss图像以 轴为渐近线。图像在点 处有拐点；图像关于直线 对称；图像呈单峰状；正态分布概率密度函数的图像特点：特别当参数 时，也即，称其为标准正态分布，其概率密度记为参数 对密度曲线的影响 相同 不同密度曲线情况 相同 不同密度曲线情况 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随 机现象都是服从或近似服从正态分布的。事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布。正态分布可以作为许多分布的近似分布。正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质。各种测量的误差；人的生理特征指标；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征，则 服从正态分布。例如：正态分布所能刻画的随机现象：正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：标准正态分布的概率计算分布函数 利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。例2.18 设随机变量，试求 解:查表知所以有一般正态分布的概率计算 分布函数 在求解一般正态分布的概率计算问题时，现将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。例2.19 设随机变量，试求标准正态分布的分位数双侧分位数Def 设随机变量，对于给定的，如果为标准正态分布关于 实数 满足，则称的双侧分位数。标准正态分布双侧分位数的意义如图2.1所示。双侧分位数的计算方法：查标准正态分布函数值表便可得也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。图2.1 由定义知 上侧分位数 Def 设随机变量，对于给定的，如果为标准正态分布关于实数满足，则称的上侧分位数。标准正态分布上侧分位数的意义如图2.2所示。上侧分位数的计算方法：由定义知查标准正态分布函数值表便可得也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系，借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数。图2.2 对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。例如：在打靶时，命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的。飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量来确定的等等。这就需要研究随机向量的概率规律。一、随机向量的概念 1.随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量，如果 能表达随机试验 的结果，则称 为 维随机向量；有时也称为 维随机变量，称为第 个分量。随机向量与随机向量的分布函数 2.二维随机向量的分布函数 Def 设 为二维随机向量，为平面内任意一点，则称为二维随机向量 的分布函数，也称为 与 的联合分布函数。x图2.3(2)(1)即非负有界性；3.分布函数的性质 分布函数的概率意义如图2.3所示，即就是随机点游荡到阴影区域的概率。(3)关于 或 为非减函数；图2.4 解:由题设条件知试验结果需用随机向量 表示，且其概率分布如下表所示：(4)关于 或 至少是右连续的；(5)对于任意的数 有 性质(5)的概率意义如图2.4，即就随机点游荡到红色区域的概率。例2.20 设某人同时抛掷一枚5分和一枚1分均匀硬币，用 分别表示5分硬币出现国徽面与有字面；用 分别表示1分硬币出 现国徽面与有字面。试将该试验结果 用变量形式表示，并求其分布函数。1/4 1/4 01/4 1/4 11 0 4.二维随机向量的边际分布与边际分布函数 Def 设 为二维随机向量，则称随机变量 与 的概率分布分别为随机向量 关于分量 和 的边际概率分布；随机变量 与 的分布函数分别称为随机向量 关于分量 和 的边际分布函数。从而由分布函数的定义有 随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系式表明，边际分布函数由随机向量 的分布函数唯一确定，但反之未必成立。随机向量 的分布函数与边际分布函数的关系 证明:（只证明第一式，第二式同理可证）由随机变量分布函数的定义所以有的分布函数为例2.21设随机向量的边际分布函数；试求(1)随机向量 关于分量(2)(3)解:(1)由边际分布函数的定义二维离散型随机向量与二维连续型随机向量一、二维离散型随机向量与其概率分布的表达 1.二维离散型随机向量 Def 设 为二维随机向量，如果 的所有可能取值点是平面上的有限个或无穷可列个点，则称 为二维离散型随机向量。2.二维离散型随机向量概率函数 Def 设 为二维离散型随机向量，其所有可能取值点及其对应概率如下表所示，称其为 的概率分布表。而称为随机向量 的概率函数或随机变量 与 的联合概率函数。如已知随机向量 分布函数，则有则有如已知随机向量 概率函数 4.随机向量概率函数与分布函数的关系(2)（归一性）(1)（非负性）3.随机向量概率函数的性质 例2.22 一个口袋中有三个球，依次标有数字1,2,2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等。以 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求 的概率分布。同理可得解:由题目条件随机向量 所有可能取值点为从而 的概率函数为 一般求概率函数 采用以下公式：例2.23 整数 等可能的取值1,2,3,4，整数 等可能的取值1，求随机向量 的概率分布列。同理可计算的其它值，从而得随机向量 的分布表。