2023年北师大版八上数学专题一勾股定理内含超详细解析超详细解析超详细解析答案详解.pdf

第1页（共22页）BS 八上数学 专题一 勾股定理 一选择题（共 14 小题）1在 RtABC中，若斜边 AB=3，则 AC2+BC2等于（）A6 B9 C12 D18 2在ACB中，若 AB=AC=5，BC=6，则ABC的面积为（）A6 B8 C12 D24 3直角三角形的两边长分别为 6 和 8，那么它的第三边长度为（）A8 B10 C8 或 2 D10 或 2 4如图，两个较大正方形的面积分别为 225、289，则字母 A所代表的正方形的面积为（）A4 B8 C16 D64 5如图，在ABC 中，A=45，B=30，CDAB，垂足为 D，CD=1，则 AB的长为（）A B2 C D2 6如图 RtABC，C=90，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当 AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（）第2页（共22页）A6 B6 C10 D12 7ABC的三边长为 a，b，c，已知 a：b=1：2，且斜边 c=2，则ABC的周长为（）A3 B5 C6 D6 8如图，线段 AD是直角三角形 ABC斜边上的高，AB=6，AC=8，则 AD=（）A4 B4.5 C4.8 D5 9如图，在四边形 ABCD中，ADBC，ABC+DCB=90，且 BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为 S1、S2、S3 若 S2=48，S3=9，则 S1的值为（）A18 B12 C9 D3 10下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（）A9，12，15 B7，24，25 C6，8，10 D3，5，7 11如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dmA和 B是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为（）第3页（共22页）A15 dm B17 dm C20 dm D25 dm 12在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多 1m，当他把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A13 m B12 m C4 m D10 m 13如图，圆柱的底面周长是 14cm，圆柱高为 24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为（）A14cm B15cm C24cm D25cm 14一架长 25dm 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A9 dm B15 dm C5 dm D8 dm 二填空题（共 6 小题）15探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）可发现，4=，12=，24=请写出第 5 个数组：16如果一个三角形的三边长之比为 9：12：15，且周长为 72cm，则它的面积为 cm2 17如图，ACBC，AC=6，BC=8，AB=10，则点 C到线段 AB的距离是 第4页（共22页）18已知两线段的长分别是 5cm、3cm，则第三条线段长是 时，这三条线段构成直角三角形 19小东拿着一根长竹竿进一个宽为 4 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高 0.5 米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，则竿长 20如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为 6m，高为 16cm，现将一根长度为 28cm 的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 cm 三解答题（共 4 小题）21有一块空白地，如图，ADC=90，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m，试求这块空白地的面积 22一块空地如图如示，AB=9m，AD=12m，BC=17m，CD=8m，且A=90，求这块空地的面积 23在甲村至乙村间有一条公路，在 C处需要爆破，已知点 C与公路上的停靠站A的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B的距离为 400 米，且 CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路 AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答 第5页（共22页）24如图所示，永定路一侧有 A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得 AC=8km，BC=15km，ACBC，1=30 （1）连接 AB，求两个送奶站之间的距离；（2）有一人从点 C 处出发沿永定路边向右行走，速度为 2.5km/h，多长时间后这个人距 B送奶站最近？并求出最近距离 第6页（共22页）BS 八上数学 专题一 勾股定理 参考答案与试题解析 一选择题（共 14 小题）1在 RtABC中，若斜边 AB=3，则 AC2+BC2等于（）A6 B9 C12 D18【分析】利用勾股定理将 AC2+BC2转化为 AB2，再求值【解答】解：RtABC中，AB为斜边，AC2+BC2=AB2，AB2+AC2=AB2=32=9 故选：B【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出 AC2+BC2=AB2是解决问题的关键 2在ACB中，若 AB=AC=5，BC=6，则ABC的面积为（）A6 B8 C12 D24【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出三角形 ABC以 BC为底边的高，再利用三角形的面积公式求出答案【解答】解：如图，过点 A作 ADBC，垂足为点 D，AB=AC=5，BC=6，BD=CD=BC=6=3，在ABD中，AD2+BD2=AB2，AD=4，SABC=BCAD=46=12，故选：C 