2023年聊大线代试卷最新版.pdf

-1-一、填空题此题总计 20 分，每题 2 分 1.排列 7623451 的逆序数是_。2.假设122211211aaaa，则160030322211211aaaa 3.已 知n阶 矩 阵A、B和C满 足EABC，其 中E为n阶 单 位 矩 阵，则_1B。4.假设A为nm矩阵，则齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是 _。5.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_。6.设 A 为三阶可逆阵，1230120011A，则*A A 为nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 1234532011111112140354321D，则4544434241AAAAA 9.向量(2,1,0,2)T的模范数为_。Tk11与T121正交，则k 二、选择题此题总计 10 分，每题 2 分 1.向量组r,21线性相关且秩为 s，则()sr sr rs rs 2.假设 A为三阶方阵，且043,02,02EAEAEA，则A()8 8 -2-34 34 3设向量组 A能由向量组 B线性表示，则()()(ARBR )()(ARBR)()(ARBR )()(ARBR 4.设n阶矩阵A的行列式等于D，则kA等于_。)(AkA )(BAkn )(C Akn 1 )(D A 5.设n阶矩阵A，B和C，则以下说法正确的选项是_。)(AACAB 则 CB )(B 0AB,则0A或0B )(C TTTBAAB)()(D 22)(BABABA 三、计算题此题总计 60 分。1-3 每题 8 分,4-7 每题 9 分 1.计算n阶行列式22221D 22222 22322 21222n n2222。2设 A 为三阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵，且21A，求*AA2)3(1.3求矩阵的逆 111211120A 4.讨论为何值时，非齐次线性方程组21231231231xxxxxxxxx 有唯一解；有无穷多解；无解。5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。522132243143214321xxxxxxxxxxx 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-3-T32011、T53112、T13113、T94214、T52115，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示 7.求矩阵201034011A的特征值和特征向量 四、证明题此题总计 10 分 设为bAX 0b的一个解，12,n r为对应齐次线性方程组0AX的基础解系，证明12,n r 线性无关。郑州航空工业管理学院 2007 2008 学年第 一 学期 课程考试试卷A卷 一、填空题此题总计 20 分，每题 2 分 1.排列 6573412 的逆序数是 ()f x 21112xxxxx中3x的系数是 3设三阶方阵 A 的行列式3A,则*1()A=4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 5设向量(1,2,1)T，=22正交，则 6三阶方阵 A 的特征值为 1，1，2，则A 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-4-7.设1121021003A，则_A.8.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ 9设 A 为 n 阶方阵，且A2 则1*1()3AA 10已知20022311Ax相似于12By，则x ，y 二、选择题此题总计 10 分，每题 2 分 1.设 n 阶矩阵 A的行列式等于D，则A5等于 (A)(5)nD (B)-5D (C)5D (D)1(5)nD 2.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A)矩阵A有n个线性无关的特征向量 (B)矩阵A有n个特征值 (C)矩阵A的行列式0A (D)矩阵A的特征方程没有重根 3A 为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是 (A)(,)R A bm (B)()R Am (C)()(,)R AR A bn (D)()(,)R AR A bn 4.设向量组 A能由向量组 B线性表示，则()(A)()(ARBR (B)()(ARBR(C)()(ARBR (D)()(ARBR 5.向量组12,s 线性相关且秩为 r，则 (A)rs (B)rs (C)rs (D)sr 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-5-三、计算题此题总计 60 分，每题 10 分 1.计算 n 阶行列式:22221D 22222 22322 21222n n2222.2已知矩阵方程AXAX，求矩阵X,其中220213010A.3.设n阶方阵A满足0422EAA,证明3AE可逆，并求1(3)AE.4求以下非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234xxxxxxxxxxxxxxx 5求以下向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示 123421234,1,3,5.2012 6已知二次型：323121232221321844552),(xxxxxxxxxxxxf，用正交变换化),(321xxxf为标准形，并求出其正交变换矩阵 Q 四、证明题此题总计 10 分，每题 10 分 设11ba,212baa ,12rrbaaa ,且向量组raaa,21线性无关，证明向量组rbbb,21线性无关.零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-6-郑州航空工业管理学院 2006 2007 学年第二学期 课程考试试卷B卷 一、填空题此题总计 20 分，每题 2 分 1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)2nn的逆序数为 2、设 4 阶行列式4abcddacdDbdcaadcb，则11213141AAAA 3、已知1103027002A，则1*A 4、已知 n 阶矩阵 A、B满足ABBA，则1EB 5、假设 A 为nm矩阵，则齐次线性方程组A x0只有零解的充分必要条件是 6、假设 A 为nm矩阵，且()3min,R An m，则齐次线性方程组A x0的基础解系中包含解向量的个数为 7、假设向量123T与向量11T正交，则 8、假设三阶方阵 A 的特征多项式为2(1)(1)AE ，则A 9、设三阶方阵1223A、12B ，已知6A，1B，则AB 10、设向量组123,线性无关，则当常数l满足 时，向量组213213,l 线性无关.