2023年正交分解法整体法和隔离法精品讲义.pdf
学习必备 欢迎下载 物理总复习：正交分解法、整体法和隔离法【考纲要求】1、理解牛顿第二定律，并会解决应用问题；2、掌握应用整体法与隔离法解决牛顿第二定律问题的基本方法；3、掌握应用正交分解法解决牛顿第二定律问题的基本方法；4、掌握应用合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法。【考点梳理】要点一、整体法与隔离法 1、连接体：由两个或两个以上的物体组成的物体系统称为连接体。2、隔离体：把某个物体从系统中单独“隔离”出来，作为研究对象进行分析的方法叫做隔离法（称为“隔离审查对象”）。3、整体法：把相互作用的多个物体视为一个系统、整体进行分析研究的方法称为整体法。要点诠释：处理连接体问题通常是整体法与隔离法配合使用。作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。要点二、正交分解法 当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题，多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，有：xFma（沿加速度方向）0yF (垂直于加速度方向）特殊情况下分解加速度比分解力更简单。要点诠释：正确画出受力图；建立直角坐标系，特别要注意把力或加速度分解在 x 轴和 y轴上；分别沿 x 轴方向和 y 轴方向应用牛顿第二定律列出方程。一般沿 x 轴方向（加速度方向）列出合外力等于ma的方程，沿 y 轴方向求出支持力，再列出fN的方程，联立解这三个方程求出加速度。要点三、合成法 若物体只受两个力作用而产生加速度时，这是二力不平衡问题，通常应用合成法求解。要点诠释：根据牛顿第二定律，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单。【典型例题】类型一、整体法和隔离法在牛顿第二定律中的应用【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 4】例 1、如图所示，质量为 2m 的物块 A，质量为 m 的物块 B，A、B 两物体与地面的摩擦不计，在已知水平力 F 的作用下，A、B 一起做加速运动，A 对 B 的作用力为_。【答案】3F【解析】取 A、B 整体为研究对象，与地面的摩擦不计，根据牛顿第二定律 学习必备 欢迎下载=3Fma 3Fam 由于 A、B 间的作用力是内力，所以必须用隔离法将其中的一个隔离出来，内力就变成外力了，就能应用牛顿第二定律了。设 A对 B的作用力为N，隔离 B,B 只受这个力作用 33FFNmamm。【总结升华】当几个物体在外力作用下具有相同的加速度时，就选择整体法，要求它们之间的相互作用力，就必须将其隔离出来，再应用牛顿第二定律求解。此类问题一般隔离受力少的物体，计算简便一些。可以隔离另外一个物体进行验证。举一反三【变式 1】如图所示，两个质量相同的物体 A 和 B 紧靠在一起放在光滑水平桌面上，如果它们分别受到水平推力1F和2F，且12FF，则 A 施于 B 的作用力的大小为（）A 1F B2F C121()2FF D 121()2FF【答案】C【解析】设两物体的质量均为 m，这两物体在1F和2F的作用下，具有相同的加速度为122FFam，方向与1F相同。物体 A 和 B 之间存在着一对作用力和反作用力，设 A 施于 B的作用力为 N（方向与1F方向相同）。用隔离法分析物体 B 在水平方向受力 N 和2F，根据牛顿第二定律有2NFma 2121()2NmaFFF 故选项 C 正确。【变式 2】如图所示,光滑水平面上放置质量分别为 m 和 2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是mg，现用水平拉力 F 拉其中一个质量为 2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对 m 的最大拉力为 ()A.35mg B.34mg C.32mg D.3 mg【答案】B【解析】以四个木块为研究对象,由牛顿第二定律得 6Fm a 绳的拉力最大时,m 与2m 间的摩擦力刚好为最大静摩擦力mg,以2m(右边的)为研究对象,则 2Fm gm a,对 m 有 mgTma,联立以上三式得 34Tm g B 正确。例 2、质量为 M 的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间 t 内前进的距离为 s。耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为 F，受到地面的阻力为自重的 k 倍，所合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角 保持不变。求：（1）拖拉机的加速度大小。（2）拖拉机对连接杆的拉力大小。（3）时间 t 内拖拉机对耙做的功。【答案】（1）22st （2）212()cossFM kgt（3）22()sFM kgst【解析】（1）拖拉机在时间 t 内匀加速前进 s，根据位移公式 212sat 变形得 22sat （2）要求拖拉机对连接杆的拉力，必须隔离拖拉机，对拖拉机进行受力分析，拖拉机受到牵引力、支持力、重力、地面阻力和连杆拉力 T，根据牛顿第二定律 cosFkMgTMa 联立变形得 212()cossTFM kgt 根据牛顿第三定律连杆对耙的反作用力为 212()cossTTFM kgt 拖拉机对耙做的功：cosWTs 联立解得22()sWFM kgst 【总结升华】本题不需要用整体法求解，但在求拖拉机对连接杆的拉力时，必须将拖拉机与耙隔离开来，先求出耙对连杆的拉力，再根据牛顿第三定律说明拖拉机对连接杆的拉力。类型二、正交分解在牛顿二定律中应用 物体在受到三个或三个以上不同方向的力的作用时，一般都要用正交分解法，在建立直角坐标系时，不管选哪个方向为 x 轴的正方向，所得的结果都是一样的，但在选坐标系时，为使解题方便，应使尽量多的力在坐标轴上，以减少矢量个数的分解。