2023年北师大版八年级数学上册第二章实数知识点归纳总结及习题2.pdf
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)1北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)的全部内容。北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)2实数知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a,那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当时，我们称 x 是 a 的平方根，记做：。因此：)0(2 aax)0(aax1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a0 时，也就是 a 为正数时,它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.ax3、当 a0 时,也即 a 为负数时,它不存在平方根。例 1。(1）的平方是 64,所以 64 的平方根是 ；（2）的平方根是它本身.（3)若的平方根是2，则 x=；的平方根是 x16（4）当 x 时，有意义。x23(5）一个正数的平方根分别是m和 m-4,则 m的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，ax 2记为：“”，读作，“根号 a，其中，a 称为被开方数。特别规定:0 的算术平方根a仍然为 0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。)0(0 aa3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根.因此,算术平方根只有一个值，并且是非负数,它只表示为:；而平方a根具有两个互为相反数的值，表示为：.a例 2.(1）下列说法正确的是 （)A 1 的立方根是；B；（C）、的平方根是；（D）、0124813没有平方根；（2)下列各式正确的是（）A、B、C、D、98114.314.33927235（3）的算术平方根是 。2)3(（4）若有意义,则_。xx 1x北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)3（5）已知ABC的三边分别是且满足，求 c 的取值范围.,cbaba,0)4(32ba（7)如果 x、y 分别是 4的整数部分和小数部分。求 x y 的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64；12149；0。0004；(25)2；11。1.44，0,8，49100，441，196，104（9)(64)2等于多少？（12149）2等于多少？(10）（2.7）2等于多少？(11）对于正数a，（a)2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。知识点三、【开平方性质】(1)94=_，94=_；(2)（2)916=_,916=_；(3)94=_，94=_；(4)(4）2516_，2516=_.知识点四、【立方根】:1、如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根.记做：，读作,33a次根号 a。注意：这里的 3 表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)4例 3。（1）64 的立方根是 （2）若,则 b 等于（）9.28,89.233abaA。1000000 B.1000 C。10 D。10000(3）下列说法中：都是 27 的立方根，的立方根是 2，.3yy33644832其中正确的有 （)A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件.在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如:2-，3等；(2）开方开不尽的数，如：等;（3）特殊结构39,5,2的数：如：2。010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0)等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如:92、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3。141、0。33333、0。75 252.323030003000003（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有；是无理数的有.（填序号）（2）有五个数:0.125125，0.1010010001,其中无理数有()个432A 2 B 3 C 4 D 5 知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1,最小的正整数是 1.2、实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是（a0）；实数 a 的绝对值a|=a1，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。)0()0(aaaa北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)53、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数,绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小.（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）.对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小.4、实数的运算：在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例 5.（1）下列说法正确的是（）;A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。2(2)a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、B、C、D、ba abba ab（3）如右图所示的数轴上，点 B与点 C关于点 A对称，A、B两点对应的实数是和1，则3点 C所对应的实数是(）A。1+B.2+C。2-1 D.2+13333（4）实数、在轴上的位置如图所示，且,则化简的结果为（）abba baa2A B。C。D.ba 2ba 2bba 2（5）比较大小（填“或“）。3 ，10332076_67215 21（6）将下列各数:，用“”连接起来；51,3,8,23_。（7）若，且，则：=。2,3ba0abba a0baob北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)6（8）计算：32278115.041323811613125.0（9)已知:,求代数式的值。064.01,121732yx3245102yyxx基础练习一一、选择题1。下列数中是无理数的是（）A。0。12 B。C.0 D.3227222.下列说法中正确的是（)A。不循环小数是无理数 B。分数不是有理数 C。有理数都是有限小数 D.3.1415926北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)7是有理数3.下列语句正确的是（）A。3.78788788878888 是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数C。无限小数不能化成分数 D。无限不循环小数是无理数4。在直角ABC中，C=90，AC=，BC=2，则AB为（）23A.整数 B。分数 C。无理数 D.不能确定5。面积为 6 的长方形，长是宽的 2 倍，则宽为(）A.小数B。分数C.无理数 D。不能确定 6。的化简结果是（）A。2 B。2 C.2或2 D。42)2(7.9的算术平方根是（）A。