二、选择题此题总计 10 分，每题 2 分 1、以下等式正确的选项是()dcbakdkcbka dcbakkdkckbka dcbadcdbca abcddcba 2、4 阶行列式det()ija中的项11334422a a a a和2431 1342a a a a的符号分别为 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-7-正、正 正、负 负、负 负、正 3、设 A 是mn矩阵，C 是 n 阶可逆阵，满足 BAC.假设 A 和 B 的秩分别为Ar和Br，则有()ABrr ABrr ABrr 以上都不正确 4、设 A 是mn矩阵，且()R Amn，则非齐次线性方程组A xb()有无穷多解 有唯一解 无解 无法判断解的情况 5、已知向量组1234,线性无关，则以下线性无关的向量组是 12233441,12233441,12233441,12233441,三、计算题此题总计 60 分，每题 10 分 1 求矩阵1124A的特征值和特征向量 2 计算1n阶行列式 01111110010010001nnnaaDaa 3 已知矩阵010100001A，100001010B，143201120C，且满足AXBC，求矩阵 X.4 求以下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-8-123451234523451234513233226054335xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5 已知矩阵12112112146422463979A，求矩阵 A的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示 6 已知 A 为三阶矩阵，且2A ，求 1*1312AA 四、证明题此题总计 10 分 设向量组12,n 中前1n个向量线性相关，后1n个向量线性无关，试证：11可由向量组231,n 线性表示；2n不能由向量组121,n 线性表示.郑州航空工业管理学院 2007 2008 学年第一学期 课程考试试卷A卷 一、填空题此题总计 16 分，每题 2 分 9、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)nn的逆序数为 10、4 阶行列式4124811111416641525125D 11、已知11 10029002A，*A为 A的伴随矩阵，则1*A 12、已知 n 阶方阵 A和 B满足BAAB，则1EB 13、已知 A 为mn矩阵，且()min,R Arm n，则以 A为系数矩阵的齐次线性方程组A x0的基础解系中包含解向量的个数为 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-9-14、已 知 四 维 列 向 量T31521、T1051102、T11143，且 xxx321523，则x 15、把向量1022T单位化得 16、假设三阶方阵 A 的特征多项式为2()(1)(1)f ，则2AE 二、选择题此题总计 14 分，每题 2 分 5、已知,a b c d kR，则以下等式正确的选项是()dcbakdkcbka dcbakkdkckbka dcbadcdbca abcddcba 6、设 A和 B为 n 阶方阵，以下说法正确的选项是 假设ABAC，则BC 假设0AB，则0A或0B 假设0AB，则0A 或0B 假设0AE，则AE 7、设 A 是mn矩阵，且()R Amn，则非齐次线性方程组A xb()有唯一解 有无穷多解 无解 无法判断解的情况 8、向量组的秩就是向量组的 极大无关组中的向量 线性无关组中的向量 极大无关组中的向量的个数 线性无关组中的向量的个数 9、已知 n 阶方阵 A、B 和 C 满足 ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则1B()11A C AC CA 11CA 10、设 A 为三阶方阵，*A为 A 的伴随矩阵，且41A，则*AA3)4(1 2716 2716 21 21 11、已知 n 元齐次线性方程组A x0的系数矩阵的秩等于 n-3，且123,是A x0的三个线性无关的解向量，则A x0的基础解系可为 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-10-122331,312123,122331,122331,三、计算题此题总计 60 分，1-3 每题 8 分，4-7 每题 9 分 7 计算n阶行列式 nxaaaaxaaDaaxaaaax 8 已知三阶方阵100110111A，求21(2)(4)AEAE 9 已知矩阵121210110A，010210021B，求ABBA.10 求以下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 1212341234522153223xxxxxxxxxx 11 判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)TTT 的线性相关性。12 已知矩阵11222201121102421123A，求矩阵A的秩及列向量组的一个最大无关组.13 已知211020413A，求可逆阵 P，使得1PAP为对角阵.四、证明题此题总计 10 分 设为非齐次线性方程组Axb的一个解，12,r为对应齐次线性方程组的基础解零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-11-系.试证：向量组12,r线性无关。