2023年勾股定理竞赛试卷(最新版)一.pdf

勾股定理培优训练 B 1如图，ABC的顶点 A、B、C在边长为 1 的正方形网格的格点上，BDAC于点 D则 BD的长为（）A B C D 2如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，ADBC，ABC=60，BCD=30，BC=6，那么ACD的面积是（）A B C 2 D 3ABC中，AB=AC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC的中点，两边PE、PF分别交 AB、AC于 E、F，给出以下四个结论：AE=CF EPF是等腰直角三角形 EF=AP S四边形 AEPF=SABC 当EPF在ABC内绕 P旋转时（点 E不与 A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm，在圆柱的侧面上，过点 A和点 C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A 4dm B 2dm C 2dm D 4dm 5如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果从点 A开始经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要（）cm A 10n B C D 6 在ABC中，ACB=90，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则 MN的长为（）A 2 B C 3 D 4 7 如图，在ABC中，BAC=30，AB=AC，AD是 BC边上的中线，ACE=BAC，CE交 AB于点 E，交 AD于点 F若 BC=2，则 EF的长为（）A B C 1 D 8已知ABC是腰长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以RtACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是（）A 2n2 B 2n1 C 2n D 2n+1 9已知直角三角形的斜边为 2，周长为则其面积是（）A B 1 C D 2 10下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为 5 和 12，则第三边长是 13；（2）如果 a0，那么=a（3）若点 P（a，b）在第三象限，则点 P（a，b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 其中不正确命题的个数是（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 11如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm 现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE重合，则 CD等于（）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm 122002 年 8 月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，那么（a+b）2的值为（）A 13 B 19 C 25 D 169 13如图，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=8，将矩形沿 EF折叠，使 C点与 A点重合，则折痕 EF的长是（）A B 6 C 10 D 5 二填空题 14 如图，ABD 和CED 均为等边三角形，AC=BC，ACBC若BE=，则CD=15在 RtABC中，C=90，D为 BC上一点，DAC=30，BD=2，AB=2，则 BC的长是 16已知 a，b，c 是直角三角形的三条边，且 abc，斜边上的高为 h，则下列说法中正确的是 （只填序号）a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；b4+c2h2=b2c2；由可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是 17如图，在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，B=D=90，则四边形 ABCD 的面积是 18如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E在线段 CB的延长线上，连接 DE交 AB于点 F，AED=2CED，点 G 是 DF 的中点若 BE=2，AG=8，则 AB 的长为 三解答题 19如图，已知 AD是ABC的高，BAC=60，BC=3,AC=2，试求 AB的长 20 操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC的斜边与含 30角的直角三角板 DEF的长直角边 DE重合 问题解决：将图中的等腰直角三角板 ABC绕点 B顺时针旋转 30，点 C落在 BF上，AC与 BD交于点 O，连接 CD，如图 D A B C ADABACABBC2222（1）求证：CDO是等腰三角形；（2）若 DF=8，求 AD的长 21已知 a，b，c 为ABC的三边长，且（+）2=3（+），试说明这个三角形是什么三角形 22某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m 现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长 23已知，如图，在 RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交 AB于点 E，且 CD=AC，DFBC，分别与AB、AC交于点 G、F（1）求证：GE=GF；（2）若 BD=1，求 DF的长 24.已知：如图，ABC中，AB AC，AD 是BC 边上的高 求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)25.已知：ABC是钝角三角形，CD垂直 BA延长线于 D，求证：26如图，在 RtABC中，C90，D、E分别为BC和AC的中点，AD5，BE102求AB的长 27如图，ABC中，A90，AC20，AB10，延长AB到D，使CDDBACAB，求BD的长 28如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB3，AD9，求BE的长 29如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB8cm，BC10cm，求EC的长 30已知：如图，ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF2 1，在四边形 ABCD 中,已知 AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ABD+BDC=90。