2023年构造法证明不等式一.pdf
精品资料 欢迎下载 构造法证明不等式（一）1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 一、移项法构造函数【例 1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111 【分析】本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明【解析】由题意得：1111)(xxxxf，当01x时，0)(xf，即)(xf在)0 ,1(x上为增函数；当0 x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数；故函数()f x的单调递增区间为)0 ,1(，单调递减区间),0(；于是函数()f x在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf，因此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xx，xx)1ln(（右面得证）现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则，当)0 ,1(x时，0)(xg；当),0(x时，0)(xg，即)(xg在)0 ,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(mingxg，当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx，111)1ln(xx综上可知：当1x时，有xxx)1ln(111【点评】如果()f a是函数()f x在区间上的最大（小）值，则有()f x()f a（或精品资料 欢迎下载()f x()f a），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 0 就可得证 2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数xxxfln21)(2，求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方【分析】函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方不等式)()(xgxf在),1(上恒成立问题，即3232ln21xxx，只需证明在区间),1(上，恒有3232ln21xxx成立，设)()()(xfxgxF，),1(x，考虑到061)1(F，要证不等式转化变为：当1x时，)1()(FxF，这只要证明：)(xg在区间),1(是增函数即可【解析】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxxxxxF)12)(1(12)(22；当1x时，0)12)(1()(2xxxxxF，从而)(xF在),1(上为增函数，061)1()(FxF，当1x时，0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式 读者也可以设)()()(xgxfxF做一做，深刻体会其中的思想方法 3、换元法构造函数证明【例 3】（2007 年山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立【分析】本题是山东卷的第（2）问，从所证结构出发，只需令xn1，则问题转化为：当0 x数的单调性或求最值从而证得不等式而如何根据不等式的结构特征构造入手即可证明解析由题意得当时即在上为增函数当时即在上为减函数故时即综上可知当时有点评如果是函数在区间上的最大小值则有或精品资精品资料 欢迎下载 时，恒有32)1ln(xxx成立，现构造函数)1ln()(23xxxxh，求导即可达到证明【解析】令)1ln()(23xxxxh，则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正，函数)(xh在),0(上单调递增，),0(x时，恒有0)0()(hxh，即0)1ln(23xxx，32)1ln(xxx，对任意正整数n，取),0(1nx，则有3211)11ln(nnn【点评】我们知道，当()F x在,ba上单调递增，则xa时，有()F x()F a 如果()f a()a，要证明当xa时，()f x()x，那么，只要令()F x()f x()x，就可以利用()F x的单调增性来推导 也就是说，在()F x可导的前提下，只要证明()Fx0 即可 4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数)(xfy 在R上可导，且满足不等式)()(xfxxf恒成立，常数a、b满足ba，求证：)()(bbfaaf【解析】由已知：0)()(xfxxf，构造函数)()(xxfxF，则0)()()(xfxxfxF，从而)(xF在R上为增函数，ba，)()(bFaF，即)()(bbfaaf【点评】由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF，求导即可完成证明若题目中的条件改为)()(xfxf x，则移项后)()(xfxf x，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结 