当 时，分别有显然，当 时，解:由题目条件随机向量 所有可能取值点为 随机向量 的分布表1 2 3 41 1/4 0 0 02 1/8 1/8 0 03 1/12 1/12 1/12 04 1/16 1/16 1/16 1/16则称 为连续型随机向量，成为随机向量的概率密度函数或随机变量 与 的联合概率密度函数。Def 设为其分布函数，为二维随机向量，如果存在非负函数，使得 1.二维连续型随机向量二、二维连续型随机向量与其概率分布的表达注意：的定义域为；的概率意义为随机点进入区域的概率。2.二维连续型随机向量的概率密度；(1)非负性，即有；(2)归一性，即有；(3)分布函数与概率密度函数的关系(4)随机点 在任意区域内的概率计算式这就是说在已知概率密度情况下事件的概率=曲顶柱体的体积D图2.5例2.24设二维随机向量的概率密度为；(1)求常数(2)求的分布函数；(3)求；(4)求。解:(1)由概率密度的性质 从而有 解得于是，概率密度函数为(2)由的分布函数于概率密度函数的关系图2.6(3)(4)y x=图2.73.连续型随机向量与离散型随机向量区别定理：设 为连续型随机向量，为平面上任意定点，则有。该定理表明连续型随机向量的概率分布不能用逐点取值的概率表达，而只能用概率密度来表达。所以，对连续型随机向量总成立：这就是说在计算二维随机向量有关概率值时，可以忽略区域边界线的影响。两个常用二维连续型随机向量分布一、二维均匀分布1.Def 设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机向量 具有概率密度则称随机向量 服从区域 上均匀分布。2.二维均匀分布所反映的背景 向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布。图2.9二、二维正态分布1.Def 若二维随机向量具有概率密度则称 服从参数为 的二维正态分布。记作2.二维正态分布所反映的背景图2.10两方向各种测量的误差；人的两个生理特征指标；农作物的收获量与降雨量等。二维正态分布势二维分布中重要分部之一。随机向量的边际概率函数与概率密度一、边际概率函数与边际概率密度1.Def 设二维随机向量为离散型，则随机变量与 的概率函数分别称 关于 与 的边际概率函数。2.Def 设二维随机向量为连续型，则随机变量与 的概率函数分别称 关于 与 的边际概率密度。二、边际概率函数与边际概率密度的求法1.边际概率函数的求法设二维随机向量 的概率函数为则随机变量 与 关于 的边际概率函数分别为如果用分布表表示，即有：事实上，随机向量 关于 的边际概率函数为例2.25设二维随机向量的分布表为0 0 5/12 20 0 1/6 01/12 1/3 0-11/3 1 0试求二维随机向量 的边际概率函数。关于，0 0 5/12 201/121/30 1/6 01/3 0-1107/12 1/3 1/125/121/65/12解：边际概率函数计算如表所示，从而得：关于X的边缘分布为5/12 1/6 5/122 0-1关于Y的边缘分布1/12 1/3 7/121/3 1 02.边际概率密度的求法设二维随机向量 的概率密度为，则随机向量的边际概率密度为 关于，证明（只证明第一式）由条件知随机向量的分布函数为从而，关于 的边际分布函数为由分布函数与概率密度的关系有例2.27设二维随机向量的概率密度为试求二维随机向量 的边际概率密度。关于，解：关于的边际概率密度为同理可得关于 的边际概率密度为注意：由例2.27，例2.28不难看出边际概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布。这说明由随机向量的分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布。例2.28 设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘概率密度。解：关于的边际概率密度为暂时固定当 时,；当 时,图2.12所以同理(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为随机变量的条件分布一、条件分布的概念1.Def 设为二维随机向量，在其中一个取定某个值或某些值得条件下求另外一个随机变量的概率分布，这种概率分布成为条件概率分布。例如：变量，它们都有一定的概率分布。考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高.则X和Y都是随机身高Y的分布图2.14体重X的分布图2.13 现在若限制Y=1.7(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高为1.7米的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布。容易想象，这个分布与不加这个条件时Y分布会很不一样。在这个分布中体重取大值的概率会显著增加。2.离散型随机变量的条件分布设 是二维离散型随机向量，其概率函数为若对于固定的，有，则称为在 条件下随机变量X的条件分布律。3.连续型随机变量的条件分布设 是二维连续型随机变量，其概率密度为若对于固定的，有，则称为在 条件下随机变量X的条件概率密度。同理可以确定在给定 条件下，随机变量 的条件分布。二、随机变量的条件分布与随机向量分布的区别于联系以连续型为例说明是在随机变量 取定 下，随机变量 的概率密度；是随机变量 取定 同时随机变量 取定 概率密度。一般有总有下式成立例2.31 设(X,Y)的分布表为0 0 5/12 20 0 1/6 01/12 1/3 0-11/3 1 0试求在 条件下，随机变量 的条件分布。解：关于的边际概率密度为1/12 1/3 7/121/3 1 0由于有所以条件分布存在，于是有同理可得例2.33 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，即概率密度为求在随机变量条件下，的条件分布。