2023届江苏省决胜新高考高三下学期5月大联考数学试题含答案.pdf

数学试卷 第 1页（共 6页）决胜新高考2023 届高三年级大联考数 学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数(2i)34iz，则zzA3B4C25D452已知集合1lg2Axx，516Bxx，则AB A010 xxB10 x x C165x x D1605xx3把分别标有 1 号、2 号、3 号、4 号的 4 个不同的小球放入分别标有 1 号、2 号、3 号的3 个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为A8B12C16D204 已知等差数列 na的前n项和为nS，且424SS，221nnaa 设nnaba，则1 22311bbb b数学试卷 第 2页（共 6页）349 1011b bb bA937B1837C919D9385苏格兰数学家纳皮尔（JNapier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间即就是任何一个正实数N可以表示成10(110)nNaan Z，则lglg(0lg1)Nnaa，这样我们可以知道N的位数已知正整数31M是 35 位数，则M的值为N23451112131415lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A3B12C13D146已知圆2222:O xyab与双曲线2222:1(00)yxCabab，的右支交于点A，B，若7cos25AOB，则C的离心率为A.2B.5C.3D.77若tantantantan122，则coscosA0B12C1D328 已知0 1ea，10eln11b，0 101c，则AbcaBcbaCcabDacb二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.某企业为普及法制教育，对本单位 1500 名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动现从中随机抽取 100 人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是A.估计该企业 16%的员工得分在区间80 90，内B.该企业员工竞赛得分不小于 90 的人数估计为 195 人C.估计该企业员工的平均竞赛得分约为 74.5数学试卷 第 3页（共 6页）D.该企业员工竞赛得分的第 75 百分位数约为 8310.已知函数()sin3cos(0)f xxx的最小正周期为，则A 32fB直线12x 是()f x图象的一条对称轴C()f x在62，上单调递增D将()f x的图象上所有的点向右平移6个单位长度，可得到2sin2yx的图象11.定义在 R 上的函数()f x满足6(1)1)(fxfx，(22)2fxfxx，则A.1fx的图象关于(0 3)，对称B.4 是 fx的一个周期C.(1)3fD.211273()if i12.已知抛物线24Cyx：的焦点为F，准线为l，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，A B，在l上的射影分别为11AB，l与x轴相交于点M，则下列说法正确的是A11AFB FB0AM BM C若2AFFB，则3AF D若AQQM，2AMBQ ，则4AFBF三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 F1，F2分别为椭圆22:143yxC的左，右焦点，A 为 C 的上顶点，过 F1且垂直于AF2的直线与 C 交于 D，E 两点，则ADE的周长为14若曲线lnyxx有两条过(e)a，的切线，则a的取值范围是15在平面直角坐标系中，两点111()P xy，222()P xy，间的“曼哈顿距离”定义为121212PPxxyy，则平面内与两定点1(1 0)F ，和2(1 0)F，的“曼哈顿距离”之和等于 4 的点的轨迹围成的面积为数学试卷 第 4页（共 6页）16 已知菱形ABCD的边长为1，3ADC，将ADC沿AC翻折，当三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）在ABC中，角A B C，的对边分别为a b c，已知(3)sinsinsinbcBcCaA（1）求角A的大小；（2）若362ADACDBCc，求ABC的面积18.（12 分）设数列 na的前n项和为nS，且满足23nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：数列 na中的任意不同的三项均不能构成等差数列19.（12 分）在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/AB CD，2AB，1ADDCCB，2PAPD（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l，求证：l平面ABCD；（2）点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为6，求点E到平面PCD的距离PDCBAE数学试卷 第 5页（共 6页）20（12 分）为了进一步深入开展打造“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，努力培育师生人文素养，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，现对我校 60 名师生阅读喜好进行调查，其中教师与学生的人数之比为1:2，教师中喜欢读文学类的人数占12，学生中喜欢文学类的占34，得到下面的列联表：教师学生合计文学类理工类合计（1）请将列联表补充完整，判断数据能否有 90%的把握认为教师与学生的阅读喜好存在差异（2）若从学校随机抽取 11 人，用样本的频率估计概率，预测 11 人中喜欢阅读理工类的人数最有可能是多少？