2023年概率论与数理统计期末复习重要知识点总结归纳及公式整理.pdf

学习必备 欢迎下载 概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点：1.离散型随机变量：设 X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量 X 只有两个可能取值，且其分布为，则称 X 服从 x1,x2 处参数为 p 的两点分布。两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：；两点分布的方差：若一个随机变量 X 的概率分布由式 给出，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布。记为 Xb(n,p)(或 B(n,p).两点分布的概率分布：二项分布的期望：（3）泊松分布：；二项分布的方差：若一个随机变量 X 的概率分布为 数为的泊松分布，记为，则称 X 服从参 泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：4.连续型随机变量：；泊松分布的方差：如果对随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负可积函数，使得对于任意实数 x，有，则称 X 为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。2010-2011 学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 其它，则称 X 在区间（a,b）上服 从均匀分布，记为 XU(a,b)均匀分布的概率密度：其它 均匀分布的期望：（2）指数分布：；均匀分布的方差：2 若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称 X 服从参数为 的指数分布，记为 指数分布的概率密度：指数分布的期望：（3）正态分布：1 ；指数分布的方差：穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 1 2 2 2 若连续型随机变量 X 的概率密度为则称 X 服从参数为 和 2 的正态分布，记为 XN(,)22 正态分布的概率密度：正态分布的期望：2 2；正态分布的方差：（4）标准正态分布：2 ，2 e t 2 2 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 dt 标准正态分布表的使用：（1）2010-2011 学年第一学期期末复习资料 XN(0,1)（2）（3）故 定理 1：设 XN(,),则 6.随机变量的分布函数：设 X 是一个随机变量，称 分布函数的重要性质：为 X 的分布函数。7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1）由 X 的概率分布导出 Y 的概率分布步骤：根据 X 写出 Y 的所有可能取值；对 Y 的每一个可能取值 yi 确定相应的概率取值；常用表格的形式把 Y 的概率分布写出（2）由 X 的概率密度函数（分布函数）求 Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：由X 的概率密度函数 由 FY(y)fX(x)随机变量函数 Y=g(X)的分布函数 FY(y)求导可得 Y 的概率密度函数（3）对单调函数，计算 Y=g(X)的概率密度简单方法：定理 1 设随机变量 X 具有概率密度 有，又设 y=g(x)处处可导且恒（或恒有），则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为；其中是 y=g(x)的反函数，且 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 练习题：2.4 第 7、13、14 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 总习题 第 3、6、9、10、11、13、14、17、18、19 第三章重要知识点：（1）要会由 X 与 Y 的联合概率分布，求出 X 与 Y 各自概率分布或反过来；类似 P63 例 2（2）要会在 X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似 P71 例 3（3）要会根据联合概率分布表求形如 的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2.二维连续型随机变量 X 与 Y 的联合概率密度:设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数 f(x,y),使对 x y 任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；f(s,t)dsdt(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数 F(x,y)，以及形如率值;P64 例 3 等联合概(3)(4)要会根据联合概率密度求出 x,y 的边缘密度;类似 P64 例 4 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料（1）；（2）要会根据这些性质解类似 P68 第 5，6 题。4.常用的连续型二维随机变量分布 二维均匀分布：设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A。若二维随机变量（X,Y）具有概率 密度函数 5.独立性的判断：，则称（X,Y）在 G 上服从均匀分布。定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为 F(x,y),边缘分布函数为 意实数 x,y，有 FX(x)，FY(y)，若对任（1）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；所有可能取值(xi,yj)，有，则 X 与 Y 相互独立。（2）连续型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；联合概率密度 f(x,y)，边缘密度 fX(x)，fY(y)有几乎处处成立,则 X 与 Y 相互独立。(3)注意与第四章知识的结合 X 与 Y 相互独立 Cov(X,Y 因此与 Y 不独立。6相互独立的两个重要定理 定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何事件独立，即，对任意实数集 A，B，有 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 定理 2 如果随机变量 X 与 Y 独立，则对任意函数（1）要求会使用这两个定理解决计算问题 练习题：穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 习题 2-3 第 3、4 题 习题 2-4 第 2 题 习题 3.2 第 5，7，8 题 总习题三 第 4，9（1）-（4），12,13 g1(x)，g2(y)相互独立。第四、五章知识点 设总体密度函数如下，x1,x2,.xn 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。（1）2 1 e x 1 x 2 e t 1 e t 2 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 1 1 t t 1 e 2 e t 2 1 e t 1 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 t 2 1 t 22，由此可推出 22，从而参数，的矩估计值为（2）似然函数为：1 n 1 n n i 其对数似然函数为：i 由上式可以看出，是的单调增函数，要使其最大，的取值应该尽可能的大，由于限制，这给出的最大似然估计值为将关于求导并令其为0 得到关于的似然方程 n n i2 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 n ，解得 n 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第四章重要知识点：1.随机变量 X 数学期望的求法：（1）离散型 （2）连续型 ；2.随机变量函数 g(X)数学期望的求法：（1）离散型 g（2）连续型 ；3.二维随机向量期望的求法：ij（1）离散型 ；（2）连续型 4.