5、主元法构造函数【例 5】已知函数xxxf)1ln()(，xxxgln)(（1）求函数)(xf的最大值；数的单调性或求最值从而证得不等式而如何根据不等式的结构特征构造入手即可证明解析由题意得当时即在上为增函数当时即在上为减函数故时即综上可知当时有点评如果是函数在区间上的最大小值则有或精品资精品资料 欢迎下载（2）设ba 0，证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag【分析】对于第（2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏学生的盲点也主要就在对所给函数用不上 如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的【解析】（1）过程略；（2）对xxxgln)(求导，则1ln)(xxg在)2(2)()(bagbgag中以b为主变元构造函数，设)2(2)()()(xagxgagxF，则2lnln)2(2)()(xaxxagxgxF当ax 0时，0)(xF，因此)(xF在),0(a内为减函数；当ax 时，0)(xF，因此)(xF在),(a上为增函数从而当ax 时，)(xF有极小值)(aF，0)(aF，ab，0)(bF，即0)2(2)()(bagbgag又设2ln)()()(axxFxG，则)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG；当0 x时，0)(xG因此)(xG在),0(上为减函数，0)(aG，ab，0)(bG，即2ln)()2(2)()(abbagbgag 6、构造二阶导函数证明函数的单调性（二次求导）【例 6】已知函数21()2xf xaex（1）若)(xf在R上为增函数，求a的取值范围；（2）若1a，求证：当0 x时，xxf 1)(【解析】（1）xaexfx)(，)(xf在R上为增函数，0)(xf对Rx恒成立，即xxea数的单调性或求最值从而证得不等式而如何根据不等式的结构特征构造入手即可证明解析由题意得当时即在上为增函数当时即在上为减函数故时即综上可知当时有点评如果是函数在区间上的最大小值则有或精品资精品资料 欢迎下载 对Rx恒成立；记xxexg)(，则xxxexxeexg)1()(；当1x时，0)(xg；当1x时，0)(xg知)(xg在)1 ,(上为增函数，在),1(上为减函数，)(xg在1x时，取得最大值，即egxg1)1()(max，ea1，即a的取值范围是),1e（2）记121)1()()(2xxexxfxFx（0 x），则1)(xexFx，令1)()(xexFxhx，则1)(xexh；当0 x时，0)(xh，)(xh在),0(上为增函数，又)(xh在0 x处连续，0)0()(hxh，即0)(xF，)(xF在),0(上为增函数，又)(xF在0 x处连续，0)0()(FxF，即xxf 1)(【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(xfm（或)(xfm）恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法 7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）【例 7】证明：当0 x时，2111)1(xxex【解析】对不等式两边取对数得21)1ln()11(xxx，化简为22)1ln()1(2xxxx，设辅助函数)1ln()1(22)(2xxxxxf（0 x），)1l n(22)(xxxf，又012)(xxxf（0 x），易知)(xf在),0(上严格单调增加，从而0)0()(fxf（0 x），又由)(xf在),0上连续，且0)(xf，得)(xf在),0上严格单调增加，0)0()(fxf（0 x），即0)1ln()1(222xxxx，)1ln()1(222xxxx，故2111)1(xxex（0 x）8、构造形似函数【例 8】证明：当eab，证明abba 数的单调性或求最值从而证得不等式而如何根据不等式的结构特征构造入手即可证明解析由题意得当时即在上为增函数当时即在上为减函数故时即综上可知当时有点评如果是函数在区间上的最大小值则有或精品资精品资料 欢迎下载【分析】此题目具有幂指数形式，对不等式两边分别取对数得baablnln，整理为bbaaln1ln1，在此基础上根据“形似”构造辅助函数xxxfln1)(，再根据函数的单调性证明之【解析】不等式两边分别取对数得baablnln，可化为bbaaln1ln1令xxxfln1)(，显然)(xf在),(e内连续并可导，0)ln1(11ln1)(222xxxxxxf（ex），故)(xf在),(e内严格单调递减，由eab得：)()(bfaf，bbaaln1ln1，即baablnln，故abba 【例 9】已知m、n都是正整数，且nm 1，证明：mnnm)1()1(【解析】原不等式等价于nnmm)1ln()1ln(，令xxxf)1ln()(（2x），则0)1()1ln(1)1()1ln()1()1ln()1()(222xxxxxxxxxxxxxxxf，即)(xf在),2上严格递减，)()(nfmf，即mnnm)1()1(成立 数的单调性或求最值从而证得不等式而如何根据不等式的结构特征构造入手即可证明解析由题意得当时即在上为增函数当时即在上为减函数故时即综上可知当时有点评如果是函数在区间上的最大小值则有或精品资