,四边形 ABCD 的面积为 .2如图，在 RtABC中，ACB=900，CAB=300，ACB的平分线与ABC的外角平分线交于 E点，则AEB=()(A)500 (B)450 (C)400 (D)350 3如图，RtABC，C90,B30,BC6，D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AP、DP,则 AP DP的最小值是 （第 3 题）4、如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分 5、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（）（A）3a （B）(12)a （C）3a （D）6、某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为米的同学落在地面上的影子长为米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图），他们测得地面部分的影子 BC=米，墙上影长 CD=米，则树高AB=米 ABDC 7、一直角三角形两边分别为 3 和 5，则第三边为 A、4 B、34 C、4 或34 D、2 8、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成 600夹角，测得 AB长 60cm，则荷花处水深 OA为 A、120cm B、360cm C、60cm D、cm320 9、等腰三角形的底角是 15，腰长为 10，则其腰上的高为_ 10、已知，如图（1）在ABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，CD、CE分别是斜边AB上的中线和高。则下列结论错误的是（）A AB=10 B CD=5 C CE=245 D DE=BE=52 11、如图（3），在等腰直角三角形ABC中，C=90，D为BC的中点，将ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则AF:CF=（）A 2:1 B 3:2 C 5:3 D 7:5 12、如图（10）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是 3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）B.47 C.48 13、如图，已知ABC中，ABC=90,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为 1,l2，l3之间的距离为3,则点B到AC的距离是 14 已知一个梯形的四条边长分别为2、3、4、5，则此梯形的面积为（）A5 B8 C3310 D3514 15如图，四边形 ABCD 中，AC90，ABC60，AD 4，CD 10，则 BD的长等 于（）A.134 B.38 C.12 D.310 16如图，ABC中，AB AC 2，BC边上有 10 个不同的点1P，2P，10P,记CPBPAPMiiii2（i 1，2，10），那么1021MMM的值为（）A.4 C.40 D.不能确定 （第 14 题图）(第 15 题图)17.如图将边长为 12cm的正方形 ABCD 折叠，使 A点落在边 CD上的 E点，然后压平得折痕 FG，若 FG的长为 13cm，则 CE的长=（）cm（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 ABDCHFGE18.如图，P为正方形 ABCD 内一点，PA PBPC123，则APB 19如图，将边长为 2cm的正方形 ABCD 沿其对角线 AC剪开，再把ABC沿着 AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm2，则它移动的距离AA等于 A B1cm C D2cm 20如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8若将矩形折叠，使 B点与 D点重合，则折痕 EF的长为 A152 B154 C5 D6 21直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是 21，则此直角三角形的周长最小值是_ 22正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为 2，则DEK的面积为（）A4 B2 C3 D2 23如图，在正方形ABCD中，BDBE，CEBD，BE交CD于F点，则DFE的度数为（）A45 B60 C75 D90 24、如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是_ 25 根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向 300 km的点O处（如图 4），正以 20 km/h的速度向北偏西 60方向移动，距离台风中心 250 km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是 A10 h B20 h C30 h D40 h 26如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为_ 27如图，将长为 4 cm宽为 2 cm的矩形纸片 ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度 为_ 28正方形ABCD的边长为 4，E、F、P分别为AB、BC、DA上的点，且AEBE，DP3AP（F为动点），则EFFP的最小值为（）A17 B37 C102 D以上都不对 29如图，梯形ABCD的上、下底分别为 1 和 4，对角线AC=4 BD=3，则梯形ABCD的面积为_.30、（本题满分 7 分）一次“探究性”学习课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察 a、b、c 与 n 的关系，并用含自然 数 n(n 1)的代数式表示：a=b=c=（2）猜想：以 a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想。31、（本题满分 8 分）如图，某城市 A接到台风警报，在该市正南方向 260km的 B处有一台风中心，沿 BC方向以 15km/h 的速度移动，已知城市 A到 BC的距离n 2 3 4 5 a 22-1 32-1 42-1 52-1 b 4 6 8 10 c 22+1 32+1 42+1 52+1 DCBAC N AB D E F M OA 北 PDCBEAAD=100km （1）台风中心经过多长时间从 B移动到 D点？（2）已知在距台风中心 30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点 D的工作人员早上 6：00 接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作 图（7）EDCBADEACB32、（本题满分9分）如图，梯形ABCD 中,ADBC且AB BC,已知AD=1,AB=BC=4.