附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd参考数据：2P Kk0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828数学试卷 第 6页（共 6页）21（12 分）设抛物线C：22yx的焦点为F，P是抛物线外一点，直线,PA PB与抛物线C切于,A B两点，过点P的直线交抛物线C于,D E两点，直线AB与DE交于点Q（1）若AB过焦点F，且4FA FB，求直线AB的倾斜角；（2）求PQPQPDPE的值22（12 分）已知函数4()exxf x，321()33g xaxxx（1）求曲线()()yf xg x在0 x 处的切线方程；（2）若()()0fxg x，求 a 的取值范围一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只决胜新高考2023 届高三年级大联考数 学 答 数学试卷 第 1页（共 1 3 页）案有一项是符合题目要求的。1若复数(2i)34iz，则zzA3B4C25D45【答案】2已知集合1lg2Axx，516Bxx，则AB A010 xxB10 x x C165x x D1605xx【答案】A3把分别标有 1 号、2 号、3 号、4 号的 4 个不同的小球放入分别标有 1 号、2 号、3 号的3 个盒子中，没有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放球方法种数为A8B12C16D20【答案】B4 已知等差数列 na的前n项和为nS，且424SS，221nnaa 设nnaba，则1 22311bbb b349 1011b bb bA937B1837C919D938【答案】A5苏格兰数学家纳皮尔（JNapier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间即就是任何一个正实数N可以表示成10(110)nNaanZ，则lglg(0lg1)Nnaa，这样我们可以知道N的位数已知正整数31M是 35 位数，则M的值为N数学试卷 第 2页（共 1 3 页）23451112131415lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A3B12C13D14【答案】C6已知圆2222:O xyab与双曲线2222:1(00)yxCabab，的右支交于点A，B，若7cos25AOB，则C的离心率为A.2B.5C.3D.7【答案】B7若tantantantan122，则coscosA0B12C1D32【答案】C8 已知0 1ea，10eln11b，0 101c，则AbcaBcbaCcabDacb【答案】B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.某企业为普及法制教育，对本单位 1500 名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动现从中随机抽取 100 人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是A.估计该企业 16%的员工得分在区间80 90，内B.该企业员工竞赛得分不小于 90 的人数估计为 195 人C.估计该企业员工的平均竞赛得分约为 74.5D.该企业员工竞赛得分的第 75 百分位数约为 83【答案】B C D10.已知函数数学试卷 第 3页（共 1 3 页）()sin3cos(0)f xxx的最小正周期为，则A 32fB直线12x 是()f x图象的一条对称轴C()f x在62，上单调递增D将()f x的图象上所有的点向右平移6个单位长度，可得到2sin2yx的图象【答案】AB11.定义在 R 上的函数()f x满足6(1)1)(fxfx，(22)2fxfxx，则A.1fx的图象关于(0 3)，对称B.4 是 f x的一个周期C.(1)3fD.211273()if i【答案】AC D12.已知抛物线24Cyx：的焦点为F，准线为l，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，A B，在l上的射影分别为11AB，l与x轴相交于点M，则下列说法正确的是A11AFB FB0AM BM C若2AFFB，则3AF D若AQQM，2AMBQ ，则4AFBF【答案】AC D三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 F1，F2分别为椭圆22:143yxC的左，右焦点，A 为 C 的上顶点，过 F1且垂直于AF2的直线与 C 交于 D，E 两点，则ADE的周长为【答案】814若曲线lnyxx有两条过(e)a，的切线，则a的取值范围是【答案】()e，15在平面直角坐标系中，两点111()P xy数学试卷 