2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题5 立体几何（理科）解答题30题含答案.docx

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资专题5 立体几何（理科）解答题30题1（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）如图，在三棱柱中，(1)证明：平面平面(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值2（陕西省榆林市2023届高三上学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：.(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.3（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）如图，四棱柱ABCD的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.(1)证明：B，E，D1，F四点共面；(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.4（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）理科数学试题）如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值.5（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，PA底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.(1)证明：B，M，N，K四点共面；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.6（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）如图（1），在梯形中，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.7（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.(1)证明：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.8（甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，ABAD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCDBC3AB3AD，M为线段BD的中点(1)求证：BD平面AFM；(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值9（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题）在直角梯形 (如图1)，AD8，ABBC4，M为线段AD中点将ABC沿AC折起，使平面ABC平面ACD，得到几何体BACD(如图2)(1)求证：CD平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值10（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，E为的中点，F在上，满足.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.11（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，四棱锥中，底面，且(1)求证：；(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求与底面所成的角的正切值12（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.(1)求BD的长；(2)求二面角的余弦值.13（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，侧面是矩形，为的中点，.(1)证明：平面；(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.14（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是梯形，为等边三角形，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时直线与平面所成角的大小.15（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（理）试题）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，AD=2.(1)求证：平面PCD平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.16（内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题）如图，在三棱柱中，侧棱底面，D、E分别是，的中点(1)证明：平面平面；(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值17（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，D，E分别为AC和上的点，且，F为棱上的点，.(1)证明：，且；(2)当为何值时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？18（浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）如图，在三棱锥中，为的中点，. (1)证明：平面平面；(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.19（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，平面平面，.(1)求证：为直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.20（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）如图，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，E为CD的中点.(1)求证：；(2)若，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.21（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）如图，在长方体中，点为的中点.(1)证明；(2)求平面与平面夹角的余弦值.22（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.23（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图，已知直角梯形与，G是线段上一点.(1)求证：平面；(2)若平面上平面，设平面与平面所成角为，求的取值范围.24（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由25（山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍”   (如图2)。(1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值.26（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）如图，在正三棱柱中，分别是棱，的中点(1)证明：平面平面(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值27（湘豫名校联考2023届高三下学期2月入学摸底考试数学（理科）试题）如图，四边形是菱形，平面，设，连接，交于点，连接，.(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.28（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试理科数学试题）在如图所示的六面体中，平面平面，.(1)求证：平面；(2)若两两互相垂直，求二面角的余弦值29（吉林省长春市长春外国语学校2021-2022学年高三下学期期末数学试题）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.(1)证明：平面平面；(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.30（广东省广州市天河区2021-2022学年高三下学期期末数学试题）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点(1)若的中点是M，求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值专题5 立体几何（理科）解答题30题1（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）如图，在三棱柱中，(1)证明：平面平面(2)设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设，由余弦定理求出，从而由勾股定理得到，进而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.（1）设在四边形中，连接，由余弦定理得，即，又，平面，平面，平面平面（2）取AB中点D，连接CD，由（1）易知平面，且如图，以B为原点，分别以射线BA，为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，则，设平面的法向量为，则，得，令，则取，AC与平面所成角的正弦值为2（陕西省榆林市2023届高三上学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面底面，且.(1)证明：.(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后利用线面垂直证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为，所以.又，所以.又，所以为正三角形，所以.因为在平面内相交，所以平面.又平面，所以.（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则令，得.由题可知，平面的一个法向量为.设平面和平面所成的锐二面角为，则.3（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）如图，四棱柱ABCD的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.(1)证明：B，E，D1，F四点共面；(2)若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明来证明B，E，D1，F四点共面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，EGDCAB，且，四边形ABEG为平行四边形，故.又F是的中点，即，故B，F，E四点共面.（2）连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A（，0，0），B（0，1，0），F（，0，1），设面的一个法向量为，则，即，取，设直线AE与平面BED1F所成角为，故，直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.4（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）理科数学试题）如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明线线垂直；(2)利用空间向量的坐标运算求面面角.【详解】（1）平面平面，如图，连接四边形为正方形，又平面，平面，平面.（2）由题意知直线两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.设平面与平面的法向量分别为.则令，则，令，则，故二面角的正弦值为.5（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，PA底面ABCD，M，N分别为CD，PD的中点，K为PA上一点，.(1)证明：B，M，N，K四点共面；(2)若PC与平面ABCD所成的角为，求平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明线线平行，再利用基本事实判定四点共面；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，求解两个平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AC交BM于E，连接KE，四边形ABCD是矩形，M为CD的中点，且，M，N分别是CD，PD的中点，K，E，M，N四点共面，B，M，N，K四点共面.（2），平面ABCD，PC与平面ABCD所成的角为，在中，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图，设平面BMNK的一个法向量为，则，令，得平面BMNK的一个法向量为，又平面PAD的一个法向量为，设平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的大小为，平面BMNK与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为.6（贵阳省铜仁市2023届高三下学期适应性考试（一）数学（理）试题）如图（1），在梯形中，为中点，现沿将折起，如图（2），其中分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，易证得四边形为平行四边形，从而得到，利用等腰三角形三线合一性质可分别得到，结合平行关系和线面垂直的判定可证得结论；（2）根据长度关系可证得两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）取中点，连接，为中点，又，四边形为平行四边形，分别为中点，又为中点，四边形为平行四边形，；，为中点，；，四边形为正方形，又，平面，平面.（2）由（1）知：，又，；，为中点，又，平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的法向量，令，解得：，；平面，平面的一个法向量为，由图形知：二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.7（湖北省武汉市2022届高三下学期2月调研考试数学试题）在如图所示的多面体中，点在矩形的同侧，直线平面，平面平面，且为等边三角形，.(1)证明：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，则由平面平面，可得平面，再由平面，可得， 再由已知条件可证得，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由线面垂直的性质可得结论，（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】（1）取中点，连接，.由平面平面，且交线为，平面.又平面，有，四点共面.平面平面，.又在矩形中，,，.又，平面.平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：.设平面的法向量.，令，则.设平面ECF的法向量.，令，则 .所平面与平面所成锐二面角的余弦值为.8（甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，ABAD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCDBC3AB3AD，M为线段BD的中点(1)求证：BD平面AFM；(2)求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)证明AFBD以及BDAM即可求证BDAM；(2)在点A处建立空间坐标系，分别计算平面AFM与平面ACE的法向量，结合空间角与向量角的联系计算即可.