2022年最优化原理和方法 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 最优化原理与算法试卷一、填空题（每道题5 分）10x 113x 1,就fx ,就它是,1. 如fx x 1x 2212x2x 22fx . ,如向量 d 满意f 在 x 处的一2. 设 f 连续可微且fx个下降方向；3. 向量 ,12 ,3 T关于 3 阶单位方阵的全部线性无关的共轭向量有 . . 4. 设f:RnR二次可微,就f 在 x 处的牛顿方向为 . 5. 举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：6. 以下约束优化问题：minfxx 12 x 110s . t.h xx2gxx 1x20的 K-K-T 条件为： . 7. 以下约束优化问题：的外点罚函数为（取罚参数为minfx 2 x 1x22s .x 1x 21） . 二、证明题（ 7 分+8 分）1. 设gi:RnR,i,12 ,m 1和h i:RnR ,im 1,1m都是线性函数,证明下面的约束问题：minfx n2 x kijIE1 ,m 1m 1,m s . t.gixk10,hjx,0,1是凸规划问题；名师归纳总结 2. 设f:R2R连续可微,aiRn,hiR,i,1,2m,考察如下的约束条件问题：第 1 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - minfxs .t.aiTxb i0,iI,12m 1m aTxb i0 ,iEm 1,1i设 d 是问题minfxTdIs .a iTd0 ,ia iTd,0iE|d|1的解,求证： d 是 f 在 x 处的一个可行方向；三、运算题（每道题012 分）. 采纳精确线性搜寻的最速下降法求解下面的无约束优化问题1. 取初始点x1 1, T（迭代 2 步）：2. 采纳精确搜寻的minfx2 x 12x2x22BFGS算法求解下面的无约束问题：minfx 12 x 12 x 2x 123. 用有效集法求解下面的二次规划问题：名师归纳总结 为x4. 用可行方向算法（xminfx2 x 1x22x 14x2第 2 页,共 7 页2s .t.x 1x210算法）求解下面的问题（初值设x 10,x20.Zoutendijk算法或 Frank Wolfe0 0,0, 运算到2即可 ：2x 1minfx 12 x 1x 1x22 x 22s .3x 1x 23x 10 ,x 20 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案一、填空题1.4x 12x 2011 T422x 14x 23242. fxTd3. 3 ,0（答案不唯独） ；2 ,1 0,T,4. 2fx1fx5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6. xLx ,01x 12x 10020x 22 x 110 ,x 1x 2x 2,0x 2117.Fx x 122x 1x 22二、证明题1. 证明：要证凸规划,即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集；一方面,由于f 二次连续可微,2fx2I正定,依据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数；另一方面,约束条件均为线性函数,如任意x,yD可行域,就时,a iT0 ,使得Igix1y gix 1giy0ihjx1y hjx 1hjy 0iE故x1yD,从而可行域是凸集；xD,dRn2. 证明：要证 d 是 f 在 x 处的一个可行方向,即证当xdD,0 ,db ib ia iTxd0；当iI时,a iTxb i0,aiTd0,故a iTx当iE时,aiTxb i0,aiTd0,故a iTxdb ia iTxb ia iTd0.因此, d 是 f 在 x 处的一个可行方向；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、运算题1. 解：fxdx 1d122 x2d22fx0d0,2,d 1x12 d2x2；fx 2x 1令'0得d 122d224x 2fx0第一次迭代：2,d0fx044令'0,求得05/18；28fx 184其次次迭代：x 1 x00d091,fx 192,d 129,999fx 1 d1 1d1 0 0,由,令'0,求得11/,故 x2 x 1 于fx2 0 0,故x2为最优解；d kkkx kfxk0 45/18 1,1 T24,T2,4T/,91/9 T8/,92/9T8/,92/9T1 1/22 0,0T1,1 T2. 解：取x0B0Ifx x 12x22 xx 1第一步迭代：名师归纳总结 fx0 0d0B 01fx001,第 4 页,共 7 页1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x0d01 12,令'0,求得01/2；2其次步迭代： x1 x0x 1 0d0f1,fx 1 1, s0x 1x00112y0f1022x 0 21B 110001/213/21010112121d1 B 11fx 1 2,fx 1d 1,令'0,求得12；故14 x2 x1 1d 1 0,由于fx2f0,故x2为最优解；k00kx kxkd k0 1,1 T01,TT2,3.0 ,1 T1/2 2 1 1,1/2T 1/2,01/2 ,1/4T2 0 ,0 TA x0求解等式约束子问题3.解：取初始可行点x00,0,A 0min2 d 1d22d 14d22st d 10,d20得解和相应的Lagrange 乘子d0T 0,0 , 2, 4T故得x1x00,0T,A 1A 032转入其次次迭代；求解等式约束子问题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - min2 d 1d22d 14d 22st d 1 0得解d10,2T0运算1min1,b ia x T 1iT 1,3, a d10b 1a x 1 T 11T a d1T a d12令x2x11 d1T 0,1 ,A 2A 111,2转入第三次迭代；求解等式约束子问题mind 1 2d22 d 12 d22st d 1d20,d 10得解和相应的Lagrange 乘子d2T 0,0 ,2,0T由于20 ,故得所求二次规划问题的最优解为xx20,1T,相应的 Lagrange 乘子为2,0,0T4. 解：运算梯度得当k0时,x0,00 ,yfx2x1x22 ,2x2x1T3 ,0T.由线性搜fx2 ,0T.y0是下面线性规划问题的解：解此线性规划（作图法）得0minfx0y2y 1s . t.3y1y23y10,y20 .2/0,3T,于是d0y0x0 2/索名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - min0 t 1f x0td02t24t93名师归纳总结 得0t1.因此,x1 x0t0d02/3 0,T.重复以上运算过程得下表：kt第 7 页,共 7 页kx kfx ky kd k2 ,0T2/3 T1 0 00,T2/3 0,T2/0,3T1 12/,30 T2/3 ,0 ,2T2/3 ,2T2 2516,2T2525- - - - - - -