第 4页（共 13页），222()P xy，间的“曼哈顿距离”定义为121212PPxxyy，则平面内与两定点1(1 0)F ，和2(1 0)F，的“曼哈顿距离”之和等于 4 的点的轨迹围成的面积为【答案】616 已知菱形ABCD的边长为1，3ADC，将ADC沿AC翻折，当三棱锥DABC表面积最大时，其内切球表面积为【答案】(148 3)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）在ABC中，角A B C，的对边分别为a b c，已知(3)sinsinsinbcBcCaA（1）求角A的大小；（2）若362ADACDBCc，求ABC的面积解：（1）在ABC中，由正弦定理，得2sinsinsinabcRABC=，其中，2R为ABC的外接圆直径，所以sinsinsin222abcABCRRR，代入(3)sinsinsinbcBcCaA，得2223bbcca，2 分由正弦定理，得2223cos22bcaAbc，因为在ABC中，0 A，所以6A 4 分（2）设=AD x，由3ADAC，得2CDx设=ABD，则=3ACB数学试卷 第 5页（共 1 3 页），03在tABCR 中，sin2 sin33BDCDx，在ABD中，由正弦定理，得sinsinADBDABDBAD，即2 sin3sinsin6xx，6 分整理得，1sinsin34，2311sincossin224，2311sincossin224，31sin2cos2122，sin 216，因为03，所以262，解得68 分所以=6ACB，2=3ABC所以6ACAB，所以ABC的面积311sin66=9 3222SABBCABC 10 分18.（12 分）设数列 na的前n项和为nS，且满足23nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：数列 na中的任意不同的三项均不能构成等差数列解：（1）令1n，得13a 2 分当2n时，1123nnaS，数学试卷 第 6页（共 13页）又23nnSa，两式相减，得12nnaa，4 分所以12nnaa所以数列 na是首项为3，公比为 2 的等比数列，所以13 2nna 6分（2）假设数列 na中存在三项数列mkpaaa，(其中m kp）成等差数列，则2kmpaaa，.8 分由（1）得1112323232kmp ，即11222kmp，两边同时除以12m，得121 2k mp m(*)，10 分因为(*）式左边为奇数，右边为偶数，所以(*）式不成立，假设不成立所以数列 na中得任意不同的三项均不能构成等差数列12 分19.（12 分）在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/AB CD，2AB，1ADDCCB，2PAPD（1）设平面PAB与平面PCD的交线为l，求证：l平面ABCD；（2）点E在棱PB上，直线AE与平面ABCD所成角为PDCBAE数学试卷 第 7页（共 13页）6，求点E到平面PCD的距离解：（1）因为/AB CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB平面PCD2 分又因为AB 平面PAB，平面PAB平面PCDl，所以ABl因为l 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以l平面ABCD4 分（2）设O为AD的中点，因为PAPD，所以POAD又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO 平面ABCD，又BC平面ABCD，所以POBC由2AB，1ADDCCB，/AB CD，可知ABCD四边形为等腰梯形，得3BD，所以222ADBDAB，所以ADBD6 分建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则70 02P，10 02A，13 02B，3102C ，10 02D，设平面ABCD的法向量为0,0,1n，数学试卷 第 8页（共 13页）设,Ex y z，则12AExy z，7,2PEx y z，17322PB ，因为直线AE与平面ABCD所成角为6，所以2221sincos6212zn AExyz ，所以2223012xyz因为点E在棱PB上，所以01PEPB ，即7173222x y z，所以2x，3y，7(1)2z代入解得12或5（舍去）.8 分137424PE ，17022PD ，37122PC ，设平面PCD的法向量为111mxyz，则111111702237022m PDxzm PCxyz ，数学试卷 第 9页（共 1 3 页）令11z，得17x，1213y ，所以21713m，10 分所以点E到平面PCD的距离221765131232613PE mdm 12 分20（12 分）为了进一步深入开展打造“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，努力培育师生人文素养，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，现对我校 60 名师生阅读喜好进行调查，其中教师与学生的人数之比为1:2，教师中喜欢读文学类的人数占12，学生中喜欢文学类的占34，得到下面的列联表：教师学生合计文学类理工类合计（1）请将列联表补充完整，判断数据能否有 90%的把握认为教师与学生的阅读喜好存在差异（2）若从学校随机抽取 11 人，用样本的频率估计概率，预测 11 人中喜欢阅读理工类的人数最有可能是多少？