2023年第五节-函数的极值与最大值最小值.pdf
精品资料 欢迎下载 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 定义 设函数 f x在点0 x的某邻域0U x内有定义，如果对于去心邻域0U x内有定义，如果对于去心邻域0U x内的任一x，有 0fxfx（或 0fxfx），那么就称0fx是函数 f x的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点 定理 1（必要条件）设函数 f x在点0 x处可导，且在0 x处取得极值，则0fx0.定理 2（第一充分条件）设函数 f x在0 x处连续，且在0 x的某去心邻域 0,U x内可导（1）若当00,xxx时，0fx，而当00,xxx时，0fx，则 f x在0 x处取得极大值；（2）若当00,xxx时，0fx，而当00,xxx时，0fx，则 f x在0 x处取得极小值；（3）若当 0,xU x时，fx的符号保持不变，则 f x在0 x处不取得极值 例 1 求函数 2341f xxx的极值 解 f x在,内可导，除1x 外处处可导，且 35131xfxx 解方程 0fx得函数的驻点1x 易知1x 为函数的不可导点 在,1 内，0fx；在 1,1，0fx，故1x 是函数的一个极大值点又因在1,内，0fx，故1x 是函数的一个极小值点 极大值为10f ，极小值为 313 4.f 精品资料 欢迎下载 定理 2（第二充分条件）设函数 f x在0 x处具有二阶导数且000,0fxfx，则（1）当00fx时，函数 f x在0 x处取得极大值；（2）当00fx时，函数 f x在0 x处取得极小值 例 2 求函数 3211f xx的极值 解 2261.fxx x 解方程 0fx，得驻点1231,0,1.xxx 2261 51.fxxx 因 060f ，故 f x在0 x 处取得极小值 00.f 因 110ff，故用定理 3 无法判别 当x取1左侧邻近的值时，0fx；当x取1右侧邻近的值时，0fx，函数 f x在1x 处不取极值同理，f x在1x 处不取极值 二、最大值最小值问题 求闭区间,a b上连续函数 f x的最大值最小值的方法如下：（1）求出 f x在,a b内的驻点及不可导点；（2）计算 f x在上述驻点、不可导点处的函数值及 f a，f b；（3）比较（2）中诸函数值的大小，其中最大的就是 f x在区间,a b上的最大值，最小的就是 f x在区间,a b上的最小值 例 3 求函数 232f xxx在 3,4上的最大值与最小值 解 2232,312,4,32,1,2.xxxf xxxx 23,3,12,4,23,1,2.xxfxxx 在 3,4内，f x的驻点为32x；不可导点为1,2.x 小值统称极值使函数取得极值的点称为极值点定理必要条件设函数在点符号保持不变则在处不取得极值例求函数的极值解在内可导除外处处可二充分条件设函数在处具有二阶导数且则当时函数在处取得极大值当时精品资料 欢迎下载 因为 31320,10,20,4624fffff ，所以 f x在 3,4上的最大值为320f ，最小值为 20.f 例 4 铁路上AB段的距离为 100km 工厂C距A处 20km，AC垂直于AB（如图所示）为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为3:5 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？解 设ADxkm，则100DBxkm，22220400.CDxx 设铁路上每千米的运费为3k，公路上每千米为5k（k为某个正数），从B点到C点需要的需要的总运费为y，则 254003100,0100.ykxkxx 该函数的导数为 253.400 xykx 方程0y 的解为15.x 因为01510021|400,|380,|50015xxxyk yk yk，所以该函数在区间0,100上的最小值为15|380 xyk因此当15AD km 时，总运费最省 习题 3-5 1.求下列函数的极值：（1）3226187yxxx；解 261218,1212.yxxyx 小值统称极值使函数取得极值的点称为极值点定理必要条件设函数在点符号保持不变则在处不取得极值例求函数的极值解在内可导除外处处可二充分条件设函数在处具有二阶导数且则当时函数在处取得极大值当时精品资料 欢迎下载 令0y 得驻点121,3.xx 由1|240 xy 知1|17xy为极大值，由3|240 xy 知3|47xy为极小值（3）422yxx ；解 3224441,124.yxxx xyx 令0y 得驻点1231,1,0.xxx 由1|80 xy 知1|1xy为极大值由1|8xy 0知1|1xy为极大值由0|40 xy 知0|0 xy为极小值（5）21345xyx；解 22322210123 4513552 45.4545xxxxxyxx 令0y 得驻点12.5x 当125x 时，0y，因此函数在12,5上单调增加；当125x 时，0y，因此函数在12,5上单调减少，从而12205510y 为极大值 6.求下列函数的最大值、最小值：（1）3223,14yxxx；解 函数的导数为 26661.yxxx x 令0y 得驻点120,1.xx比较1014|5,|0,|1,|80 xxxxyyyy ，得函数的最大值为4|80 xy，最小值为1|5.xy（2）282,13xxx ；解 函数的导数为3416422.yxxx xx 令0y 得驻点12x （舍去），230,2.xx 比较1023|5,|2,|14,|11xxxxyyyy，得函数的最大值为3|11xy，最小值为小值统称极值使函数取得极值的点称为极值点定理必要条件设函数在点符号保持不变则在处不取得极值例求函数的极值解在内可导除外处处可二充分条件设函数在处具有二阶导数且则当时函数在处取得极大值当时精品资料 欢迎下载 2|14.xy（3）1,51.yxxx 解 函数的导数为12 111.2 12 1xyxx 令0y，得驻点3.4x 比较53145|56,|,|14xxxyyy ，得函数的最大值为345|,4xy最小值为5|65.xy 10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解 如图，设这间小屋的的宽为x，长为y，则小屋的面积为.Sxy 已知220 xy，即202yx，故 2202202,0,10.Sxxxxx 204,4.Sx S 令0S，得驻点5.x 由0S 知5x 为极大值点，又驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即当宽为5m，长为10m 时，这间小屋的面积最大 12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）截面的面积为52m问底宽x为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？小值统称极值使函数取得极值的点称为极值点定理必要条件设函数在点符号保持不变则在处不取得极值例求函数的极值解在内可导除外处处可二充分条件设函数在处具有二阶导数且则当时函数在处取得极大值当时精品资料 欢迎下载 解 设截面的周长为l，已知22xlxy 及2522xxy ，即5.8xyx 故 1040,0,.4xlxxx 2310201,.4llxx 令0l，得驻点40.4x由34024200404xl知404x为极小值点，又驻点唯一，故极小值点就是最小值点所以当截面的底宽为404x时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省 小值统称极值使函数取得极值的点称为极值点定理必要条件设函数在点符号保持不变则在处不取得极值例求函数的极值解在内可导除外处处可二充分条件设函数在处具有二阶导数且则当时函数在处取得极大值当时