3 B.3 C.D.33 8。(11)2的平方根是 A.121 B。11 C.11 D.没有平方根9.下列式子中,正确的是(）A。B。=0.6 C.=13D.=6556.32)13(3610.72的算术平方根是（)A。B。7 C。7141D。411。16 的平方根是(）A。4 B.24 C.D.2212.一个数的算术平方根为a，比这个数大 2 的数是()A.a+2 B.2 C.+2 D。a2+2aa13.下列说法正确的是（）A。2 是4 的平方根 B。2 是（2）2的算术平方根 C。（2)2的平方根是 2 D。8 的平方根是 414.的平方根是（）A。4 B。4 C。4 D。216北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)815。的值是(）A.7 B.1 C.1 D。169 716.下列各数中没有平方根的数是（）A。（2)3 B.33 C。a0 D。（a2+1）17。等于（）A.a B。a C。a 2aD.以上答案都不对18.如果a（a0）的平方根是m，那么（）A。a2=m B.a=m2 C。=m D。=maa19。若正方形的边长是a,面积为S，那么（）A。S的平方根是a B.a是S的算术平方根 C.a=D.S=Sa二、填空题1。在0.351，,4。969696,6.751755175551，0，5。2333,5.411010010001中，无理数的32个数有_。2._小数或_ 小数是有理数，_ 小数是无理数.3.x2=8，则x_ 分数，_ 整数,_ 有理数。(填“是”或“不是）4.面积为 3 的正方形的边长 _ 有理数；面积为 4 的正方形的边长 _ 有理数.（填“是”或“不是）5。的平方根是_；6.()2的算术平方根是121441_；7。一个正数的平方根是 2a1 与a+2，则a=_,这个正数是 _；8。的算术平方根是_；9.9 2的算术平方根是25_；10。的值等于_，的平方根为_;11.(4）2的平方根是_,算术44北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)9平方根是_.三。判断题 1.0.01 是 0.1 的平方根。()2.52的平方根为5。（)3。0 和负数没有平方根。(）4。因为的平方根是，所以=。（）1614116141 5。正数的平方根有两个，它们是互为相反数.(）四、解答题 1。已知：在数,，3。1416,，0,42，(1)2n，1。424224222中，4324.132（1）写出所有有理数;（2）写出所有无理数；2。要切一块面积为 36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a+3 与 2a15,求这个数。北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)10 分母有理化1分母有理化定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化。2有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分aaaaa与abab与ba ba 别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，abababab与分别互为有理化因式。axbyaxby与例题:找出下列各式的有理化因式 3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式;(2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式.例题：把下列各式分母有理化 31312(2)353 55 3(4)5 33 5例题：把下列各式分母有理化:（1)（3）(4）abab(2)abab122aa 2222babbab【练习】1找出下列各式的有理化因式 (3)aa b(4)23 5a2把下列各式分母有理化 2151 5272(5)ab(1)12(2)52(3)710(4)3 2622(6)()axaxa2(3)5 237 57(4)5 752(5)2xyxy(1)52 26326(2)2 38 11北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)113计算 233212323 1322322553 4比较大小与 2211(3)23232(4)xyxyxyxyxy 175153 5。把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：(1）；（2)；(3）；（4);（5）；6275214ba23326。计算:(1);（2）；(3）;（4)；（5）499813420225.016.032436.06401.0；（6）；100276412125xy北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)121.计算（1）;(2）;（3）；(4)553155)534(3)53()5614(；211321214621专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数,初中主要学习了四类：含的数，如：等，开方开不尽的12,2 数，如等；特定结构的数,例 0。010 010 001 等；某些三角函数,如 sin60 ,cos45 等。32,6判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。0,16例1下面几个数：0.23 ,1.010010001，,3，其中，无理数的个数有(）A、1 B、2 C、3 D、4例 2。(2010 年浙江省东阳县）73是 A无理数 B 有理数 C整数 D 负数 举一反三：1.在实数中，0，3.14，中无理数有()34 A 1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个2、平方根、算术平方根、立方根的概念北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)13若 a0,则a的平方根是，a的算术平方根；若 a0,则a没有平方根和算术平方根；aa若a为任意实数，则a的立方根是。3a【例 1】的平方根是_16【例 2】Error!的平方根是_【例 3】下列各式属于最简二次根式的是（）A 225x+1 B.x y C.12 D.0.5【例 4】(2010 山东德州）下列计算正确的是（A)（B）020331（C)93（D）235 【例 5】（2010 年四川省眉山市)计算的结果是2(3)A3 B C D 933举一反三：1.下列说法中正确的是（）A、的平方根是3 B、1 的立方根是1 C、=1 D、是 5 的平方根的相反数2.1。25 的算术平方根是_；平方根是_。27 立方根是_。_，_,_.类型二计算类型题1.估算、比较大小 正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小,常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)14例 1设,则下列结论正确的是（）A.B.C.D。解析：例 2。(2010 年浙江省金华）在-3，1，0 这四个实数中，最大的是（）3A.-3 B.C。1 D。032.二次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义(，运算时注意各项的符号，灵活运用011(0),(0,)ppaaaapa是整数运算法则，细心计算。例 1、计算所得结果是_321a+aa例 2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式,再求值:a+21-2a+a其中 a=9 时”，得出了不同的答案，小明的解答:原式=a+=a+(1 a)=1，小芳的解21-2a+a答：原式=a+（a1)=2a 1=291=17_是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：_例 3、计算：（1）（3 （2）222 3)(3 2+2 3)20012002(2-3)(2+3)例 4、二次根式1a中，字母a 的取值范围是（）A Ba1 Ca1 D1a 1a 举一反三:1.