附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 参考数据：2P Kk0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）因为 50 名师生阅读爱好进行调查，其中教师与学生的人数之比为1:2，教师中数学试卷 第 10页（共 13页）喜欢读文学类的人数占12，学生中喜欢文学类的占34，得到下面的列联表：教师学生合计文学类103040理工类101020合计2040603 分由题可知由列联表可得()()()()()()2226030 10 10 103.752.70640204020n adbcKabcdacbd-=+，所以有 90%的把握认为教师与学生的阅读爱好存在差异6 分（2）由样本数据可知，喜欢阅读理工类频率为13，用样本的频率估计概率，所以喜欢阅读理工类书籍的概率为13，设 11 人中喜欢阅读理工类书籍的人数为X，则1(11,)3XB，8 分所以111111()()(1)(0,1,2,11)33kkkP xkCk-=-=.9 分假设 11 人种喜欢阅读理工类书籍的人数最有可能是k，则111110111111111211111111()(1)()(1)33331111()(1)()(1)3333kkkkkkkkkkkkCCCC-+-，得34k所以 11 人中喜欢阅读理工类的人数最有可能是 3 或 4.12 分21（12 分）设抛物线C：22yx的焦点为F，P是抛物线外一点，直线,PA PB与抛物线C切于,A B两点，过点P的直线交抛物线C于,D E两点，直线AB与DE交于点Q（1）若AB过焦点F，且4FA FB，求直线AB的倾斜角；（2）数学试卷 第 11页（共 13页）求PQPQPDPE的值解：（1）设001122(,),(,),(,)P xyA x yB xy，1(,0)2F，因为直线AB的斜率不为 0，所以设AB直线的方程为12xty，联立方程2122xtyyx，消去y，得221204xxt x，所以212+=21,xxt 121=4xx，2 分1211()()22FA FBxx121211=()24x xxx2=1=4t，3t ，所以直线的倾斜角为6或564 分（2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为11()yyk xx，(k存在，A不为原点)，联立方程112()2yyk xxyx，消去x得，21102kyyykx，11=14()02kykx，即21114()022ykyk，所以11ky，即11ky，6 分所以直线PA的方程为1111()yyxxy，即11yyxx，同理可得，直线PB方程为:22yyxx，因为点00(,)P xy在直线,PA PB上，所以01010202,y yxx y yxx，所以直线AB的方程为：00yyxx8数学试卷 第 12页（共 13页）分设直线PD的方程为00()xxm yy，联立方程002()2xxm yyyx，消去x，得2002220ymymyx，得2,DEyym0022DEy ymyx，联立方程0000()xxm yyyyxx，消去x，得0002=Qxmyyym，10 分由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部，所以0000=QQDEyyyyPQPQPDPEyyyy00200()(2)()QDEDEDEyyyyyy yyyyy00000200002()(22)222xmyymyymmyxmyy=212 分22（12 分）已知函数4()exxf x，321()33g xaxxx（1）求曲线()()yf xg x在0 x 处的切线方程；（2）若()()0fxg x，求 a 的取值范围解：（1）因为3241()()33exxyf xg xaxxx，所以23()()23exxyfxg xaxx，所以该切线的斜率为003(0)(0)36efg，易求切点为(0，4)所以曲线的切线方程为64yx 数学试卷 第 13页（共 13页）4 分（2）由题意，得23230exxaxx，记23()23exxF xaxx，则2()22exxF xax，记2()()22exxG xF xax，则1()2exxG xa，记1()()2exxH xG xa，则()exxH x，显然，0()0 xH x当时，0()0 xH x当时，所以，()H x在(0)，上为减函数，在(0)，上为增函数，所以min()(0)21H xHa6 分若210a ，即12a时，()(0)0H xH，所以2()22exxG xax在R上为增函数，又因为(0)0G，从而，0()0 xG x当时，0()0 xG x当时，所以()F x在(0)，上为减函数，在(0)，上为增函数，所以()(0)0F xF，即12a满足题意8 分若210a ，即12a 时，(0)0H，(1)2Ha，（i）若(1)0H，即0a时，()0H x 在(1 0)，上恒成立；10 分（ii）若(1)0H，即102a时，使0()0H x，所以当0(0)xx，时，()0H x 由（i）（ii）知，当12a 时，0(1 0)x ，()0H x 在0(0)x，上恒成立，所以()G x在0(0)x，上为减函数，从而有()(0)0G xG，所以()F x在0(0)x，上为减函数，从而有()(0)0F xF，这与()0F x 矛盾，故12a 不合题意综上，实数 a 的取值范围为12，12 分