2023年有理数的概念教师精品讲义.pdf
学习必备 欢迎下载 有理数的概念（教师教案）【开课】今天的内容主要包括以下几部分：一有理数的基本概念 课程目标 1 理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，有理数在数轴上的表示，理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题；课程安排 老师先将第一段练习发给每一位学生，学生做题时老师必须巡视，了解学生做题情况。学生完成练习后，老师讲解。【教师讲课要求】教师简要介绍本次课程的关键点，同学做题，然后教师讲解（第一段例题）。老师总结，学生做综合练习（第二段），然后老师讲解。知识点总结 1 正数和负数 正数就是带有正号的数(正号可以省略不写)，是大于零的数；而负数是带有负号的数，是比零小的数。2 有理数：整数和分数统称有理数。正整数整数 零负整数有理数正分数分数负分数 (2)而按照正、负数来分又有如下分类：正整数正有理数正分数有理数 零负整数负有理数负分数 3 数轴是这样的东西：规定了零点，正方向，单位长度的直线叫做数轴 4 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。5 如果两个数的乘积为 1，那么这两个数互为倒数 6 相反数的数轴表现：在数轴上，位于原点两边，并且到原点的距离相等的数互为相反数；7 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。用符号表示数 a的绝对值。00|00|00aaaaaaaaaaa或者说 学习必备 欢迎下载 第一段 典型例题 第一部分【课程目标】：理解有理数的基本概念，知道有理数的分类，有理数在数轴上的表示，理解相反数、倒数以及绝对值的概念并解决实际问题【教师讲课要求】范例 1（1）最大的负整数是 ；最小的正整数是 ；（2）既不是整数，也不是正数的有理数是 ；（3）所有的小数都能化成分数吗？。答案：(1)负整数是小于零的整数，所以最大的负整数是1，同样可以得到最小的正整数是 l(2)不是整数的数是分数，不是正数的数是负数和零，从而既不是整数也不是正数的有理数是负分数；(3)只有有限小数和循环小数可以化为分数而无限不循环小数是不能化为分数的，例如，我们知道著名的圆周率就不能化为分数 教师总结知识点有限小数和循环小数可以化为分数，他们是有理数 范例 2 已知 A 在数轴上表示2 的点，在数轴上标出与点 A 的距离是 2 个长度单位的点，并读出这样的点所表示的数 答案：(1)先在数轴上找到表示2 的点 A；(2)在数轴上距离点 A 2 个长度单位的点有左右两个，一个在 A 的右侧，一个在 A 的左侧；(3)从 A 出发往右走两步得到的就是零点 O，而往左走两步得到的是4，就是图中的 B 点，从而图中的 O 和 B 就是我们要找的点，同时这两个数分别是 0 和4 教师总结知识点利用数轴我们可以方便的找到一些我们要找的数 范例 3 判断下列直线图 4-2（1）是否是数轴？(1)-2 -1 0 1 2 (2)0 (3)1 2 图 4-2（1）答案:(1)缺少正方向（2）缺少单位长度；（3）缺少原点 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载 范例 4 若3a 的相反数是8，则a的相反数是多少？解 因为 8 的相反数是8，根据题意，得 3a 8 解方程，得 a5 所以a的相反数是5 范例 5 若一个数与这个数的相反数的差为 2，那么这个数是多少呢?答案：(1)设这个数是 a,那么 a 的相反数是a；(2)原问题转化为“a 与a 的差为 2,求 a 的值”；(3)列出方程：a(a)2,也就是 aa2；(4)最后得到以 a1 范例 6 已知以 a0，计算 l+2a+12a的值 分析:还是要判断绝对值之中数的符号，也就是要判断 l2a 的符号 答案:(1)因为 a0，所以 2a0，从而 12a 必然大于 0，从而|12a|12a(2)12a+|12a|1+2a12a2 范例 7 已知|2x5|xy|0，试求 x,y 的值 答案:(1)由于|2x5|，|xy|都是非负数，而它们的和又是 0，所以只有 2x5xy0；(2)由 2x50 得到 x52，又由 xy0 得到 yx52；(3)从而 x，y 的值都是52 范例 8 如果 a0,则|aa有可能取什么样的值呢？答案:我们知道a 有可能等于 a 也有可能等于a，从而|aa有可能等于 1 和1；教师总结知识点一个非零数和它的绝对值的商为 1 或者1 范例 9 把下列各数，按从小到大的次序，用“”号连接起来：2，2，3，3，0，21，143 分析：比较几个有理数的大小，可以先用数轴上的点来表示这些数（如果题目没有特别要求，只要画一个大致的草图即可），然后按照数轴上左边的数较小，右边的数较大的原理把这些数按从小到大的次序用“”连接起来 答案：把题中的各数表示在轴上，得到 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载 1433202123 教师总结知识点 数轴上的点从左到右的排列次序与有理数大小的排列顺序是一致的解这类习题时，特别要注意审题清楚，即这些数的比较是按从小到大次序排列还是按从大到小的次序排列 范例 10比较27和0.28 的大小；分折：比较两个负数的大小，可先比较这两个负数的绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”下结论 解（）方法一：272750175，0.282810072549175 5017549175，270.28 方法二：27271449，0.28281001450 14491450，270.28 方法三：27270281,0.280.28 