2023年用函数的观点看一元二次方程.pdf

旦马乡初级中学教学方案 授课题目 22.2 用函数的观点 看一元二次方程（1）授课班级 九年级 授课时间 2016.授课教师 武学鹏 教学目标及教学过程 教 学 目 标 知识与能力目标 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。方法与 情感目标 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。学法指导 预习，思考，练习。教具运用 常规教具 教 学 流 程 师生活动 补充与反思 一、探索问题 问题 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的 A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为 0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx22x45。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点 如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数 yx22x45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横标；问题 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽 AB 1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED是多少?是否会超过 1m?教学要点 根据已知条件，要求 ED的宽，只要求出 FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点 D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点 D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点 D 的横坐标。解：以 AB的垂直平分线为 y 轴，以过点 O的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：yax2 (a 0)(1)因为 AB与 y 轴相交于 C点，所以 CB AB20.8(m)，又 OC 2.4m，所以点 B的坐标是(0.8，2.4)。因为点 B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4 a0.82 所以：a154 因此，函数关系式是 y 154x2 (2)问题 3：画出函数 yx2x3/4 的图象，根据图象回答问题。(1)图象与 x 轴交点的坐标是什么；(2)当x 取何值时y0?这里x 的取值与方程x2x340有什么关系?教学要点 1按列表、描点、连线等步骤画出函数 yx2x34的图象。2回答(1)提出的问题：图象与 x 轴交点的坐标分别是(12，0)和(32，0)。3.对于问题(3)，达成共识：从“形”的方面看，函数 yx2x34的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程 x2x340 的解；从“数”的方面看，当二次函数 yx2x34的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 x2x340 的解。更一般地，函数 yax2bxc 的图象与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax2bxc 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。二、试一试 根据问题 3 的图象回答下列问题。(1)当 x 取何值时，y0?当 x 取何值时，y0?(当12x32时，y0；当 x12或 x32时，y0)(2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题?(能用含有 x 的不等式描述(1)中的问题，即 x2x340 的解集、x2x340 的解集是什么?)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?(1)从“形”的方面看，二次函数 yax2bJc 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解。(2)从“数”的方面看，当二次函数 yax2bxc 的函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解；当二次函数yax2bxc 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2bcc0 的解。这结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。三、小结：若二次函数 yax2bxc 的图象与 x 轴无交点，试说明，元二次方程 ax2bxc0 和一元二次不等式 ax2bxc0、ax2bxc0 的解的情况。作 业设 计 一元二次方程一元二次不等式之间的联系使学生能够运用二次函数及其能够运用二次函数及其图象性质去解决实际问题进一步培养学生综合解子上面的处安装一个喷头向外喷水连喷头在内高为水流在各个方向上沿