第7页（共22页）【点评】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高，此题难度一般 3直角三角形的两边长分别为 6 和 8，那么它的第三边长度为（）A8 B10 C8 或 2 D10 或 2【分析】分 8 为直角边、8 为斜边两种情况，根据勾股定理计算【解答】解：当 8 为直角边时，斜边=10，当 8 为斜边时，另一条直角边=2，故选：D【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2 4如图，两个较大正方形的面积分别为 225、289，则字母 A所代表的正方形的面积为（）A4 B8 C16 D64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形 PQED 的面积和正方形PRQF的面积分别表示出 PR的平方及 PQ 的平方，又三角形 PQR为直角三角形，根据勾股定理求出 QR的平方，即为所求正方形的面积【解答】解：正方形 PQED的面积等于 225，即 PQ2=225，正方形 PRGF的面积为 289，PR2=289，又PQR为直角三角形，根据勾股定理得：第8页（共22页）PR2=PQ2+QR2，QR2=PR2PQ2=289225=64，则正方形 QMNR 的面积为 64 故选：D 【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键 5如图，在ABC 中，A=45，B=30，CDAB，垂足为 D，CD=1，则 AB的长为（）A B2 C D2【分析】在 RtACD中求出 AD，在 RtCDB中求出 BD，继而可得出 AB【解答】解：在 RtACD中，A=45，CD=1，则 AD=CD=1，在 RtCDB中，B=30，CD=1，则 BD=，故 AB=AD+BD=+1 故选：C【点评】本题考查了等腰直角三角形及含 30 角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质 6如图 RtABC，C=90，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当 AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（）第9页（共22页）A6 B6 C10 D12【分析】根据勾股定理求出 AB，分别求出三个半圆的面积和ABC的面积，即可得出答案【解答】解：在 RtACB 中，ACB=90，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，所以阴影部分的面积 S=（）2+（）2+（）2=6，故选：A【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键 7ABC的三边长为 a，b，c，已知 a：b=1：2，且斜边 c=2，则ABC的周长为（）A3 B5 C6 D6【分析】根据勾股定理得出 c=x，进而得出三角形的三边，进而解答即可【解答】解：设 a=x，b=2x，由勾股定理可得：c=，斜边 c=2，x=2，a=2，b=4，所以ABC的周长为 6+2，故选：C【点评】此题考查勾股定理问题，关键是根据勾股定理得出 c=x 8如图，线段 AD是直角三角形 ABC斜边上的高，AB=6，AC=8，则 AD=（）第10页（共22页）A4 B4.5 C4.8 D5【分析】根据勾股定理求出 BC，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：在 RtABC中，BC=10，三角形 ABC的面积=ABAC=BCAD，则68=10AD，解得，AD=4.8，故选：C【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2 9如图，在四边形 ABCD中，ADBC，ABC+DCB=90，且 BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为 S1、S2、S3 若 S2=48，S3=9，则 S1的值为（）A18 B12 C9 D3【分析】过 A作 AHCD交 BC于 H，根据题意得到BAE=90，根据勾股定理计算即可【解答】解：S2=48，BC=4，过 A作 AHCD交 BC于 H，第11页（共22页）则AHB=DCB，ADBC，四边形 AHCD是平行四边形，CH=BH=AD=2，AH=CD=3，ABC+DCB=90，AHB+ABC=90，BAH=90，AB2=BH2AH2=3，S1=3，故选：D 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键 10下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（）A9，12，15 B7，24，25 C6，8，10 D3，5，7【分析】由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案【解答】解：A、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；B、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；C、62+82=102，能构成直角三角形，故正确；D、32+5272，不能构成直角三角形，故错误 故选：D【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 第12页（共22页）11如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dmA和 B是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为（）A15 dm B17 dm C20 dm D25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 8dm，宽为（2+3）3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为 xdm，由勾股定理得：x2=82+（2+3）32=172，解得 x=17 故选：B【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答 