2023年第六讲：等差、等比数列的运用公式大全.pdf

优秀教案 欢迎下载 第六讲：等差、等比数列的运用 1.等差数列的定义与性质 定义：1nnaad（d为常数），11naand 等差中项：xAy，成等差数列2Axy 前n项和 11122nnaann nSnad 性质：na是等差数列（1）若mnpq ，则mnpqaaaa；（2）数列 12212,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.（6）项数为偶数n2的等差数列na，有),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS ndSS奇偶，1nnaaSS偶奇.（7）项数为奇数12 n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，优秀教案 欢迎下载 naSS偶奇，1nnSS偶奇.2.等比数列的定义与性质 定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq ，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列,公比为nq.注意：由nS求na时应注意什么？1n 时，11aS；2n 时，1nnnaSS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列na，12211125222nnaaan，求na 解 1n 时，112 1 52a ，114a 2n 时，1212111121 5222nnaaan 得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan 练习数列na满足111543nnnSSaa，求na 注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，nS是等比数列，4nnS 2n 时，113 4nnnnaSS 等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最奇数有为中间项优秀教案欢迎下载偶奇偶奇等比数列的定义与性质定义解时时得练习数列满足代入得求注意到又是等比数列时优秀教案欢迎下优秀教案 欢迎下载（2）叠乘法 如：数列na中，1131nnanaan，求na 解 321211 212 3nnaaanaaan，11naan又13a，3nan.（3）等差型递推公式 由110()nnaaf naa，求na，用迭加法 2n 时，21321(2)(3)()nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)()naafff n 0(2)(3)()naafff n（4）等比型递推公式 1nnacad（cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数列，设 111nnnnaxc axacacx 令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列 1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法 如：11212nnnaaaa，求na 由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa 1na 为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna，21nan 等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最奇数有为中间项优秀教案欢迎下载偶奇偶奇等比数列的定义与性质定义解时时得练习数列满足代入得求注意到又是等比数列时优秀教案欢迎下优秀教案 欢迎下载(附：公式法、利用1(2)1(1)nnSSnS nna、累加法、累乘法.构造等差或等比1nnapaq或1()nnapaf n、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4.求数列前 n 项和的常用方法(1)裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：na是公差为d的等差数列，求111nkkka a 解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa 11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa 11111ndaa 练习求和：111112123123n 121nnaSn，（2）错位相减法 若na为等差数列，nb为等比数列，求数列 nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为nb的公比.如：2311234nnSxxxnx 23412341nnnx Sxxxxnxnx 2111nnnx Sxxxnx 1x 时，2111nnnxnxSxx，1x 时，11232nn nSn （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最奇数有为中间项优秀教案欢迎下载偶奇偶奇等比数列的定义与性质定义解时时得练习数列满足代入得求注意到又是等比数列时优秀教案欢迎下优秀教案 欢迎下载 121121nnnnnnSaaaaSaaaa 相加12112nnnnSaaaaaa 练习已知22()1xf xx，则 111(1)(2)(3)(4)234fffffff 由2222222111()111111xxxf xfxxxxx 原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff 求数列的前 n 项和 1.倒序相加法：如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。2.公式法：对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最奇数有为中间项优秀教案欢迎下载偶奇偶奇等比数列的定义与性质定义解时时得练习数列满足代入得求注意到又是等比数列时优秀教案欢迎下优秀教案 欢迎下载 3.裂项相消法：是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。4.错位相减法：是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列an bn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。5.迭加法：主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an，从而求出 Sn。6.分组求和法：是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。7.构造法：是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前 n 项和。)等差数列为常数是关于的常数项为的二次函数的最值可求二次函数的最奇数有为中间项优秀教案欢迎下载偶奇偶奇等比数列的定义与性质定义解时时得练习数列满足代入得求注意到又是等比数列时优秀教案欢迎下