0.2810.28,270.28 教师总结知识点 解本题的三种方法都是应用同一条法则进行比较的，区别在于比较绝对值大小的方法不同 方法一是化作分母相同的分数进行经较；方法二是变成分子相同的分数进行比较；方法三则是把分数化成小数，再按小数大小比较的法则进行的(实际比较时，分数化小数，只要取比已知小数多保留一位的近似值即可)范例 11已知：|a|3，|b|2，且 ab，求 a+b 的值 分析:由绝对值的含义可知：a3，b2又ab，所以a3 不能取，只能取3，又23，所以b可以取2 答案:解 由|a|3 得到a3，由|b|2 得到 b2，因为 ab，所以 a3，b2，即 a+b=5 或 a+b=1 教师总结知识点 一个数的绝对值等于一个正数，这个数应该是这个正数或它的相反数，在本题中另外要注意的是题目听“ab”这个条件，不能盲目地得出a3，必须排除a3 这一可能性 范例 12(1)已知：|x|=x，求 x 的取值范围；（2）已知1|xx，求 x 的取值范围 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载 分析:第（1）小题由“一个正数的绝对值是它本身”和“零的绝对值是零”可知：一个数的绝对值等于这个数，这个数就是正数或零 第（2）小题中|x|=-x 时，1|xx（但这里的 x0），由“一个负数的绝对值是它的相反数”可知：这里的 x 只能取负数 答案:解 （1）x 的取值范围为正数或零，即 x0(2)x 的取值范围为负数，即 x0 教师总结知识点在第（1）题中应注意零和正数的绝对值就是它们本身，不能忽视了“零”;第（2）小题中应注意零与负数的绝对值就是它们的相反数，因为零不能为除数，所以这里的x不能为零，如果是单纯的|x|=-x，那么x的取值应是x0 范例 13已知三个有理数a、b、c，b是a的相反数，c是b的倒数，比较ab和ac的大小？并简要说明理由 解：a、互为相反数，a+b0 c是b的倒数,c是a的倒数()1ca ，那ac1 01,abac 中考链接 1 请你在数轴上用“”表示出比 1 小 2 的数 (2006 吉林)-3 -2 -1 0 1 2 2 若 m,n 互为相反数,则 m+n=(2006 江西)答案:0 3 若 x 的相反数是 3,y=5,则 x+y 的值是()(2006 哈尔滨)(A)-8 (B)2 (C)8 或-2 (D)-8 或 2 答案:D 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载 第二段 一填空题 1满足b3 的整数b是 _ 答案:3,2,1,0,1,2,3 2规定了 ，的直线叫做数轴 答案:原点 、正方向 、单位长度 3如果0a，那么a 答案:a 4如果2m与3 互为相反数，那么m 答案:1 5如果0ab，那么ab 答案:ab 613与 互为相反数，13与 互为倒数 答案:13,3 7比较大小：10(1)101（填“”、“”或“”号）答案:二、判断题 1互为相反数的两个数的绝对值的和一定大于零 2所有的有理数都能在数轴上找到与它对应的点 3对于任意有理数0 x，0y，都有xyxy 41的n次方与1的1n次方互为相反数 答案:1（）2（）3（）4()三、选择题：1在理数中，一个数的相反数等于它本身的有（）个；B个；C个；D无数个 答案:B 2下列说法正确的是（）a一定是负数；B数轴上原点两旁的数是相反数；C一个数的绝对值是正数；D 任何有理数都有相反数 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载 答案:D 3有a、b、a、b四个非零数，下列不等式不能成立的是（）baab ；Bbaab ；Cabba ；D abab 答案:D 4下列说法错误的是（）（A）正数的倒数是正数；（B）负数的倒数是负数；（C）0 没有相反数；（D）0 没有倒数 答案:C 5如果ab，那么下列结论正确的是（）（A）2a2b；（B）2a2b；（C）2a2b；（D）以上答案都有错误 答案:D 四、比较下列每组的大小：（1）45 和34；（2）087 和78；(3)比较9991000和998999的大小(4)已知10a ，试比较a、a、的大小 答案:(1)45 34；（2）0.8778；(3)9991000998999；(4)11aa 五化简：（）yxyx ；（）xyyx ；（）121aaa ，其中2a 答案：(1)yxyx 2x；（）xyyx 22xy 安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西学习必备 欢迎下载(3)121aaa 4a 六综合题 1已知6a，3b，abba ，求a、b的值 答案：6a 、33b 或 2已知|2|2xx，求x的取值范围 答案：2x 3一个数的绝对值的倒数等于528，这个数的绝对值是多少 答案：821 4设a、b、c三个有理数在数轴上对应的点 A、B、C 的位置如图所示，请化简：abbcca C B A -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 答案：22ab 七、简答题：(1)已知甲数的绝对值大于乙数的绝对值，能断定甲数一定大于乙数吗？举例说明 答：不能，如|-5|-3|，但 (2)已知甲数小于乙数，能断定甲数的绝对值一定小于乙数的绝对值吗？举例说明 答：不能，如，但|-5|-3|()如果甲乙两数的绝对值相等，甲乙两数的关系有哪几种可能？举例说明 答：两种可能：一种可能是相等（如|2|=|2|）；另一种可能是互为相反数（|2|=|-2|）安排老师先将第一段练习发给每一位学生学生做题时老师必须巡视了解师讲解知识点总结正数和负数正数就是带有正号的数正号可以省略不写有理数有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数数轴是这样的东西
