2023年初中数学三角形全等精品讲义、讲义.pdf

学习文档 仅供参考 教学目标 1知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角 教学过程 一、三角形全等的概念 如果我们把两张纸重叠起来，同时得到两个三角形，你能发现这两个三角形有什么特征吗？我们发现：这两个三角形的形状、大小完全一样，我们把这两个图形放在一起，他们能够完全重合，像这样的图形，我们就称为是全等形.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的三角形叫做全等三角形.将ABC沿直线 BC平移得DEF；将ABC沿 BC翻折 180得到DBC；将ABC旋转 180得AED 甲DCABFE乙DCAB丙DCABE C1B1CABA1学习文档 仅供参考 议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难看出ABC和DEF，ABC和DBC，ABC和AED都是全等三角形.我们把两个三角形全等记作：ABC DEF，ABC DBC，ABC AED 注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略 二、三角形全等的性质 甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等 例 1：如图，OCA OBD，C和 B，A和 D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角 DCABO 例 2：如图，已知ABE ACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角 DCABE 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素常用方法有：1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边 2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角 学习文档 仅供参考 A B C D E 第4题 A C F E D A O D B C 第1题 A B F E D C A B E C D 例 3：已知如图ABC ADE，试找出对应边、对应角 由学生讨论完成 DCABEO 1如图，已知ABCDCB，且 AB=DC，则DBC 等于 AA BDCB CABC DACB 2已知ABCDEF，AB=2，AC=4，DEF 的周长为偶数，则 EF 的长为 A3 B4 C5 D 6 3已知ABCDEF，A=50，B=65，DE=18，则F=_，AB=_ 4如图，ABC 绕点 A 旋转 180 得到AED，则 DE 与 BC 的位置关系是_，数量关系是_ 5把ABC 绕点 A 逆时针旋转，边 AB 旋转到 AD，得到ADE，用符号“”表示图中与ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角 6如图，把ABC 沿 BC 方向平移，得到DEF 求证：ACDF。7如图，ACFADE，AD=9，AE=4，求 DF 的长 学习文档 仅供参考 1.5 全等三角形的判定(SSS)1、只给一个条件一组对应边相等或一组对应角相等，你可以画出多少三角形呢？画出的三角形一定都全等吗？2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按以下条件做一做 三角形一内角为 30，一条边为 3cm 三角形两内角分别为 30和 50 三角形两条边分别为 4cm、6cm 学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流 结果展示：1只给定一条边时：只给定一个角时：2给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边 3cm3cm3cm303030 50503030 6cm4cm4cm6cm 学习文档 仅供参考 可以看出来当只给出一个条件或两个条件时，我们不能保证画出来的三角形都是全等三角形，那么如果给出来三个条件时，又会有怎样的结果呢？给出三个条件时有下面四种情况：三条边、三内角、两边一内角、两内角一边，我们先来探索第一种情况.请按照下面的方法，用刻度尺和圆规画DEF，使其三条边分别为 1.3cm，1.9cm，2.5cm.画法：1、画线段 EF=1.3cm；2、分别以 E、F为圆心，1.9cm，2.5cm 长为半径画两条弧，交于点 D；3、连结 DE，DF；DEF就是所求的三角形.按照上述方法你画出了几个三角形，它们有什么关系呢？通过上面的讨论我们有如下判定三角形全等的边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS”用上面的规律可以判断两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据 例 1：如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点 A与 BC中点 D的支架求证：ABD ACD 例 2：如图，已知 AC=FE、BC=DE，点 A、D、B、F在一条直线上，AD=FB 要用“边边边”证明ABC FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？如何利用直尺和圆规作一个已知角的角平分线呢？DCBAFDCBEA学习文档 仅供参考 按照下面的步骤，我们可以作出来一条直线，求证这条直线即是角平分线.1、以点 A为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E、F两点；2、分别以 E、F为圆心，大于21EF长的半径；作圆弧，两条圆弧交于BAC内一点 D；3、过点 A、D作射线 AD.射线 AD就是所求作的BAC的平分线.根据我们作出的图形，找到已知条件，并证明 AD是BAC的平分线.把两根木条的一端固定在一起，木条会自由转动。在转动过程中，连结另两个端点所组成的三角形的形状、大小会随之改变.如果把另外两个端点用一根木条固定住，那么构成的三角形的形状，大小就完全确定.这就告诉我们一个生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性 A B C 学习文档 仅供参考 1.5 全等三角形的判定(SAS)1、怎样的两个三角形是全等三角形？2全等三角形的性质？3、上一节我们学习了什么方法来判定三角形全等？除了这个方法，还有没有其它的方法呢？如右图2，AC、BD 相交于O，AO、BO、CO、DO 的长度如图所标，那么ABO 和CDO 是否能完全重合呢？如果把OAB 绕着O点顺时针方向旋转，因为OA OC，所以可以使OA 与OC 重合；又因为AOB COD，OB OD，所以点B与点D重合这样ABO 与CDO 就完全重合 根据这个图形我们来探讨一下判定三角形全等的另一个方法.不难看出，这AOB 和COD 有三对元素是相等的 ，从而我们得到：AOB COD 由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，只需要这两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等这就是边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)按下面的步骤画图：画DAE 45，在AD、AE 上分别取 B、C，使 AB3.1cm，AC 2.8cm 连结BC，得ABC 按上述画法再画一个ABC 观察ABC与ABC 是否能够完全重合？任意给出三角形的两条边和一个角，我们画出的三角形是否都全等呢？已知ABC 中A=45，AC=3cm，BC=2cm，那么你可以画出怎样的三角形呢？试着画一画.利用边角边定理判定三角形全等时，对应角一定要是对应边的夹角.AO=COAOB=CODBO=DO学习文档 仅供参考 D B A C l例1：已知：如图，AB AC，F、E分别是AB、AC 的中点求证：ABE ACF 例2：已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF CE，BE DF，BE DF 求证：ABE CDF 例3：直线l线段AB 于点D，且AD=BD，点C是直线 l上任意一点，证明AC=BC 像直线l这样，垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.(1)如图3，已知AD BC，AD CB，要用边角边公理证明ABC CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD CB(已知)，二是_；还需要一个 学习文档 仅供参考 条件_(这个条件可以证得吗？)(2)如图4，已知AB AC，AD AE，12，要用边角边公理证明ABD ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)学习文档 仅供参考 1.5 全等三角形的判定(ASA或AAS)有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ABC，使BC=3cm，B=40，C=60.根据要求我们只能画出一个三角形，由此我们得到角边角定理：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等简写为“角边角”或“ASA”在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？例 1：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？DCABFE 由此我们得到角角边定理：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAS”例 2:如图，D在 AB上，E在 AC上，AB=AC，B=C 求证：AD=AE DCABE