例 3、如图所示，质量为 0.5 kg 的物体在与水平面成30角的拉力 F 作用下，沿水平桌面向右做直线运动经过 0.5m，速度由 0.6 m/s 变为 0.4 m/s，已知物体与桌面间的动摩擦因数=0.1，求作用力 F 的大小。【答案】0.43FN【解析】由运动学公式2202vvax 得 22200.2/2vvam sx 其中，负号表示物体加速度与速度方向相反，即方向向左。对物体进行受力分析，如图所示，合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 建立直角坐标系，把拉力 F 沿 x 轴、y 轴方向分解得 c o s 3 0 xFF si n 30yFF 在 x 方向上，=cos30NFFFma合 在 y 方向上，=0F合，即 s i n 3 0NFFm g 联立式，消去NF 得 cos30(sin30)FmgFma 所以 ()0.43cos30+sin30m agFN 【总结升华】对不在坐标轴方向的力要正确分解，牛顿第二定律要求的是合外力等于ma，一定要把合外力写对。不要认为正压力就等于重力，当斜向上拉物体时，正压力小于重力；当斜向下推物体时，正压力大于重力。举一反三【变式 1】质量为 m 的物体放在倾角为的斜面上，物体和斜面的动摩擦因数为，如沿水平方向加一个力 F，使物体沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动（如图所示），则 F 为多少？【答案】(sincos)cossinm aggF 【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解，分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。（1）受力分析：物体受四个力作用：推力 F、重力 mg、支持力NF，摩擦力fF。（2）建立坐标：以加速度方向即沿斜向上为 x 轴正向，分解 F 和 mg（如图所示）：（3）建立方程并求解 x 方向：c o ss i nfFm gFm a y 方向：cossin0NFmgF fNFF 三式联立求解得 (sincos)cossinm aggF 【变式 2】如图(a)质量 m1kg 的物体沿倾角37 的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速 v 成正比，比例系数用 k表示，物体加速度 a 与风速 v 的关系如图(b)所示。求：（1）物体与斜面间的动摩擦因数；（2）比例系数 k。合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载(210/gm ssin530.8，cos530.6）【答案】（1）0.25（2）0.84/kkg s【解析】（1）对初始时刻：0sincosmgmgma 1 由图读出204/am s 代入1式，解得：0sin0.25cosgmag；（2）对末时刻加速度为零：sincos0mgNkv 2 又 cossinNmgkv 由图得出此时5/vm s 代入2式解得：kmg（sincos）v（sincos 0.84kg/s。分解加速度：分解加速度而不分解力，此种方法一般是在以某种力或合力的方向为 x 轴正向时，其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。例 4、如图所示，电梯与水平面间夹角为30，当电梯加速向上运动时，人对梯面的压力是其重力的 6/5，人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？【答案】35NFmg【解析】对人受力分析：重力mg，支持力NF，摩擦力f（摩擦力方向一定与接触面平行，由加速度的方向推知f水平向右）。建立直角坐标系：取水平向右（即 F的方向）为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向（如图），此时只需分解加速度，其中cos 30 xaa sin30yaa （如图所示）根据牛顿第二定律有 x 方向：cos30 xfmama y 方向：sin30NyFmgmama 又 65NFmg 解得 35NFmg。【总结升华】应用分解加速度这种方法时，要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解，合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 如果还有其它力需要分解，应用分解加速度方法就没有意义了。例 5、某科研单位设计了一空间飞行器，飞行器从地面起飞时，发动机提供的动力方向与水平方向夹角60，使飞行器恰沿与水平方向成30角的直线斜向右上方匀加速飞行。经时间t后，将动力的方向沿逆时针旋转 60同时适当调节其大小，使飞行器依然可以沿原方向匀减速飞行，飞行器所受空气阻力不计。求：(1)t时刻飞行器的速率；(2)整个过程中飞行器离地的最大高度。【答案】(1)vgt (2)234Hgt【解析】（1）沿运动方向和垂直运动方向建立坐标系 沿运动方向：cos30sin30Fmgma （1）垂直运动方向：s i n 3 0c o s 3 0Fm g （2）解（1）（2）得 3Fmg ag t时刻飞行器的速度 vat 得 vg t （2）逆转后 垂直运动方向：cos30Fmg （3）沿运动方向：sin30mgma （4）求得 32Fmg 12ag 经过时间t 速度减为零 a tv 求得2tt 离地最大高度：222113()sin 30224Hata tgt 用合成法（平行四边形定则）求解：图形如图所示，解析略。