随机变量 X 方差的求法：（1）简明公式 （2）离散型 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 （3）连续型 5.随机变量 X 协方差与相关系数的求法：（1）简明公式 （2）离散型 （3）连续型 （4）6.数学期望、方差、协方差重要的性质：X2)(2)设 X 与 Y 相互独立，则 若 X 与 Y 相互独立，则 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 （6）若 X 与 Y 相互独立，则(7)若（X,Y）服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立，当且仅当 n 维正态分布的几个重要性质：Xi（1）n 维正态变量（X1,X2,.,Xn）的每个分量（）都是正态变量，反之，若 X1,X2,.,Xn 都是正态变量，且相互独立，则（X1,X2,.,Xn）是 n 维正态变量。（2）n维随机向量（X1,X2,.,Xn）服从 n 维正态分布的充分必要条件是 X1,X2,.,Xn 的任意线性组合均服从一维正态分布均服从一维正态分布（其中 l1,l2,.ln 不全为零）。（3）若（X1,X2,.,Xn）服从 n 维正态分布，设 Y1,Y2,.,Yk 是的线性函数，则（Y1,Y2,.,Yk）服从 k 维正态分布。（4）设（X1,X2,.,Xn）服从 n 维正态分布，则“X1,X2,.,Xn相互独立”等价于“X1,X2,.,Xn两两不相关”练习题：1.设（X,Y）的联合密度函数为解：穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 2 10 x0，求 CovX(Y,)及 3 10 x0 2 10 4 3525 2 1 2 321 10 x0 2 同理 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 2 25 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2 1 x0 10 x0 3 15 又因 从而 Cov(X,Y 27525 23 2.习题 4.3 第 10 题 8.中心极限定理（1）定理 4（棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量 n X1,X2,.Xn,.相互独立，并且都服从参数为 p 的两点分布，则对任意实数 x，穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 有 t 2 2 （2）定理 3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 X1,X2,.Xn,.相互独立，服从同一分布，且 n 2 则 i t 2 2 dt 练习题：习题 4-4 11 题 12 题 总习题四 24，25，26 题 第五章重要知识点 确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布 22222（1）分布：设 X1,X2,.Xn 是取自总体 N(0,1)的样本，称统计量 服从自由度为 n 的分布。（2）t 分布：设)，且 X 与 Y 相互独立，则称的 t 分布。22（3）F 分布：设，且 X 与 Y 相互独立，则称 2 2 服从自由度为 X/mY/n 服从自由度 为（m,n）的 F 分布。2.三大抽样分布 2 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载（1）设总体是取自 X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，2010-2011 学年第一学期期末复习资料 则有 2/n)，N(0,1)（2）定理 2 设总体 XN，是取自 X 的一个样本，X 与 S2 为该样本的样本均值与样本方差，则有 2 2 2 1 n 2 i，22 X 与 S 相互独立 2（3）定理 3 设总体，是取自 X 的一个样本，X 与 S2 为该样本的样本均值与样本方差，则有 2 1 n 2 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载，2 2 练习题：1.设 X1,X2.X2n 是来自正态总体 XN(0,1)的样本，求统计量 2 解：因为 Xi 2 由样本的独立性及分布的定义，有(X2 再由样本的独立性以及 t 分布的定义，有 2 X4 2 X2n 22 t(n)2 总习题五 14 题 3.求样本函数相关的概率问题 练习题：习题 5-3 2 总习题五 16、17 第六章重要知识点：1.矩估计的求法：设总体 X 的分布函数 中含有 k 个未知参数的函数 ，则 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料（1）求总体 X 的 k 阶矩 它们一般都是 是这 k 个未知参数的函数，记为（2）从（1）中解得（3）再用 的估计量 Ai 分别代替上式中的 ，即可得 的估计信度，又分别称 信上限。（2）单侧置信区间：设为总体分布的未知参数，_ 与为的双侧置信下限与双侧置 X1,X2,.Xn 是取自总体 X 的一个样本，对给定的数，若存在统计量 满足 n)，则称 为的置信度为的单侧置信区间，称为 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 的单侧置信下限；若存在统计量 ，满足 则称 为的置信度为 的单侧置信区间，称为的单侧置信上限。5.寻求置信区间的方法：一般步骤：（1）选取未知参数的某个较优估计量（2）围绕构造一个依赖于样本与参数的函数（3）对给定的置信水平，确定 与 2，使 2 与 通常可选取满足数表查得。的 与 ，在常用分布情况下，这可由分位 （4）对不等式 作恒等变形后化为 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 则 就是的置信度 为的双侧置信区间。6.置信区间的公式：(1)0-1分布参数的置信区间：212a 2 而为未知参数，X1,X2,.Xn(2)设总体 2，其中已知，2 是取自总体 X 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 的一个样本。均值 的置信区间为：（2 n，2 2 n），其中，设总体 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 未知，X1,X2,.Xn 是取自总体 X 的一个样本。均值 的置信区间为：（，2 Sn，Sn）是取自总体 X 的一(4)设总体个样本。2，其中 未知，X1,X2,.Xn 方差 2 的置信区间为：(2 2 ,)的置信区间为：练习题：习题 6-2 第 1，2，5，6 题 习题 6-3 第 3，4，5，6 题 习题 6-4 第 4 题 总习题六 第 7，8，9，10，16，17，18，20，21 题 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 第 1 章 随机事件及其概率 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第二章 随机变量及其分布 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第三章 二维随机变量及其分布 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第四章 随机变量的数字特征 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第五章 大数定律和中心极限定理 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 第六章 样本及抽样分布 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第七章 参数估计 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机学习必备 欢迎下载 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 第八章 假设检验 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 2010-2011 学年第一学期期末复习资料 单正态总体均值和方差的假设检验 穷个则称为一个离散随机变量常用离散型分布两点分布分布若一个随机给出则称服从参数为的二项分布记为或两点分布的概率分布二项分布的量的分布函数存在非负可积函数使得对于任意实数有则称为连续型随机