2023年空间向量与立体几何期末专题复习题.pdf
学习必备 欢迎下载（选修 2-1 第三章）空间向量与立体几何期末复习 一、选择题 1若 a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(a b)a，则实数 的值为()A1 B0 C1 D2 2若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，a，b 夹角的余弦值为89，则 等于()，A2 B2 C2 或255 D2或255 3已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为()A65 B652 C 4 D8 4如图，在四面体 ABCD 中，已知ABb，ADa，ACc，12BEEC，则DE等于()A2133 abc B2133abc C2133abc D2133 abc 5在三棱锥 PABC 中，ABC 为等边三角形，PA平面 ABC，且 PAAB，则二面角 APBC 的平面角的正切值为()A6 B3 C66 D62 6正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，E，F 分别是 BB1，CD 的中点，则点 F 到平面 A1D1E 的距离为()A310a B3 710a C3 510a D710a 7若向量MAMB MC，的起点与终点MA BC，互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则能使MAMB MC，成为空间一组基底的关系是（）111333OMOAOBOC MAMBMC 1233OMOAOBOC 2MAMBMC 8.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,若 AB=BB1,则 AB1与 C1B所成的角的大小为().A.60 B.90 C.105 D.75 二、填空题 9若向量 a(4,2，4)，b(1，3,2)，则 2a(a2b)_ 学习必备 欢迎下载 10、|a|b|5，a，b的夹角为 60，则|ab|.11、已知 M=(2,-5,-3),N(-4,9,-5)，则线段MN中点的坐标是_ 12已知a=3,6,+6,b=+1,3,2,若ab,则=.13.若a=3,m,4 与b=-2,2,m的夹角为钝角，则 m 的取值范围是 .14若向量)2,3,6(),4,2,4(ba，则(23)(2)abab_。15.在正四棱锥 S-ABCD中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD的中点,且 SO=OD,则直线 BC与平面 PAC所成的角为 .三、解答题 1.2012 福建卷 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角 AB1EA1的大小为 30，求 AB 的长 2.如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD是11AB的中点，点 E在11AC上，且DEAE。（1）证明平面ADE 平面11ACC A（2）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载 3.【北京市丰台区20XX届高三上学期期末理】（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC，90 ABC,平面 PAB平面 ABC，D、E分别为 AB、AC中点.（）求证：DE平面 PBC;（）求证：ABPE；（）求二面角 A-PB-E 的大小.EDABCP 4.2012 全国卷 如图 11，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC2 2，PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面 BED；(2)设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 5如图，AC是圆 O的直径，点 B在圆 O上，交 AC于点 M，EA 平面 ABC，FCEA，AC=4，EA=3，FC=1,（1）证明；（2）求三棱锥的体积（3）求平面和平面所成的锐二面角的正切值.角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载 6.(北京市十一学校)如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上 ()问点E在何处时，/PAEBD平面，并加以证明；()当/PAEBD平面时,求点A到平面EBD的距离；()求二面角CPAB的余弦值.7.2012 北京卷 如图 19(1)，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图 18(2)(1)求证：A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由 EPDCBA角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载 8.已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下，E是侧棱 PC上的动点。（）求四棱锥 PABCD 的体积；（）当点 E在何位置时，BD AE？证明你的结论;（）若点 E为 PC的中点，求二面角 DAE B的大小 高二理数（选修 2-1 第三章）空间向量与立体几何期末复习 答案 DCAA ACCB 9.32 10.5 11.(-1,2,-4)12.2 13、m0，则 P(0,0,2)，E4 23，0，23，B(2，b,0)于是PC(22，0，2)，BE23，b，23，DE23，b，23，从而PC BE0，PC DE0，故 PC BE，PC DE.又 BEDEE，所以 PC平面BDE.(2)AP(0,0,2)，AB(2，b,0)设 m(x，y，z)为平面 PAB 的法向量，则 m AP0，m AB0，即 2z0，且 2xby0，令 xb，则 m(b，2，0)设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则 n PC0，n BE0，即 2 2p2r0 且2p3bq23r0，令 p1，则 r 2，q2b，n1，2b，2.