郑州航空工业管理学院 2006 2007 学年第一学期 课程考试试卷A卷 一、填空题此题总计 16 分，每题 2 分 17、排列 7623451 的逆序数是 18、假设122211211aaaa，则160030322211211aaaa 19、设 A 为三阶可逆阵，1230120011A，则*A 20、假设 A 为nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 21、已知五阶行列式1234532011111112140354321D，则4544434241AAAAA 22、假设 n 元齐次线性方程组0Ax 的系数矩阵 A 的秩为 n-1，则其解空间的维数为 23、假设Tk11与T121正交，则k 24、假设矩阵 A 的特征值分别为 1、1、2，则2 AAE 二、选择题此题总计 20 分，每题 2 分 12、假设齐次线性方程组0)1(0)1(0)1(321321321xxxxxxxxx 有非零解，则的范围为()0 3 0且3 0且3 13、设 n 阶矩阵 A 和 B 满足 AB=0，则()零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-12-00BA或 00BA或 0BA 0BA 14、设 A 为三阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵，且21A，则*AA2)3(1()2716 31 31 2716 15、向量组r,21线性相关且秩为 s，则()sr sr rs rs 16、设向量组 A能由向量组 B线性表示，则()()(ARBR )()(ARBR)()(ARBR )()(ARBR 17、假设 A 为三阶方阵，且043,02,02EAEAEA，则A()8 8 34 34 18、假设 n 元非齐次线性方程组bAx 的增广矩阵的秩 nRbA,，则方程组()有唯一解 有无穷多解 无解 无法判断解的情况 19、n 阶方阵 A 的秩nr 的充要条件为()A 有 r 阶子式不等于零 A 的1r阶子式都为零 A 的任一个 r 阶子式都不等于零 A 的任1r个列向量线性相关，而有 r 个列向量线性无关 20、设非齐次线性方程组bAx 有两个不同的解为21,，则以下向量是方程组的解是()21 21 213132 Rkkkk212211,其中 21、已知n阶方阵A、B 和C 满足ABC=E，其中E 为n阶单位矩阵，则 1B()11CA AC 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-13-CA 11AC 三、计算题此题总计 56 分，5、6 每题 10 分，其他每题 9 分 14 已知矩阵11111111 1 A，121111001B，求2ABA及TB A.15 求 n 阶行列式的值 abbbbabbbbabbbbaD 16 求矩阵的逆 343122321A 17 求以下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 433546622033225432154315432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 18 已知向量组T32011、T53112、T13113、T94214、T52115，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示 19 求矩阵201034011A的特征值和特征向量 四、证明题此题总计 8 分 已知向量组321,，4321,，5321,，如果各向量组的秩分别为 3、3、4证明：向量组45321,的秩为 4 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-14-郑州航空工业管理学院 2006 2007 学年第一学期 课程考试试卷B卷 一、填空题此题总计 20 分，每题 2 分 25、排列 7546312 的逆序数是 26、322211211aaaa，则150044022122111aaaa 27、设 A 为四阶矩阵，1000230031202121A，则*A 28、已知 n 阶方阵 A、B 和 C 满足 ABC E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 1A 29、假设 A 为nm矩阵，则非齐次线性方程组bAx 有无穷个解的充要条件是 30、已 知 四 维 列 向 量T31521、T1051102、T11143，且 xxx321523，则x 31、假设 n 元齐次线性方程组0Ax 的系数矩阵的秩为5n，则其解空间的维数为 32、已知向量T0212，则 33、假设T321与Tk11正交，则k 34、假设矩阵 A 的特征值分别为 1、2、3，则EAA722 二、选择题此题总计 20 分，每题 2 分 22、假设齐次线性方程组0200321321321xbxxxbxxxxax 有非零解，则 1a 01ba且 1a 01ba或 23、设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 D，则A5 D5 D5 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-15-Dn)5(Dn 1)5(24、以下等式正确的选项是 dcbakdkcbka dcbakkdkckbka dcbadcdbca abcddcba 25、设向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则)()(ARBR )()(ARBR)()(ARBR )()(ARBR 26、矩阵 A、B、C 满足 CAB，则 A)()(CARR )()(CBRR)()(CARR且)()(CBRR )()(ACRR且)()(BCRR 27、设 A 为三阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵，且41A，则*AA3)4(1 2716 2716 21 21 28、设非齐次线性方程组bAx 有两个不同的解为21,，则以下向量是方程组的解是 21 2123 215252 Rkkkk212211,其中 29、假设 n 元非齐次线性方程组bAx 的增广矩阵的秩 nRbA,，则方程组 有唯一解 有无穷多解 无解 无法判断解的情况 30、n 阶方阵 A 的元素全为 n，则 A 的秩为 0 1 1n n 31、假设 A 为三阶方阵，且043,02,02EAEAEA，则A 8 8 34 34 零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?-16-三、计算题此题总计 50 分，每题 10 分 20 计算 n 阶行列式 nDn222232222222221 21 求矩阵 A 的逆 121213421A 22 求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系及原方程组的通解 5327583313432143214321xxxxxxxxxxxx 23 已知向量组T40111、T65122、T02113、T147034、T103145，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示 24 求矩阵124042011A的特征值和特征向量 四、证明题此题总计 10 分 已知矩阵nmA和mnB满足 AB=E，其中 E 为 m阶单位矩阵，且nm，证明：A 的行向量组和 B 的列向量组都线性无关.零解的充分必要条件是设为三阶可逆阵矩则齐次线性方程组解的向量模范数与正交二选分择题此次线性方总计每和三程组解的以下说法三的确项或算性行列式向量二选条必分择伴随计基础每和三为线量条必性方系通每和求一个要最大下说法分无或算关并把其余用个要该件次线性方列数表示程组?模范数与正交?设三?三条必?必每和?