(1)求 DC的长。（2）若 E为 AB中点，连结 DE,CE,求证：DE平分ADC,CE平分DCB 33（本小题满分 9 分）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷()A和世界级自然保护区星斗山()B位于笔直的沪渝高速公路X同侧，50kmABA，、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和1SPAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和2SPAPB （1）求1S、2S，并比较它们的大小；（2）请你说明2SPAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值 34、如图（7）ABD的CED均为等边三角形，AC=BC,AC BC。若 BE=2,则 CD=_ 35如图，在直角梯形 ABCD 中，AB=BC=12，E 为 AB中点，DCE=45，求DE的长（10 分）A 22、（本题 8 分）如图，四边形 ABCD为等腰梯形，AD BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点 O，且 AC BD，DH BC。求证：DH=21（AD+BC）若 AC=6，求梯形 ABCD 的面积。36、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形 ABCD（AB BC）的对角线的交点 O旋转（），图中的 M、N分别为直角三角形的直角边与矩形 ABCD 的边 CD、BC的交点。该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与 OD重合）中，BN2=CD2+CN2，在图中（三角板一边与 OC重合），CN2=BN2+CD2，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由。图 图 图 试探究图中 BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。将矩形 ABCD 改为边长为 1 的正方形 ABCD，直角三角板的直角顶点绕 O点旋转到图，两直角边与 AB、BC分别交于 M、N，直接写出 BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）图 37、（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在 x 轴上，A点函数xy2上，且 ABCD y 轴，AD x 轴，B（1，0）、C（3，0）。试判断四边形 ABCD 的形状。若点 P是线段 BD上一点 PEBC于 E，M是 PD的中点，连 EM、AM。求证：AM=EM 在图中，连结 AE交 BD于 N，则下列两个结论：MNDMBN 值不变；222MNDMBN的值不变。其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值。38（8分）如图，ABC的边AB3，AC2，、分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是多少 39已知a、b、c 为ABC的三边，(1)若4222240ab ca cb判断ABC的形状；（2）若222abcbc 计算cbabac的值。40 如图，河流的两岸 PQ、MN互相平行，河岸 MN上有一排间隔为 50 米的电线杆 C、D、E，某人在河岸 PQ的 A处测得 CAQ30，然后沿河岸走了 110 米到达 B处，测得DBQ45，求河流的宽度。41如图，矩形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG10 当折痕的另一端F在AB边上时，如图，求EFG的面积；当折痕的另一端F在AD边上时，如图，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长 一、填空 1、若三角形的三边之比是 7：24：25，则这个三角形是 三角形。2、ABC中，A是B的 2 倍，C比A+B还大 12，则这个三角形是 三角形。3、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，则斜边上的高是 。4、在 RtABC中，C=900，（1）若 a=6，b=8，则 c=；（2）若c=13，b=12，则 a=；（3）若 a=21，c=28，则 b=；5、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则 AB=米。6、若一块直角三角板，两直角边分别为 12cm 和 5cm，不移动三角板，能画出的线段最长是cm_。7、在 RtABC中，ACB=900，CD AB于 D，AC=6，AB=10，则 BD=。8、在等腰直角三角形中，斜边长为 50cm，则它的面积为 。9、在直角三角形中，三边长分别为 5、12，则第三边长为 。10、等腰三角形腰和底边的比是 3：2，若底边长为 6，则底边上的高为 。11、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为 48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，那么鱼池的周长为 米。12、现有两根木棒，它们的长分别为 40cm 和 50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需最短的木棒的长度为 。二、选择题 1、下列三角形中，一定是直角三角形的有（）A、1 个 B、2个 C、3 个 D、4 个 有两个内角互余的三角形；三边长为 m2n2、nm2、m2+n2（mn0）的三角形；三边的比为 3：4：5 的三角形；三个内角的比是 1：2：3 的三角形；ABFE BDCGGCDFABE BH A2、有长度为 9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒，能搭成（首尾顺次相连）直角三角形的个数为（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 3、若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比可以为（）A、234 B、346 C、51213 D、467 4、三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形.5、一直角三角形的斜边比一直角边大 4，另一直角边长为 8，则斜边长为（）A、6 B、8 C、10 D、12 6、直角三角形的周长为 12cm，斜边长为 5cm，则其面积为（）A、12cm2 B、10cm2 C、8cm2 D、6cm2 7、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC是（）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对 三、解答题 1、有一边长为 4 米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面 1m，一阵风吹来，竹竿倒向一边，竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米 2、小明要外出旅游，他带的行李箱长cm40，宽cm30，高cm60，一把cm70长的雨伞能 否装进这个行李箱 3、如图：有一圆柱，它的高等于cm8，底面直径等于cm4（3）在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。