求下列各式中的北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)15（1）（2）（3）类型三数形结合 例 1。点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_举一反三:1。如图，数轴上表示 1,的对应点分别为 A,B，点 B关于点 A的对称点为 C，则点 C表示的数是（）A1 B1 C2 D22。已知实数、在数轴上的位置如图所示：化简 3。如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A表示的数是（)A、1 B、1.4 C、D、类型四实数绝对值的应用例 4化简下列各式:(1）|-1.4(2)-3。142（3）|（4）|x x3|（x3)（5)|x2+6x+10|举一反三：北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)16【变式 1】化简：类型五实数非负性的应用若a为实数，则均为非负数。2,|,(0)aaa a 非负数的性质:几个非负数的和等于 0,则每个非负数都等于 0。例 5已知:=0，求实数 a，b 的值。举一反三：1.已知（x-2）2+y-4+=0，求 xyz 的值6z 2、已知(x-6)2+|y+2z=0，求（xy)3-z3的值.3、已知那么 a+bc 的值为_类型六实数应用题例 6有一个边长为 11cm的正方形和一个长为 13cm,宽为 8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。基础训练二一、选择题1下列各式中正确的是（)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)17 A B.C.D。2.的平方根是(）A 4 B。C.2 D。3。下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数-2是 4 的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（）A 3 个 B。2 个 C。1 个 D。0 个4和数轴上的点一一对应的是（）A 整数 B。有理数 C.无理数 D.实数5对于来说（)A 有平方根 B只有算术平方根 C。没有平方根 D。不能确定6在(两个“1之间依次多 1 个“0”)中，无理数 的个数有(）A 3 个 B.4个 C。5 个 D.6个7面积为 11 的正方形边长为 x，则 x 的范围是（）A B.C。D。8下列各组数中，互为相反数的是(）A 2 与 B.-与 C。与 D.与北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)189-8 的立方根与 4 的平方根之和是(）A 0 B.4 C.0或-4 D.0或 410已知一个自然数的算术平方根是 a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A B.C.D.二、填空题11的相反数是_,绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_,=_。13_的平方根等于它本身,_ 的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是 8，那么 x 的立方根是_。15填入两个和为 6 的无理数，使等式成立：_+_=6。16大于,小于的整数有_个.17若2a5与互为相反数，则 a=_，b=_。18若a=6，=3，且 ab0，则 ab=_。19数轴上点 A,点 B分别表示实数则 A、B两点间的距离为_.20一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4,则 a=_,x=_。三、解答题21计算 +北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)19 4 9+2(）（结果保留 3 个有效数字）22在数轴上表示下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一：1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二:11、，-3 12、3，13、0；0，；0，114、15、答案不唯一 如：16、5 17、18、15 19、2 20、1，9三：21、-17 9 2 36 37.922、北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)20基础练习三一、选择题1.大于2，且不大于 3的整数的个数是（)52A.9 B.8 C.7 D。52.下列几种说法：（1)无理数都是无限小数;(2）带根号的数是无理数；(3）实数分为正实数和负实数；（4）无理数包括正无理数、零和负无理数.其中正确的有（）A.（1）（2）（3）(4）B.（2）（3）C.（1）（4）D。只有（1)3。要使=3x，则 x 的取值范围 ()33)3(x A。x3 B.x3 C.0 x3 D。任意数4.下列四个命题中，正确的是（)A。数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 B.数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数C.两个无理数之和一定是无理数 D。数轴上任意两个点之间还有无数个点5。若 a 为正数，则有（)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)21 A。a B.a=C。a D。a 与的关系不确定aaaa6.不是（）22A.分数 B。小数 C。无理数 D.实数7。下列说法正确的是（）A。无限小数都是无理数 B.无理小数是无限小数C.无理数的平方是无理数 D.无理数的平方不是整数8。下列等式正确的是（）A B C D43169311971393313129。实数 a 在数轴上的位置如图 262，则 a，-a，的大小关系是（）.1a2aA。B。C。D.21aaaa-21aaaa-21aaaa-21aaaa0，且 yx|，用”连结 x,x，y，y.10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11（2011 广东茂名，9，3 分）对于实数、，给出以下三个判断：ab 若,则 ba ba 北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)26若，则 ba ba 若，则 其中正确的判断的个数是（）ba22)(baA3 B2 C1 D012若的值在两个整数 a 与 a+1 之间,则 a=513。数轴上作出表示,Error!，的点.四独立训练:1 0的相反数是，3的相反数是,的相反数是;的绝对值是，0的绝对值是，Error!的倒数是2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是。A表示的数是Error!，且 AB Error!,则点 B表示的数是.3，,(1），Error!，01313，2cos60，31，1101001000 2(两 1 之间依次多一个 0）,中无理数有 ，整数有 ，负数有 。4。若 a 的相反数是27，则a|；5若|a ，则 a=5若实数x，y 满足等式（x3)2|4 y0,则 xy 的值是 6实数可分为（）(A）正数和零（B）有理数和无理数(C）负数和零（D)正数和负数*7若 2a 与 1a 互为相反数，则a 等于（)（A）1 （B）1 （C)Error!（D)8当 a 为实数时,=a 在数轴上对应的点在(）a2（A）原点右侧（B）原点左侧(C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧*9代数式 Error!Error!的所有可能的值有（）（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1)比较 ab 与 a+b 的大小（2）化简ba+a+b北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题(2)(word版可编辑修改)2711实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）292|0。求它的周长。13若 3，5 为三角形三边，化简:
