2023年浙教版八年级数学第三章知识点总结归纳+经典例题+解析.pdf

名师总结 优秀知识点 第三章 不等式 重点：不等式性质和一元一次不等式解法。难点：一元一次不等式解法和一元一次不等式解决在现实情景下实际问题。知识点一：不等式概念 1.不等式：用“”(或“”)，“”(或“”)等不等号表示大小关系式子，叫做不等式.用“”表示不等关系式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号类型:“”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等，但不能明确两个 量谁大谁小；“”读作“大于”，它表示左边数比右边数大；“”读作“小于”，它表示左边数比右边数小；“”读作“大于或等于”，它表示左边数不小于右边数；“”读作“小于或等于”，它表示左边数不大于右边数；(2)等式与不等式关系：等式与不等式都用来表示现实世界中数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得关系，不是同类量不能比较。(3)要正确用不等式表示两个量不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语含义。2不等式解：能使不等式成立未知数值，叫做不等式解。要点诠释：由不等式解定义可以知道，当对不等式中未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式一个解，我们可以和方程解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式解，可将此数代入不等式左边和右边利用不等式概念进行判断。3不等式解集：一般地，一个含有未知数不等式所有解，组成这个不等式解集。求不等式解集过程叫做解不等式。如：不等式 x41 解集是 x5.不等式解集与不等式解区别:解集是能使不等式成立未知数取值范围,是所有解集合,而不等式解是使不等式成立未知数值.二者关系是:解集包括解,所有解组成了解集。要点诠释：不等式解集必须符合两个条件：(1)解集中每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立所有数值都在解集中。名师总结 优秀知识点 知识点二：不等式基本性质 基本性质 1：如果 ab，bc，那么 a-1,解不等式(2)得 x1,解不等式(3)得 x2,在数轴上表示出各个解为：原不等式组解集为-14x-5 得：x3，解不等式1 得 x2，1、先求出不等式组解集。2、在解集中找出它所要求特殊解，正整数解。原不等式组解集为 x2，这个不等式组正整数解为 x=1 或 x=2 点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 程中要注意正负数运算，这在考试中是会经常出现题型 例 3 m 为何整数时，方程组解是非负数？分析 解方程组得 方程组解是非负数，即 解不等式组 此不等式组解集为m,又m为整数，m=3或 m=4。点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用 m代数式表示 x,y,再运用“转化思想”，依据方程组解集为非负数条件列出不等式组寻求 m取值范围，最后切勿忘记确定 m整数值。例 4 解不等式-33x-15。分析 解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-x2，原不等式解集为-x2。解法（2）:将原不等式两边和中间都加上 1，得-23x6,将这个不等式两边和中间都除以 3 得，-x2,原不等式解集为-x2。点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时符号 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 例 5 有一个两位数，它十位上数比个位上数小 2，如果这个两位数大于20 并且小于 40，求这个两位数。分析 解法（1）:设十位上数为 x,则个位上数为(x+2),原两位数为10 x+(x+2),由题意可得：2010 x+(x+2)40,解这个不等式得，1x3,x 为正整数，1x3整数为 x=2 或 x=3，当 x=2 时，10 x+(x+2)=24,当 x=3 时，10 x+(x+2)=35,答：这个两位数为 24 或 35。解法（2）:设十位上数为 x,个位上数为 y,则两位数为 10 x+y,由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。将(1)代入(2)得，2011x+240,解不等式得：1x3,x 为正整数，1x3整数为 x=2 或 x=3,当 x=2 时，y=4，10 x+y=24,当 x=3 时，y=5,10 x+y=35。答：这个两位数为 24 或 35。解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于 20 且小于 40，所以它十位上数只能是 2 和 3。当十位数为 2 时，个位数为 4，当十位数为 3 时，个位数为 5，所以原两位数分别为 24 或 35。点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上数字与个位上数；一个相等关系：个位上数十位上数+2,一个不等关系：20原两位数0，2 a+ba+c，3 bcac，4 abac A.1 个；B.2个；C.3个；D.4个.2、不等式 2x50 正整数解有()A1 个；B2 个；C3 个；D0 个 3、如图 2，能表示不等式组0-1-21 2 3 解集是 （）A B C D 图 2 4、如图 3，不等式组0-1-21 2 3解集在数轴上表示正确是（）A B C D 图 3 5、不等式组x20 x10 解是()A、x2 B、x2 C、1x2 D、x1 6、下面不等式组无解是（）A.0-1-21 2 3；B.0-1-21 2 3；C.0-1-21 2 3；D.0-1-21 2 3.0-1-21230-1-21230-1-21230-1-2123 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 7、已知a、b为实数，且1ab，设11bbaaM，1111baN，则M、N大小关系是（）ANM BNM C NM D 不确定 8、已知关于 x 不等式组0-1-2123无解，则 a 取值范围是（）A.a 1 B.a2 C.1a2 D.a1，或 a2 9、小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，那么小明最多能买钢笔（）A.12 支；B.13 支；C.14 支；D.15 支 10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板一端；体重只有妈妈一半小芳和妈妈一同坐在跷跷板另一端.这时,爸爸那一端仍然着地.请你猜一猜小芳体重应小于（）A.49 千克 B.50 千克 C.24 千克 D.25 千克 二、填空题（每小题3分，共30分）11、若 ab，则2b_2a 12、如果 0，那么 xy_0 13、不等式 5x93（x1）解集是_.14、不等式组整数解为_.15、已知4x33x22x1，则 x 最大整数值为_ 16、在关于 x1，x2，x3方程组0-1-2123中，已知0-1-2123，那么将 x1，x2，x3从大到小排起来应该是_.17、对于整数 a,b,c,d，符号0-1-2123表示运算 ac-bd，已知 10-1-2123y0，化简|a|+|3a|23、有一个两位数，其中十位上数字比个位上数字小 2，如果这个两位数大于 20 而小于 40，求这个两位数 24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖 4 人，二等奖 6 人，三等奖 20 人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次奖品相同（1）若一等奖，二等奖、三等奖奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费 113 元，其中购买喷壶总钱数比购买口罩总钱数多 9 元，而口罩单价比温度计单价多 2 元，求喷壶、口罩和温度计单价各是多少元？（2）若三种奖品单价都是整数，且要求一等奖单价是二等奖单价 2 倍，二等奖单价是三等奖单价 2 倍，在总费用不少于 90 元而不足 150 元前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品单价？25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班 50 位同学参与了民主测评结果如下表所示：表 1 演讲答辩得分表（单位：分）等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表 2 民主测评票数统计表（单位：张）“好”票数“较好”票数“一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”方法确定；民主测评得分“好”票数2 分“较好”票数1 分“一般”票数0 分；综合得分演讲答辩得分（1a）民主测评得分a（0.5 a0.8）当 a0.6 时，甲综合得分是多少？a 在什么范围时，甲综合得分高？a 在什么范围时，乙综合得分高？四、探索题（第 26、27 小题，每小题 8 分，第 28 小题 9 分，共 25 分）26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解：（1）解不等式组2x+39 小虎解法：由不等式，得 x3 所以，原不等式组解集为 2x3（2）解不等式组2x7+x 3xx-6 小虎解法：-，得不等式组解集为 xb0)，则糖质量与糖水质量比为_；若等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 再加 c 克糖(c0)，则糖质量与糖水质量比为_生活常识告诉我们：加糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式 28、某园林门票每张 10 元，一次性使用考虑到人们不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原来售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分 A、B、C 三类,A 类年票每张 120 元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C类年票每张 40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元.（1）如果你只选择一种购买门票方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多购票方式；（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A类年票比较合算 参考答案 一、C B A B C，C B B B D 二、11、；13、x6；14、-3，-2；15、0；16、x2x1x3；17、3 或者-3；18、a3；19、8ay0，得 02a2a1a2 解得 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 a2 当 23 时，|a|3 a|aa32a3 23、设十位上数字为 x，则个位上数字为 x2 根据题意得 2010 xx240，以上不等式可化成下列不等式组 402x10 x 20210 x 由得1118x；由得1138x，所以不等式组解集是1138x1118 因为 x 表示是十位上数字，所以 x 只能是 2 或 3，则个位上数字是 4 或 5，所以这个两位数是 24 或 35 答：这个两位数是 24 或 35 24、（1）设喷壶和口罩单价分别是 y 元和 z 元，根据题意，得 4y+6z+20(z-2)=1134y-6z=9 解得y=9z=4.5 所以，z-2=2.5.因此，喷壶、口罩和温度计单价分别是 9 元、4.5 元和 2.5 元.（2）设三等奖奖品单价为 x 元，则二等奖奖品单价为 2x 元，一等奖奖品单价为 4x 元.根据题意，得 9044x+62x+20 x150 解得 178 x89 a 时，a0.75；又因为 0.5 a0.8，所以，当 0.5 a0.75 时，甲综合得分高.当 92 5a0.75；又因为 0.5 a0.8，所以，当 0.75x3 显然是错误，绝对不能出现 23此题中两个不等式解集 x3 没有公共部分，所以原不等式组无解 解第（2）题时，小虎把方程组解法机械地套用到解方程组中，缺乏科学依据正确解法是由不等式，得 x7；由不等式，得 x-3可知，原不等式组解集为 x-3 27、ab，cacb，cacbab 28、（1）根据题意，需分类讨论.因为 80120 40+3x120 10 x120 由，解得 x30；由，解得 x2623；由，解得 x12.解得原不等式组解集为 x30.所以，一年中进入该园林至少超过 30 次时，购买 A类年票比较合算 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 典型分析 例 1 解不等式组 点评 这类题型是常见解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算准确性及数轴表示法 例 2 求不等式组正整数解。点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数运算，这在考试中是会经常出现题型 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 例 3 m 为何整数时，方程组解是非负数？点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用 m代数式表示 x,y,再运用“转化思想”，依据方程组解集为非负数条件列出不等式组寻求 m取值范围，最后切勿忘记确定 m整数值。例 4 解不等式-33x-15。点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时符号 例 5 有一个两位数，它十位上数比个位上数小 2，如果这个两位数大于20 并且小于 40，求这个两位数。等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上数字与个位上数；一个相等关系：个位上数十位上数+2,一个不等关系：20原两位数0，2 a+ba+c，3 bcac，4 abac A.1 个；B.2个；C.3个；D.4个.2、不等式 2x50 正整数解有()A1 个；B2 个；C3 个；D0 个 3、如图 2，能表示不等式组0-1-21 2 3 解集是 （）A B C D 图 2 4、如图 3，不等式组240,1 0 xx 解集在数轴上表示正确是（）0-1-21230-1-21230-1-21230-1-2123 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 A B C D 图 3 5、不等式组x20 x10 解是()A、x2 B、x2 C、1x2 D、x1 6、下面不等式组无解是（）A.0201xx；B.0201xx；C.0201xx；D.0201xx.7、已知a、b为实数，且1ab，设11bbaaM，1111baN，则M、N大小关系是（）ANM BNM C NM D 不确定 8、已知关于 x 不等式组axxx12无解，则 a 取值范围是（）A.a 1 B.a2 C.1a2 D.a1，或 a2 9、小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，那么小明最多能买钢笔（）A.12 支；B.13 支；C.14 支；D.15 支 10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板一端；体重只有妈妈一半小芳和妈妈一同坐在跷跷板另一端.这时,爸爸那一端仍然着地.请你猜一猜小芳体重应小于（）A.49 千克 B.50 千克 C.24 千克 D.25 千克 二、填空题（每小题3分，共30分）11、若 ab，则2b_2a 12、如果 0，那么 xy_0 13、不等式 5x93（x1）解集是_.14、不等式组整数解为_.等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 15、已知4x33x22x1，则 x 最大整数值为_ 16、在关于 x1，x2，x3方程组313232121axxaxxaxx中，已知321aaa，那么将 x1，x2，x3从大到小排起来应该是_.17、对于整数 a,b,c,d，符号cbda 表示运算 ac-bd，已知 14 1bdy0，化简|a|+|3a|23、有一个两位数，其中十位上数字比个位上数字小 2，如果这个两位数大于 20 而小于 40，求这个两位数 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖 4 人，二等奖 6 人，三等奖 20 人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次奖品相同（1）若一等奖，二等奖、三等奖奖品分别是喷壶、口罩和温度计，购买这三种奖品共计花费 113 元，其中购买喷壶总钱数比购买口罩总钱数多 9 元，而口罩单价比温度计单价多 2 元，求喷壶、口罩和温度计单价各是多少元？（2）若三种奖品单价都是整数，且要求一等奖单价是二等奖单价 2 倍，二等奖单价是三等奖单价 2 倍，在总费用不少于 90 元而不足 150 元前提下，购买一、二、三等奖奖品时它们单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品单价？25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班 50 位同学参与了民主测评结果如下表所示：表 1 演讲答辩得分表（单位：分）A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表 2 民主测评票数统计表（单位：张）“好”票数“较好”票数“一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”方法确定；民主测评得分“好”票数2 分“较好”票数1 分“一般”票数0 分；综合得分演讲答辩得分（1a）民主测评得分a（0.5 a0.8）当 a0.6 时，甲综合得分是多少？a 在什么范围时，甲综合得分高？a 在什么范围时，乙综合得分高？四、探索题（第 26、27 小题，每小题 8 分，第 28 小题 9 分，共 25 分）26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解：（1）解不等式组2x+39 小虎解法：由不等式，得 x3 所以，原不等式组解集为 2x3（2）解不等式组2x7+x 3xx-6 小虎解法：-，得不等式组解集为 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术名师总结 优秀知识点 xb0)，则糖质量与糖水质量比为_；若再加 c 克糖(c0)，则糖质量与糖水质量比为_生活常识告诉我们：加糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式 28、某园林门票每张 10 元，一次性使用考虑到人们不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原来售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分 A、B、C 三类,A 类年票每张 120 元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C类年票每张 40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元.（1）如果你只选择一种购买门票方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多购票方式；（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A类年票比较合算 等关系式子也是不等式要点诠释不等号类型读作不等于它说明两个量之小于或等于它表示左边数不大于右边数等式与不等式关系等式与不等式表示两个量不等关系就要正确理解非负数非正数不大于不小于等数学术