BAABC 4、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若图中大小正方形的面积分别为和 4，求直角三角形两直角边的长。5、如图，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。6、厂门的上方是一个半圆，一辆装满货物的卡车，宽为 1.6m，高为 2.6m，这辆卡车能否通过厂门（要求卡车的上端与门的距离不小于 0.2m）（图中单位：m）7、如图，ABC中，C=90，AB的垂直平分线交 BC于 M，交 AB于 N，若AC=8，MB=2MC，求 AC。8、如图，在ABC中，CD AB于 D，若 AB=4，AC=3，BC=2，求 BD的长。提高训练 1、若一个三角形的边长分别是 12、16 和 20，则这个三角形最长边上的高长是_。2、如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为 3dm、2dm、2dm，A和 B是这个盒子两个相 对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着盒子表面面爬到 B点最短路程是_dm.3、有一直角三角形，其两边分别为 12 和 16，则该三角形的三条角平分线的 CABD 2ACMNB AB 交点到斜边的距离是 。4、已知在ABC中，AD=8，AB=17，AC=10，AD BC，求 BC的长。5、如图，在ABC中，CE是 AB边上的中线，CD AB于 D,且 AB=5,BC=4,AC=6,求 DE的长。12、ABC中，AB=15，AC=13，AD BC，且 AD=12，求ABC的面积。例 2.四边形 ABCD 中DAB 60，BDRt，BC 1，CD 2 求对角线 AC的长 解：延长 BC和 AD相交于 E，则E30 CE 2CD 4，在 RtABE中 设 AB为 x,则 AE 2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2,x2=325 在 RtABC中，AC 221x13252132 例 3.已知ABC中，AB AC，B2A 求证：AB2BC2AB BC 证明：作B的平分线交 AC于 D，则AABD，BDC 2AC AD BD BC 作 BM AC于 M，则 CM DM AB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2）AM2CM2（AM CM）（AM CM）AC AD AB BC ABCDAEDBC21DABCEBCADM例 4.如图已知ABC中，AD BC，AB CD AC BD 求证：AB AC 证明：设 AB，AC，BD，CD分别为 b,c,m,n 则 c+n=b+m,c-b=m-n AD BC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b)=(m+n)(c-b)(c+b)(c-b)(m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0 c+bm+n,c-b=0 即 c=b AB AC 例 5.已知梯形 ABCD 中，AB CD，AD BC 求证：AC BD 证明：作 DE AC，DF BC，交 BA或延长线于点 E、F ACDE 和 BCDF都是平行四边形 DE AC，DF BC，AE CD BF 作 DH AB于 H，根据勾股定理 AH 22-DHAD，FH 22-DHDF AD BC，AD DF AH FH，EH BH DE 22EHDH，BD 2BHDH DE BD 即 AC BD 例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于 ABCD，AE a，AFb,且 SEFGH32 求：ab的值 （2001 年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 cbnmABCDjABCDEFHABCDFGHE a2+b2=EF2SEFGH32 ;4SAEFSABCDSEFGH 2ab=31 得（a-b）2=31 ab33 1.ABC中，AB 25，BC 20，CA 15，CM和 CH分别是中线和高。那么 SABC，CH，MH 4.梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S梯形 5.已知：ABC中，AD是高，BE AB，BE CD，CFAC，CFBD 求证：AE AF 6.已知：M是ABC内的一点，MD BC，ME AC，MF AB，且 BD BF，CD CE 求证：AE AF 7.在ABC中，C是钝角，a2-b2=bc 求证A2B 8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长 10 等腰直角三角形 ABC斜边上一点 P，求证：AP2BP22CP2 11.已知ABC中，ARt，M是 BC的中点，E，F分别在 AB，AC ME MF 求证：EF2BE2CF2 ABC中，ABC 90，C600，BC 2，D是 AC的中点，从 D作 DE AC与 CB的延长线交于点 E，以 AB、BE为邻边作矩形 ABEF，连结 DF，则 DF的长是。（2002 年希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC中，AB AC 2，BC边上有 100 个不同的点 p1，p2，p3，p100,记 mi=APi2+BPiPiC(I=1,2，100)，则 m1+m2+m100=_(11)BACMFE(12)ABCEFD(5)ABCEFDEABCMDF (1990 年全国初中数学联赛题)练习题参考答案 3.150，12，35 4.24（作 CE BD交 AB延长线 E）5.利用勾股定理证明 AE，AF的平方都等于 m2+n2+AD2 6.利用勾股定理:AE2，AF2 7.作 CD AB于 D，bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)b=BD-AD 8.（用反证法）设 a,b,c都是奇数，那么 a2,b2,c2也都是奇数，a2b2是偶数,而 c2是奇数，这与 a2b2c2相矛盾，故这种假设不能成立，a,b,c中至少有一个数是偶数 9.22221cbaabcba 正整数解有13,10,10,1312,.8,.6,.5.5,.6,.8,12cba 答：各边长是 5，12，13 或 6，8，10 11.延长 EM到 N，使 MN EM，连结 CN，显然MNC MEB，NC BE，NF EF 12.可证 DF DE 23，13.400 (mi=4)ABCDEab