【详解】（1）因为四边形ADEF为正方形，所以AFAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面平面ABCDAD，平面，所以AF平面ABCD，而平面，所以AFBD，因为ABAD，M线段BD的中点，所以BDAM，且AMAFA，平面，所以BD平面AFM（2）由（1）知AF平面ABCD，所以AFAB，AFAD，又ABAD，所以AB，AD，AF两两垂直分别以为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz（如图）设AB1，则A，B，C，D，E，所以，设平面ACE的一个法向量为，则    即，令y1，则，则由（1）知，为平面AFM的一个法向量设平面AFM与平面ACE所成的锐二面角为，则所以平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为9（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（理科）试题）在直角梯形 (如图1)，AD8，ABBC4，M为线段AD中点将ABC沿AC折起，使平面ABC平面ACD，得到几何体BACD(如图2)(1)求证：CD平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据勾股定理得到，再根据面面垂直的性质定理可证CD平面ABC；（2）取AC的中点O，连接OB，先证明两两垂直，再以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）由题设可知，AD8，CDAC，又平面ABC平面ACD，平面平面ACDAC，平面，CD平面ABC（2）取AC的中点O，连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以，又因为平面ABC平面ACD，平面平面ACDAC，平面，所以平面,连接OM，因为平面,所以，因为M、O分别为AD和AC的中点，所以，所以OMAC，故以为原点，OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCM的一个法向量为，则，得，令，得，所以AB与平面BCM所成角的正弦值为.10（陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，在四棱锥中，平面，E为的中点，F在上，满足.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，根据题意求得相关点坐标，求出点F的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：因为平面，平面ABCD,所以,又因为，平面，所以平面.（2）过A作的垂线交于点M,因为平面，平面,所以,以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系如图，则,因为E为的中点，所以,因为F在上，设,则,故,因为，所以，即，即，即，所以，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，故；，设平面的一个法向量为，则,即，令，则，故，故，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.11（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）如图，四棱锥中，底面，且(1)求证：；(2)若平面与平面所成的二面角的余弦值为，求与底面所成的角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知结合勾股定理可推得，.进而证得平面，然后根据线面垂直的性质即可得出；（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 设写出各点的坐标，根据向量法得出平面与平面的法向量，结合已知可得，求出点坐标.在中，求出即可.【详解】（1）取中点E，连接，则由已知得且，所以由已知可得，.又，所以，所以.又底面，平面，所以.又，平面，平面.所以平面.因为平面，所以（2）如图，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设，由题知，.则，.设是平面的一个法向量.所以有，令，则，则是平面的一个法向量.由已知得，是平面的一个法向量.又平面与平面所成的二面角的余弦值为，则，整理可得，.因为，所以，即由直线与平面所成角定义知与底面所成的角为，在中，有，所以所以，与底面所成的角的正切值为.12（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形ABCD沿AD折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.(1)求BD的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中点，连接，即可得到，再由，从而得到平面，即可得解，从而求出；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【详解】（1）解：取中点，连接，是正三角形，又，平面平面，平面，在菱形中， 则，（2）解：取为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则， ，设平面PCD的法向量为，令，则，设平面PCB的法向量为，令，则，所以所以，又二面角为钝二面角，二面角的余弦值为；13（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，侧面是矩形，为的中点，.(1)证明：平面；(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.(1)因为矩形中，为的中点，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以平面.因为平面，所以，又，所以平面.(2)由（1）知两两相互垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为，令，连接，则，所以.设平面的一个法向量为，则，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一个法向量，所以，故二面角的余弦值为.14（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）如图，在四棱锥中，底面是梯形，为等边三角形，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）取线段的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）当时，由已知条件可证得平面，从而可得平面平面，分别取线段，的中点，连接，则可证得两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解(1)证明：取线段的中点，连接，则为的中位线， ，四边形为平行四边形.，平面，平面，平面.(2)当时，平面平面.理由如下：在中，.又，平面，又平面，平面平面.分别取线段，的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，即平面，.因为，分别为，的中点，所以，又，所以.分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，.所以直线与平面所成角的正弦值为，所成的角为.15（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（理）试题）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，AD=2.(1)求证：平面PCD平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取的中点，连接，证明，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.(1)取的中点，连接，如图，因为AD/BC，ABBCCD1，AD2，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，            因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)过点作于，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，AD/BC，ABBCCD1，AD2，则，所以，设平面的法向量为，因为 ，所以，令，则，  设平面的法向量为，因为，所以，令，则，     所以.16（内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题）如图，在三棱柱中，侧棱底面，D、E分别是，的中点(1)证明：平面平面；(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，证得，再根据题意证得平面，得到，进而证得平面，即可证得平面平面.（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，在平面内，过D且平行与直线为z轴，建立空间直角坐标系，得到和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：由题意知，可得，所以，所以，所以，因为，且为的中点，可得，又因为侧棱底面，且底面，所以，又由，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.(2)解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，在平面内，过D且平行与直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，设，可得，则，由平面，所以平面的法向量为，设与平面ADE所成角为，则.17（内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，D，E分别为AC和上的点，且，F为棱上的点，.