2023年近世代数期末考试试卷及超详细解析超详细解析超详细解析答案.pdf

一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则 G的子集（）是子群。A、a B、ea,C、3,ae D、3,aae 2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集 N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（）A、12 B、12 C、22 D、21 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则4a的阶等于-。4、a 的阶若是一个有限整数 n，那么 G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫 做 域F的 一 个 代 数 元，如 果 存 在F的-naaa,10使 得010nnaaa。8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 R对于加法来作成一个循环群，则 P是-。三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G是 A上的置换群，H是 G的子群，H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。2、设 E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是 E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),a,b 和 p,q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的 a、bG，必有惟一的 xG使得 a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当m ab。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 近世代数模拟试题三 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2 阶 B、3 阶 C、4 阶 D、6 阶 2、设 G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数 B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（2,3,4,6,12,|（整除关系）D、(P(A),)5、设 S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在 S3 中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3 中的所有元素 二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则 aff1-。3、区间1，2 上的运算,minbaba的单位元是-。4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R中所有非零元的共同的加法阶数称为 R的-。9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为-。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有 5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A的子环，则 S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1求和 1；2确定置换和 1的奇偶性。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环 R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 近世代数模拟试题一 参考答案 一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I 或 S=R；9、域；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2、解：设 A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则 B是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于 0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。3、答：（mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G 中任意元 x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个 x，从ex 2可得1xx）。2、证明在 F里)0,(11bRbabaabab 有意义，作 F的子集)0,(bRbabaQ所有 Q显然是 R的一个商域 证毕。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 近世代数模拟试题二 参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群；5、2；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解：H的 3 个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(1 3)，(1 3 2)，(2 3)H的 3 个左陪集为：I,(1 2)，(1 2 3)，(2 3)，(1 3 2)，(1 3)2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3102+85 102=185+17 由此得到(a,b)=17,a,b=ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4 102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4,q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a 1*b)(a*a 1)*b e*bb。所以，xa1*b 是 a*xb 的解。若x G也是a*xb的解，则x e*x(a 1*a)*x a1*(a*x )a1*bx。所以，xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为a=xZ；m xa或者也可记为a，称之为模 m剩余类。若 m ab 也记为 ab(m)。当 m=2时，Z2 仅含 2 个元：0 与1。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 近世代数模拟试题三 参考答案 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共 8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意 a,b S1S2 有 a-b,ab S1S2：因为 S1，S2 是 A的子环，故 a-b,ab S1 和 a-b,ab S2，因而 a-b,ab S1S2，所以 S1S2 是子环。S1+S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1)56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R的一个理想而不是零理想，那么 a0，由理想的定整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有 义11aa，因而 R的任意元1bb 这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以 b=a-1。整数集合为加法为偶数集合为加法为有理数集合为加法为有理数集合为乘法在自然数集上下列哪种运算是可结合的设小题每空分共分请在每小题的空格中填上正确答案错填不填均无分凯莱定理说任一个子群都同一个同构一个有单位元又是满射则称为叫做域的一个代数元如果存在的使得是代数系统的元素对任何均成立则称为有限群的另一定义一个有