合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用 例 6、如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速在动摩擦因数为 的水平地面上做匀减速运动，不计其它外力及空气阻力，则其中一个质量为 m 的土豆 A 受其它土豆对它的总作用力大小应是（）A.mg B.mg C.21mg D.21mg 【答案】C 【解析】对箱子和土豆整体分析，设质量为 M MgMa ag 箱子在水平面上向右做匀减速运动，加速度方向向左，其中一个 质量为 m 的土豆，合力大小为ma，方向水平向左，一个土豆受重力，把其它土豆对它的总作用力看成一个力 F，二力不平衡，根据合成法原理，作出力的平行四边形，可知 F 是直角三角形的斜边，22222()()()()1Fmgmamgm gmg 所以 C 正确。【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题，用合成法解题，把力学问题转化为三角、几何关系问题，很简捷。举一反三【变式】如图所示，一箱苹果沿着倾角为 的光滑斜面加速下滑，在箱子正中央夹有一只质量为 m 的苹果，它受到周围苹果对它作用力的方向是（）A沿斜面向上 B沿斜面向下 C垂直斜面向上 D竖直向上 【答案】C 作出力的平行四边形分析 F的方向，垂直斜面向上。【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 3】例 7、如图所示，质量为 0.2kg 的小球 A 用细绳悬挂于车顶板的 O 点，当小车在外力作用下沿倾角为 30 的斜面向上做匀加速直线运动时，球 A 的悬线恰好与竖直方向成 30 夹角。g=10m/s2，求：（1）小车沿斜面向上运动的加速度多大？（2）悬线对球 A 的拉力是多大？（3）若以（1）问中的加速度向下匀加速，则细绳与竖直方向夹角？【答案】（1）2/10sm （2）N32 （3）600；【解析】解法一：用正交分解法求解（1）（2）A受两个力：重力 mg、绳子的拉力 T，根据牛顿第二定律列出方程 A 30o a 合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 沿斜面方向：cos30sin30Tmgma （1）垂直于斜面方向：sin30cos30Tmg （2）解得 2 3TN，a 2/10sm 解法二：用合成法求解 小球只受两个力作用且二力不平衡，满足合成法的条件。拉力与 竖直方向成30角，合力方向沿斜面与水平面夹角也为30角，合力大小为ma，如图，三角形为等腰三角形，所以：mamg，210/agm s。由几何关系得拉力 2cos302 3TmgN（3）用合成法求解 小车匀加速向下运动，小球向上摆动，设细线与竖直方向夹角 为,竖直向下的重力加速度为 g,沿斜面向下的加速度为 a 2/10smg,从图中几何关系可看出二者的夹角为60,则细线的 方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角60。【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向，关键是正确做出力的平行四边形。【高清课堂：牛顿第二定律及其应用 1 例 2】例 8、如图所示，一质量为 0.2kg 的小球用细绳吊在倾角为 =53o的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦。求下列几种情况下下，绳对球的拉力 T：（1）斜面以25/m s的加速度水平向右做加速运动；（2）斜面以210/m s的加速度水平向右做加速运动；（3）斜面以210/m s的加速度水平向右做减速运动；【答案】（1）NNNT4.0,2.211（2）20N 22.83TN 45（3）NNNT8.2,4.033【解析】斜面由静止向右加速运动过程中，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减小，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于角。而题中给出的斜面向右的加速度25/am s，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为0a，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图所示。0cotmgma 代入数据解得：207.5/am s（1）斜面以25/m s的加速度水平向右做加速运动，0aa，小球没有离开斜面，小球受力：重力mg，支持力1N,绳拉力1T,进行正交分解，水平方向：11cossinTNma 竖直方向：11sincosTNmg 解得NNNT4.0,2.211；（2）因为2010/am sa，所以小球已离开斜面，斜面的支持力20N，由受力分析可知，细绳的拉力为 (图中Fma)222()()2 22.83TmgmaNN 此时细绳拉力2T与水平方向的夹角为 arctan45mgma （3）斜面以 10m/s2的加速度水平向右做减速运动,加速度方向向左，与向左加速运动一样，当加速度达到某一临界值时，绳子的拉力为零，作出力的平行四边形，合力向左，重力竖直向下，0t a nmamg 0a为绳子拉力为零的临界加速度 22040tan/10/3agm sm s，所以绳子有拉力。小球受力：重力mg，支持力3N,绳拉力3T,进行正交分解，水平方向：33sincosNTma 竖直方向：33cossinNTmg 解得NNNT8.2,4.033。解法二：采用分解加速度的方式 x方向：sincosmgTma 合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处学习必备 欢迎下载 所以 sincos0.4TmgmaN 2.8NN 在针对两个未知力垂直时比较简捷，细节是对加速度要进行分解。【总结升华】这是一道很难的例题，涉及到应用牛顿第二定律解决临界问题，临界条件要判断正确。熟练应用正交分解，对只有两个力，二力不平衡时应用平行四边形定则求解较简捷，在针对两个未知力垂直时采用分解加速度的方式求解比较简捷，简化了运算，解题速度快。合成法解决牛顿第二定律问题的基本方法考点梳理要点一整体法与隔离对象整体法把相互作用的多个物体视为一个系统整体进行分析研究的方隔离后的每一部分或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体处