(1)证明：，且；(2)当为何值时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证以及即可证得平面，即可证得，建立空间直角坐标系，求出，由即可证得；（2）直接写出平面的一个法向量，求出平面DEF的法向量，由夹角公式表示出余弦值，由平方关系求出二面角的正弦值，结合二次函数求解即可.【详解】（1）因为，所以，又，且，所以平面，又平面，所以.因为，所以在中，又，所以，由，且，得，取点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图所示）.则，设，则，于是，所以，即.（2）因为平面的一个法向量为，又由（1）知，设平面DEF的法向量为，则，所以有取，得，于是平面DEF的法向量为，所以，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，故当时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值为.所以当时，平面与平面DEF所成的二面角的正弦值最小.18（浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题）如图，在三棱锥中，为的中点，. (1)证明：平面平面；(2)若是边长为的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得；利用线面垂直判定可证得平面，由面面垂直的判定可得结论；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用二面角的向量求法可构造方程求得的值，利用棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1），为中点，又，平面，平面，平面，平面平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，过作垂直于的直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，令，解得：，；轴平面，平面的一个法向量；二面角的大小为，解得：；，.19（慕华优策联考2022-2023学年高三第一次联考理科数学试题）在四棱锥中，底面ABCD是等腰梯形，平面平面，.(1)求证：为直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）由平面平面证平面、，由几何关系证，即可证平面、；（2） 以P为原点PC，PD分别为x，y轴建立如图空间直角坐标系，由向量法求得平面PAB及平面的法向量，即可求二面角的余弦值，最后求正弦值即可【详解】（1）证明：在等腰梯形中，作，且为垂足，.又，面面，面面，面，面，又平面，平面，平面 ，平面，即为直角三角形.（2）由（1）知，平面，平面，过A作于，面面，面面，面，则平面.在中，.以P为原点PC，PD分别为x，y轴建立如图空间直角坐标系，则，.在平面PAB中，设其法向量为，则，令，解得，则，在平面中，设其法向量为，.则，令，得，故，则，故求二面角的正弦值为.20（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）如图，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，E为CD的中点.(1)求证：；(2)若，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取AD的中点F，连接PF，EF，根据面面垂直的性质定理证明平面ABCD，得，根据四边形ABCD为菱形以及是三角形的中位线，推出，再根据线面垂直的判定推出平面PEF，从而可得；（2）记，过点O作，以OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量公式可求出结果.【详解】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF.，.平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，平面ABCD.又平面ABCD，.四边形ABCD为菱形，.点E，F分别为CD，AD的中点，.，PF，平面PEF，平面PEF.又平面PEF，.（2）记，则.由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，则，.过点O作，则OA，OB，OQ两两垂直.如图，以OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，所以，.设平面PAE的法向量为，由，令，则，所以.设平面PBC的法向量为，由， 令，则，所以.设平面PBC与平面PAE所成锐二面角为，则，所以平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值为.21（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）如图，在长方体中，点为的中点.(1)证明；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证明平面，进而证得；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）因为在长方体中，所以，因为点为的中点，所以，又均为锐角，所以，因为，所以，所以，又在长方体中，平面，平面，所以，又因为，平面，平面所以平面，因为平面，所以.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则有得，取，得，设平面的一个法向量为，则有，取，得，设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.22（江西省上饶市六校2023届高三第一次联考数学（理）试题）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）先证明出面，利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）因为是边长为4的正三角形，边的中点，所以.因为顶点在平面上的射影为，所以平面,.因为面，面，,所以面.所以面，所以平面平面.（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.因为是边长为4的正三角形，为边的中点，所以.在直角三角形中，.所以，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.因为，即，不妨设，则.同理可求：.设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，所以.即二面角的余弦值为.23（江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图，已知直角梯形与，G是线段上一点.(1)求证：平面；(2)若平面上平面，设平面与平面所成角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接，连接，根据比例关系可以找到平面内一条直线平行于平面外的一条直线.(2)根据已知条件可以建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，代入公式求出夹角的余弦值，通过换元转化为二次函数的值域问题即可求解.【详解】（1）连接，连接，可知，即，因为平面，平面，所以平面.（2）由题意可知，平面，平面，建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，又，设平面的法向量为，则，取，故，令，当时，当时，所以.综上，24（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（理）试题）在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点(1)求证：；(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析(2)存在，且点为的中点【分析】（1）证明出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）分析可知，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：连接，为等边三角形，为的中点，则，因为点在底面上的射影为点，则平面，平面，、平面，平面，平面，.（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，所以，与底面所成的角为，则、，设点，其中，设平面的法向量为，则，取，则，设平面的法向量为，则，取，则，