解：X的边缘密度为图2.15由于 时，所以有例2.34 设(X,Y)的概率密度为求，其中。解：由于Y的边缘密度满足图2.16于是对 y0故对y 0例2.35设二维随机向量的概率密度为试求概率。224图2.8解:两个随机变量的相互独立与判定1.Def 设为二维随机向量，其分布函数为，边际分布函数分别为，如对于任意的 有则称 为二维随机向量的两个分量 相互独立。例2.36设二维随机向量的分布函数为试判断随机变量 的独立性。解:关于两个分量 X 和 Y 的边际分布函数为显然，对于任意的 有2.两个随机变量相互独立的等价描述定理1设二维随机向量 的分布表及其对应分量 与的边际分布列如下表所示，则随机变量 与 独立的充要条件为定理2设二维随机向量的概率密度为，对应分量 与 的边际分布密度分别为，则随机变量与 独立的充要条件为 例2.38 设(X,Y)的概率分布表为0 10 1/4 1/4 1/21 1/4 1/4 1/21/2 1/2问X和Y是否独立？解：关于各分量的边际分布列计算如表所示。例2.38 设(X,Y)的概率分布表为1/10 3/5 3/103/10 0 0 3/10 23/5 0 3/5 0 11/10 1/10 0 0 02 1 0解：关于各分量的边际分布列计算如表所示。显然有 例2.39 设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：关于各分量的边际概率密度分别为显然，对于 有例2.40设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：关于各分量的边际概率密度分别为显然，对于 有3.随机变量相互独立概念的推广 在实际问题中，经常会遇到判定两个以上随机变量独立性及其应用问题，下面作以简单介绍：离散型情况连续型情况随机变量函数的分布一、一元随机变量函数的分布1.一元随机变量函数Def 注意：已知圆轴截面直径 D的分布,求所需钢材截面积。已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，求电阻为R的电器的功率。2.一元离散型随机变量函数的分布求法一般地，若X是离散型 R.V，X 的分布律为则 Y=g(X)的分布表为如果中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。证明 因为所以有例2.41 设X的分布表为-2-1 0 1 20.2 0.1 0.4 0.2 0.1解：4 2 0-2-42 1 0-1-26 3 2 3 60.1 0.2 0.4 0.1 0.2的概率分布列为0.1 0.2 0.4 0.1 0.24 2 0-2-4的概率分布列为0.3 0.3 0.46 3 23.一元连续型随机变量函数的分布求法分布函数法的一般步骤例2.40设X的概率密度为求Y=2X+8的概率密度。解：随机变量Y=2X+8的分布函数为 于是，Y 的概率密度函数为 例2.43 设随机变量X分布函数F()是严格单调的连续函数,证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布。证明 设 Y 的分布函数是G(y)，于是有所以，题目结论成立。注意：服从正态分布，其中。例2.44 设随机变量，证明 也证明 因为于是有二、多元随机变量函数的分布1.多元随机变量函数Def 设为随机向量，为二元实连续函数2.二元离散型随机变量函数的分布求法1/6 0 1/6 30 1/12 1/6 1/23/12 1/12 1/12-10-1-2 例2.45 设(X,Y)的概率分布表为试求下列随机变量的概率分布。解：采用倒置分布表法 3 1 2 33-1 0 1(3,0)(-1,0)(-1,-1)(-1,-2)1/6 3/12 1/12 1/12从而，的概率分布列为1/6 1/6 1/6 1/12 1/12 1/12 3/125 3 2.5 1.5 1 0-1从而，的概率分布列为3/12 1/12 1/6 5/12 1/123 2 3/2 1 1/23.二元连续型随机变量函数的分布求法 二元连续型随机变量函数的分不求法相对的要比一元连续型随机变量函数分布的求法复杂，然基本原理大致相同，都采用的是分布函数法。例2.46 设二维随机向量(X,Y)的概率密度为求随机变量 Z=X+2Y 的概率密度函数。解：随机变量 Z=X+2Y 的分布函数下面介绍几种常用情况的计算公式证明 Z=X+Y的分布函数是变量代换例2.47 若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度求 Z=X+Y 的概率密度。解：由卷积公式 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 也即当 时,当 时,当 或 时,所以，随机变量Z=X+Y 的概率密度为证明 Z=X/Y的分布函数是变量代换交换积分次序例2.48x 应用分布函数法不难证明以上结果，也不难将其推广到有限个随机变量的情况。例2.49 设系统 L 由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示。的寿命分别为设，已知它们的概率密度分别为其中 且 试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度。X YXYXY解：(1)串联的情况由于当系统 中有一个损坏时,系统 就停止工作,X Y因为 X 的概率密度为所以，X 的分布函数为类似地,可求得 Y 的分布函数为于是 的分布函数为的概率密度为(2)并联的情况都损坏时,系统 L 才停止工作,由于当且仅当系统所以，此时 L 的寿命为的分布函数为XY于是 的概率密度为(3)备用的情况才开始工作，因此整个 由于当系统 损坏时,系统系统 L 的寿命为XY当且仅当 时,即上述积分的被积函数不等于零。值得注意的是，当随机变量 相互独立且具有相同分布函数时,常称为极值。由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值。