因为面 PAB面PBC，故 m n0，即 b2b0，故 b 2，于是 n(1，1，2)，DP(2，2，2)，cosn，DPn DP|n|DP|12，n，DP60.因为 PD 与平面 PBC 所成角和n，DP互余，故 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.5.试题解析：EA 面 ABC,BM 面 ABC,EA MB，MB AC,AC EA=A,MB 面 ACEF，EM面 ACEF,EM MB，在直角梯形 ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4，EF=，在 RtABC中,BAC 30,BMAC，AM=3,CM=1，EM=,MF=，EF2=EM2+MF2，EM MF,又 MB MF=M，EM 面 MBF,BF面 MBF，EM BF 8 分 由(1)知,MB 面 ACFE ，在直角梯形 ACEF中，14 分 角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载(3)延长交于，连结，过做，垂足，EA 面 ABC，面 ABC，面 AC，面C，面C，为平面 BEF与平面 ABC所成的二面角的平面角，在直角梯形 ACEF中，2，,在中，CG=1,在 RtCGF中,FC=1，=，平面 BEF与平面 ABC所成的锐二面角正切值为 1 14 分 6.解 ()当E为PC中点时，/PAEBD平面 连接AC，且ACBDO，由于四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为中点，OE为ACP的中位线，/PAEO，又PAEBD平面，/PAEBD平面.()作POABCD平面,依题意O是正方形ABCD的中心,如图建立空间坐标系.则2(0,0,)2Pa,2(,0,0)2Aa,2(0,0)2Ba，2(,0,0)2Ca，2(0,0)2Da，22(,0)44Ea，222(,)424EBaaa，(0,2,0)DBa，22(0,)22BPaa，设面EBD的法向量为(,)nx y z 222042420axayazay (1,0,1)n,点A到平面EBD的距离为2122|2an PBdan.()设二面角CAPB的平面角为，平面PAB的法向量为(1,1,1)n.设平面PAC的法向量为OFABCDPE角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载 2(,)nx y z,12(0,0)2nOBa.11232cos3232an nn na.7.解：(1)证明：因为 AC BC，DE BC，所以 DE AC，所以 DE A1D，DE CD，所以 DE平面A1DC，所以 DE A1C.又因为 A1C CD，所以 A1C平面BCDE.(2)如右图，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Cxyz，则 A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量为 n(x，y，z)，则 n A1B0，n BE0.又A1B(3,0，2 3)，BE(1,2,0)，所以 3x2 3z0，x2y0.令 y1，则 x2，z 3，所以 n(2,1，3)设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 ，因为CM(0,1，3)，所以 sin|cos(n，CM)|n CM|n|CM|48 422.所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为4.(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直，理由如下：假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p 0,3 设平面 A1DP 的法向量为 m(x，y，z)，则 m A1D0，m DP0.又A1D(0,2，2 3)，DP(p，2,0)，所以 2y2 3z0，px2y0.令 x2，则 yp，zp3.所以 m2，p，p3.平面 A1DP平面A1BE，当且仅当 m n0，即 4pp0.解得 p2，与 p 0,3矛盾所以线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 8.【解析】（）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2.角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载-2分()不论点 E在 PC上何位置，都有 BD AE-3分 证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形 BD AC PC底面 ABCD 且平面 BD PC-5 分 又BD 平面 PAC 不论点 E在何位置，都有 AE平面 PAC 不论点 E在何位置，都有 BD AE-7分()解法一：在平面 DAE内过点 D作 DG AE于 G，连结 BG CD=CB,EC=EC,ED=EB,AD=AB EDA EBA BG EA 为二面角 DEA B的平面角-10 分 BC DE,ADBC AD DE 在 RADE中=BG 在DGB中，由余弦定理得=-12分 解法二：以点 C为坐标原点，CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：则,从 设平面 ADE和平面 ABE的法向量分别为 由可得：，同理得：。令，则，-10分 角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的学习必备 欢迎下载 设二面角 DAE B的平面角为，则-12分 角的平面角的正切值为的棱长为分别是为正方体的中点则点到平面的距习必备欢迎下载的夹角为则已知则线段中点的坐标是已知若则若与的夹棱上是否存在一点使得平面若存在求的长若不存在说明理由若二面角的
