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学习必备 欢迎下载 第 1 章 随机事件及其概率（1）排 列 组 合公式)!(!nmmPnm 从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加 法 和 乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m n 种方法来完成。（3）一 些 常 见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随 机 试 验和 随 机 事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样 本 空 间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事 件 的 关系与运算 关系：如果事件 A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A与 B不可能同时发生，称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。学习必备 欢迎下载-A称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA（7）概 率 的 公理化定 义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有 11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（8）古典概型 1 n21,，2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=P)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(LALAP。其中 L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设 A、B是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 例如：P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()/()()(BAPBPABPAPABP 更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A，B相互独立，则可得到A与B，A与B，A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 A，B，C是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全 概 率 公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi，2 niiBA1 ，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝 叶 斯 公式（用 于 求后验概率）设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2 niiBA1，且0)(AP，则 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断。（17）我们作了n次试验，且满足 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 伯 努 利 概型 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp 1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2,1,0。第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1k，（2）11kkp。（2）连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有 xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf,2 1)(dxxf ,3dxxxxfXPxx21)()(21 ,4)()()(xfxFxxf处连续，则有在点若 。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF 称为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x 的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4 )()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布 0-1 分布 即 B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 即 B(n,p)在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是 0-1 分布，所以 0-1 分布是二项分布的特例。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 泊松分布 即 P()设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(，0，k=0,1,2，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布是二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量 X服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b 内，其密度函数)(xf在a，b上为常数ab 1，即 ,0,1)(abxf 其他，则称随机变量X在a，b 上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X落在区间（21,xx）内的概率为 abxxxXxP1221)(。0，xb。axb 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 指数分布 其中0，则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt222)(21)(参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex，x，分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)1/2 如果),(2NX，则X )1,0(N。1221)(xxxXxP。)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载（6）分位数 下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。（7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY 的分布列（)(iixgy 互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY ，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用 X的概率密度 fX(x)写出 Y的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量=（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机向量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp 连续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX，如 果 存 在非 负 函 数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的 矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，.（4）离 散 型 与连 续 型 的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，（5）边 缘 分 布密度 离散型 X的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。连续型 X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP 连续型 在已知 Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知 X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX （7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：联合概率密度函数可分离变量。正概率密度区间为矩形。二维正 态分布,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数 随机变量 的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X与 Y独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X与 Y独立，则：3X+1和 5Y-2独立。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D的面积，则称（X，Y）服从 D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),22,2211NY 但是，若 XN（)(),22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）关 于 随 机变 量 的 函数的分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn)若nXXX21,相 互 独 立，其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1 )(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量W 服从自由度为n的2分布，记为W)(2n，其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ t 分布 设 X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明函数 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf).(t 我们称随机变量 T服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntnt 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 F 分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F分布，记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望（期望就是平均值）设 X 是离散型随机变量，其分布 律 为 P(kxX)pk，k=1,2,n，nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （1）一维随机变量的数字特征 一维随机变量的函数的期望 Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(方差 D(X)=EX-E(X)2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2 矩 对于正整数 k，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=iikipx,k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X的k 次幂的数学期望为 X的 k 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=,)(dxxfxk k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X与E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=,)()(dxxfXExk k=1,2,.切比雪夫不等式 设随机变量 X的数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （2）期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，niniiiiiXECXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和 Y不相关。（3）方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和 Y独立；充要条件：X和 Y不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1 分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2)完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （5）二维随机变量的数字特征 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(二维随机变量的函数的期望 ),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2 协方差 对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与Y的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY=E(XY)-E(X)E(Y)与记号XY相对应，X与 Y的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX与YY。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 相关系数 对于随机变量 X与 Y，如果 D（X）0,D(Y)0，则称 XY=)()(YDXDXY 为 X与 Y的相关系数，XY有时可简记为，且|1。当|=1 时，称 X与 Y完全相关：1)(baYXP 完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa 而当0时，称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为 X与 Y的k+l阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记为：)()(lkklYEYXEXEu（6）协 方差 的性质()cov(X,Y)=cov(Y,X);()cov(aX,bY)=abcov(X,Y);()cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);()cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独 立和 不相关()若随机变量 X与 Y相互独立，则0XY；反之不成立。()若（X，Y）N（,222121），则 X与 Y相互独立等价于 X和 Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，即 D（Xi）0，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为 .11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A发生的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1limpnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有.11lim1niinXnP （2）中心极限定理 ),(2nNX 林德伯格列维定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 2121limlim().2ntkxknnnXnPxxedtnFx 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX服从 B(n,p)(0p1)，则nX的分布函数Fn(x)对于任意实数x,有 2121limlim().(1)2ntnxinnXinpPxxFenxdtpp （3）二项定理 若当),(,不变时knpNMN，则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当0,npn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 第六章 样本及抽样分布 （1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本 我们把从总体中抽取的部分样品nXXX,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nXXX,21表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数 和统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称（nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 常见统计 量 及 其 性质 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本 k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本 k 阶中心矩 nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudef t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnsxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为n-1的 t 分布。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 分布2 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为 n-1 的2分布。F 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121 nnFSSFdef 其中,)(11211211niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21 nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F分布。（3）正 态 总 体下 分 布 的性质 X与2S独立。第七章 参数估计 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 （1）点估计 矩估计 设总体 X 的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF它的 k阶原点矩),2,1)(mkXEvkk中也包含 了 未 知 参 数m,21，即),(21mkkvv。又 设nxxx,21为总体 X的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为 nikixn11).,2,1(mk 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)(g为)(g的矩估计。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 极 大 似 然估计 当 总 体 X 为 连 续 型随 机 变 量 时，设 其分 布 密 度 为),;(21mxf，其 中m,21为 未 知 参 数。又 设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122nimimxfL 为样本的似然函数，简记为Ln.当 总 体 X 为 离 型 随 机 变 量 时，设 其 分 布 律 为),;(21mxpxXP，则称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)(g为)(g的极大似然估计。（2）估计量 的 评选 标准 无偏性 设),(21nxxx为未知参数的估计量。若 E（）=，则称 为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性 设),(2111nxxx和),(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)(nD则为的一致估计。只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间 估计 置信区间 和 置信度 设总体 X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,121P 那么称区间,21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间,21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间 nxnx00,完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(/ntnSxt (ii)查表找分位数 .1/nSxP（iii）导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii）查表找分位数 .1)1(2221SnP （iii）导出的置信区间 SnSn121,1 第八章 假设检验 完成此事某件事由两种方法来完成第一种方法可由种方法完成第二种方方法来完成则这件事可由种方法来完成重复排列和非重复排列有序对立试验为随机试验试验的可能结果称为随机事件在一个试验下不管事件有学习必备 欢迎下载 基本思想 假设检验的基本思想：认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，即小概率原理。为了检验一个假设 H0是否成立。我们先假定 H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，