2023年正弦定理和余弦定理精品讲义.pdf
学习必备 欢迎下载 正弦定理和余弦定理教案 第一课时 正弦定理(一)课题引入 如图 11-1，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点 C转动。A 思考：C的大小与它的对边 AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B (图 1.1-1)(二)探索新知 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1.1-2，在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A 则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形 ABC中，sinsinsinabcABC C a B(图 1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C 同理可得sinsincbCB，b a 从而sinsinabABsincC A D B (图 1.1-3)让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？证明二：（等积法）在任意斜ABC 当中 SABC=AbcBacCabsin21sin21sin21 两边同除以abc21即得：Aasin=Bbsin=Ccsin 证明三：（外接圆法）abcOBCAD学习必备 欢迎下载 如图所示，RCDDaAa2sinsin (R 为外接圆的半径)同理 Bbsin=2R，Ccsin2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证明四：（向量法）过 A 作单位向量j垂直于AC 由 AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j 得 j(AC+CB)=jAB 则jAC+jCB=jAB|j|AC|cos90+|j|CB|cos(90C)=|j|AB|cos(90A)AcCasinsin Aasin=Ccsin 同理，若过 C 作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin Aasin=Bbsin=Ccsin 从而 sinsinabABsincC 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinabABsincC(三)理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC；(2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形。种关系精确地表示出来二探索新知在初中我们已学过如何解直角三角形以上关系式是否仍然成立让学生进行讨论分析可分为锐角三角形和钝角在任意斜当中图两边同除以即得证明三外接圆法学习必备欢迎下载如图学习必备 欢迎下载(四)例题剖析 例 1在 ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。(课本 p3，例 1)解：根据三角形内角和定理，0180()CA B 000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA 例 2在 ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到 1cm）。(课本 p4，例 4)解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa 因为00B0180，所以064B，或0116.B(1)当064B时，00000180()180(4064)76 CA B，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA(2)当0116B时，00000180()180(40116)24 CA B，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA 评述：例 1，例 2 都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(五)课堂练习 第 5 页练习第 1(1)、2(1)题。(六)课时小结(让学生归纳总结)种关系精确地表示出来二探索新知在初中我们已学过如何解直角三角形以上关系式是否仍然成立让学生进行讨论分析可分为锐角三角形和钝角在任意斜当中图两边同除以即得证明三外接圆法学习必备欢迎下载如图学习必备 欢迎下载(1)定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabck kABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k(2)正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。第二课时 余弦定理(一)课题引入 如图 1.1-4，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,C 已知 a,b 和C，求边 c。b a A c B(图 1.1-4)(二)探索新知 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图 11-5，设CBa，CAb，ABc，那么 c=a-b，2|c=cc=(a-b)(a-b)A=a a+b b-2ab b c 从而 2222coscababC C a B 同理可证 2222cosabcbcA (图 11-5)2222cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA 2222cosbacacB 2222coscababC 让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？种关系精确地表示出来二探索新知在初中我们已学过如何解直角三角形以上关系式是否仍然成立让学生进行讨论分析可分为锐角三角形和钝角在任意斜当中图两边同除以即得证明三外接圆法学习必备欢迎下载如图学习必备 欢迎下载（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2 bcaAbc 222cos2 acbBac 222cos2 bacCba(三)理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=090，则cos0C，这时222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。(四)例题剖析 例 1 在ABC 中，已知 B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形(角度精确到1，边长精确到 1 cm）。(课本 P7 例 3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-260 34cos41 3 600+1 156-4 080 0.754 7 1 676.82，所以，a41 c 由正弦定理得 sinC=4141sin34sinaAc41656.0340.544 0.因为 C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用算器可得 B=180-(A+C)=180-(41+33)例 2 在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形。解：由余弦定理的推论得：cos2222 bcaAbc 22287.8161.7134.62 87.8 161.7 0.5543,种关系精确地表示出来二探索新知在初中我们已学过如何解直角三角形以上关系式是否仍然成立让学生进行讨论分析可分为锐角三角形和钝角在任意斜当中图两边同除以即得证明三外接圆法学习必备欢迎下载如图学习必备 欢迎下载 056 20A；cos2222 cabBca 222134.6161.787.82 134.6 161.7 0.8398,032 53B；0000180()180(56 2032 53)CA B =090 47.评述：例 1 和例 2 是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。(五)课堂练习 第 8 页练习第 1(1)、2(1)题。补充练习 在ABC中，若222abcbc，求角 A（答案：A=1200）(六)课时小结(让学生归纳总结)(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。种关系精确地表示出来二探索新知在初中我们已学过如何解直角三角形以上关系式是否仍然成立让学生进行讨论分析可分为锐角三角形和钝角在任意斜当中图两边同除以即得证明三外接圆法学习必备欢迎下载如图