12在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多 1m，当他把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A13 m B12 m C4 m D10 m【分析】根据题意设旗杆的高 AB为 xm，则绳子 AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得 AB的长，即旗杆的高【解答】解：设旗杆的高 AB为 xm，则绳子 AC的长为（x+1）m 在 RtABC中，AB2+BC2=AC2，第13页（共22页）x2+52=（x+1）2，解得 x=12，AB=12 旗杆的高 12m 故选：B 【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理求得 AB的长 13如图，圆柱的底面周长是 14cm，圆柱高为 24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为（）A14cm B15cm C24cm D25cm【分析】把圆柱沿母线 AC剪开后展开，点 B展开后的对应点为 B，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为 AB，如图，由于 AC=24，CB=7，然后利用勾股定理计算出AB即可【解答】解：把圆柱沿母线 AC剪开后展开，点 B展开后的对应点为 B，则蚂蚁爬行的最短路径为 AB，如图，AC=24，CB=7，在 RtACB，AB=25，所以它爬行的最短路程为 25cm 故选：D 第14页（共22页）【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题 14一架长 25dm 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A9 dm B15 dm C5 dm D8 dm【分析】梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于ABC和EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状由题意可得出 AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在 RtACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，将 AB、CB 的值代入该式求出 AC 的值，OC=AO AC；在RtCOD中，求出 OD 的值，BD=OD OB=157=8 分米，即求出了梯脚移动的距离【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，OCD是下滑后的形状，O=90，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离 在 RtACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC=24 分米 OC=AC AC=244=20 分米，在 RtCOD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD OB=157=8 分米，故选：D 第15页（共22页）【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 二填空题（共 6 小题）15探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）可发现，4=，12=，24=请写出第 5 个数组：11，60，61 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答【解答】解：3=21+1，4=212+21，5=212+21+1；5=22+1，12=222+22，13=222+22+1；7=23+1，24=232+23，25=232+23+1；9=24+1，40=242+24，41=242+24+1；11=25+1，60=252+25，61=252+25+1，故答案为：11，60，61【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键 16如果一个三角形的三边长之比为 9：12：15，且周长为 72cm，则它的面积为 216 cm2【分析】首先设三边长为 9xcm，12xcm，15xcm，根据勾股定理逆定理可证出C=90，根据周长为 72cm 可得 9x+12x+15x=72，再解可得 x 的值，进而可得两直角边长，然后再计算出面积即可 第16页（共22页）【解答】解：设三边长为 9xcm，12xcm，15xcm，（9x）2+（12x）2=（15x）2，AC2+BC2=AB2，C=90，周长为 72cm，9x+12x+15x=72，解得：x=2，9x=18，12x=24，它的面积为：1824=216（cm2），故答案为：216【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形 17如图，ACBC，AC=6，BC=8，AB=10，则点 C到线段 AB的距离是 4.8 【分析】设点 C到线段 AB的距离是 x，然后根据ABC的面积列方程求解即可【解答】解：设点 C到线段 AB的距离是 x，BCAC，SABC=AB x=ACBC，即10 x=68，解得 x=4.8，即点 C到线段 AB的距离是 4.8 故答案为 4.8【点评】本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离是解题关键 第17页（共22页）18已知两线段的长分别是 5cm、3cm，则第三条线段长是 4 或cm 时，这三条线段构成直角三角形【分析】由于“两线段的长分别是 5cm、3cm，要使这三条线段构成直角三角形”指代不明，因此，要讨论第三条线段是直角边和斜边的情形【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm 为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为=4cm；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为=cm 故答案为 4 或cm【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是要分类讨论，不要漏解 19小东拿着一根长竹竿进一个宽为 4 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高 0.5 米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，则竿长 16.25m 【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，便可得出答案【解答】解：设秆长 x 米，则城门高（x0.5）米，根据题意得 x2=（x0.5）2+42，解得 x=16.25，答：秆长 16.25 米 故答案为：16.25m【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 20如图，一圆柱形容器（厚度忽略不计），已知底面半径为 6m，高为 16cm，现将一根长度为 28cm 的玻璃棒一端插入容器中，则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 8 cm 【分析】先根据勾股定理求出玻璃棒在容器里面的长度的最大值，再根据线段的和差关系即可求解 第18页（共22页）【解答】解：62=12（cm），由勾股定理得=20（cm），则玻璃棒露在容器外的长度的最小值是 2820=8（cm）故答案为 8【点评】考查了勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求得玻璃棒在容器里面的长度的最大值，此题比较常见，难度适中 三解答题（共 4 小题）21有一块空白地，如图，ADC=90，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m，试求这块空白地的面积 【分析】连接 AC，根据勾股定理可求出 AC的长，再证明ACB为直角三角形，根据四边形 ABCD的面积=ABC面积ACD面积即可计算【解答】解：连接 AC，在 RtACD中，CD=6米，AD=8米，BC=24米，AB=26米，AC2=AD2+CD2=82+62=100，AC=10米，（取正值）在ABC中，AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676 AC2+BC2=AB2，ACB为直角三角形，ACB=90 S空白=ACBCADCD=102486=96（米2）答：这块空白地的面积是 96 米2 【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是 第19页（共22页）根据勾股定理求出 AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角形 22一块空地如图如示，AB=9m，AD=12m，BC=17m，CD=8m，且A=90，求这块空地的面积 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果连接BD，在直角三角形 ABD中可求得 BD的长，由 BD、CD、BC的长度关系可得三角形 DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形 ABCD由 RtABD和 RtDBC构成，则容易求解【解答】解：连结 BD 在ABD中 A=90，BD2=AB2+AD2=92+122=225（勾股定理），BD=15，在BCD，BD2+DC2=225+82=289，BC2=172=289，BD2+DC2=BC2，BCD是 Rt，BDC=90（勾股定理的逆定理）这块空地的面积是：ABAD+BDCD=912+158=54+60=114（m2），答：这块空地的面积为 114m2 第20页（共22页）【点评】本题考查了勾股定理以及逆定理；通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单 23在甲村至乙村间有一条公路，在 C处需要爆破，已知点 C与公路上的停靠站A的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B的距离为 400 米，且 CACB，如图所示，为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路 AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答 【分析】过 C 作 CDAB于 D根据 BC=400米，AC=300米，ACB=90，利用根据勾股定理有 AB=500米 利用 SABC=ABCD=BCAC 得到 CD=240米 再根据 240 米250 米可以判断有危险【解答】解：公路 AB需要暂时封锁 理由如下：如图，过 C作 CDAB于 D 因为 BC=400米，AC=300米，ACB=90，所以根据勾股定理有 AB=500米 因为 SABC=ABCD=BCAC 所以 CD=240（米）由于 240 米250 米，故有危险，因此 AB段公路需要暂时封锁 第21页（共22页）【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理 24如图所示，永定路一侧有 A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得 AC=8km，BC=15km，ACBC，1=30 （1）连接 AB，求两个送奶站之间的距离；（2）有一人从点 C 处出发沿永定路边向右行走，速度为 2.5km/h，多长时间后这个人距 B送奶站最近？并求出最近距离 【分析】（1）首先根据勾股定理得出 AB的长；（2）计算出BCD的度数，再根据直角三角形的性质算出 DC的长，然后根据速度和路程可计算出多长时间后这人距离B送奶站最近【解答】解：（1）AC=8km，BC=15km，ACBC，AC2+BC2=AB2，AB=km，（2）过 B作 BD永定路于 D，ABC是直角三角形，且ACB=90，1=30，BCD=18090 30=60，在 RtBCD中，BCD=60，第22页（共22页）CBD=30，CD=BC=7.5（km），7.52.5=3（h），3 小时后这人距离 B送奶站最近 最近距离为km【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，关键是掌握如果直角三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2