2023年概率论and数理统计知识全面汇总归纳(最详细).pdf

学习必备 欢迎下载 第一章随机事件及其概率 1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2 概率 古典概型公式：P（A）=所含样本点数所含样本点数A 实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例 1：将 n 个球随机地放到 n 个盒中去，问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？解：设 A：“每个盒子恰有 1 个球”。求：P(A)=？所含样本点数：nnnnn.所含样本点数：!1.)2()1(nnnn nnnAP!)(补例 2：将 3 封信随机地放入 4 个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为 1、2、3 的概率各是多少？解：设 Ai：“信箱中信的最大封数为 i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=？所含样本点数：6444443 A1所含样本点数：24234 836424)(1AP A2所含样本点数：363423C 1696436)(2AP 学习必备 欢迎下载 A3所含样本点数：4433C 161644)(3AP 注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）1 2、P()=1，P()=0 1.3 概率的加法法则 定理：设 A、B 是互不相容事件（AB=），则：P（AB）=P（A）+P（B）推论 1：设 A1、A2、An 互不相容，则 P(A1+A2+.+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)推论 2：设 A1、A2、An 构成完备事件组，则 P(A1+A2+.+An)=1 推论 3：P（A）=1P（A）推论 4：若 BA，则 P(BA)=P(B)P(A)推论 5（广义加法公式）：对任意两个事件 A 与 B，有 P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)补充对偶律：nnAAAAAA.2121 nnAAAAAA.2121 1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式：个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 P(A/B)=)()(BPABP（P(B)0）P(B/A)=)()(APABP（P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）有时须与 P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的 P（AB）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：niiiABPAPBP1)/()()(逆概率公式：)()()/(BPBAPBAPii ),.,2,1(ni （注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 独立试验概型 事件的独立性：)()()(BPAPABPBA相互独立与 贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）：课本 P24 另两个解题中常用的结论 1、定理：有四对事件：A 与 B、A 与B、A与 B、A与B，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 2、公式：).(1).(2121nnAAAPAAAP 第二章 随机变量及其分布 一、关于离散型随机变量的分布问题 1、求分布列：确定各种事件，记为写成一行；计算各种事件概率，记为 p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质 1、0kp（非负性）2、1kkp（可加性和规范性）补例 1：将一颗骰子连掷 2 次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率分布。解：所含样本点数：66=36 所求分布列为：补例 2：一袋中有 5 只乒乓球，编号 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以表示取出 3 只球中最大号码，试写出的概率分布。解：所含样本点数：35C=10 所求分布列为：2、求分布函数 F(x)：分布函数 pk 6/10 3/10 1/10 p k 5 4 3 个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 xxkkpxPxF)(二、关于连续型随机变量的分布问题：xR，如果随机变量的分布函数 F（x）可写成 F（x）=xdxx)(，则为连续型。)(x称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：0)(x 1)(dxx badxxaFbFbaPbaP)()()(第三章 随机变量数字特征 一、求离散型随机变量的数学期望 E=？数学期望（均值）kkkpxE二、设为随机变量，f(x)是普通实函数，则=f()也是随机变量，求 E=?x1 x2 xk pk p1 p2 pk=f()y1 y2 yk 以上计算只要求这种离散型的。补例 1：设的概率分布为：1 0 1 2 25 个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 pk 51 101 101 103 103 求：1，2的概率分布；E。解：因为 1 0 1 2 25 pk 51 101 101 103 103=2 1 0 1 23=1 0 1 4 425 所以，所求分布列为：=2 1 0 1 23 pk 51 101 101 103 103 和：=1 0 1 4 425 pk 51 101 101 103 103 当=1 时，E=E（1）=251+(1)101+0101+1103+23103=1/4 当=时，E=E=151+0101+1101+4103+425103=27/8 三、求或的方差 D=？D=？实用公式D=2E2E 个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 其中，2E=2)(E=2)(kkkpx 2E=kkkpx2 补例 2：2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求：E 和 D 解：E=20.4+00.3+20.3=0.2 E2=（2）20.4+020.3+220.3=2.8 D=E22E=2.8（0.2）2=2.76 第四章 几种重要的分布 常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称 概率分布或密度 期望 方差 参数 范围 二项分布 n p n p q 0P0 泊松不要求 0 2),.,2,1,0(nkqpCkPknkkn.).(,21)(222)(为常数，xexx个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 分布 指数分布 不要求 0 解题中经常需要运用的 E 和 D 的性质（同志们解题必备速查表）E 的性质 D 的性质 第八章 参数估计 8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）121ccE)(0)(cDEEE)(DDD)(独立，则、若EEE)(独立，则、若EccE)(DccD2)(个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 若总体参数的估计量为，如果对任给的0，有 1limPn，则称是的一致估计；如果满足)(E，则称是的无偏估计；如果1和2均是的无偏估计，若)()(21DD，则称1是比2有效的估计量。8.3 区间估计：几个术语 1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量).(11n，x，x及).(12n，x，x，对于给定的（01）满足：1).().(1211nn，x，x，x，xP 则称随机区间（1，2）是的 100（1）的置信区间，1和2称为的100（1）的置信下、上限，百分数 100（1）称为置信度。一、求总体期望（均值）E 的置信区间 1、总体方差2已知的类型 据，得)(0U12，反查表（课本 P260 表）得临界值U；x=niixn11 求 d=nU 置信区间（x-d，x+d）补简例：设总体)09.0,(NX随机取 4 个样本其观测值为 12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值的 95%的置信区间。解：1=0.95，=0.05（U）=12=0.975，反查表得：U=1.96 4113)2.138.124.136.12(4141iiXX 个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载=0.3，n=4 d=nU=43.096.1=0.29 所以，总体均值的=0.05 的置信区间为：（Xd，Xd）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、总体方差2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 P262 表）得)1(nt；确定x=niixn11和niixxns122)(11 求 d=nsnt)1(置信区间（x-d，x+d）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差2的置信区间 据和自由度 n1（n 为样本数），查表得临界值：)1(22n和)1(221n 确定X=niixn11和niixXns122)(11 上限)1()1(2212nsn 下限)1()1(222nsn 置信区间（下限，上限）典型例题：补例 1：课本 P166 之 16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对 10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0.04）。个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 解：=0.04，又 n=10，自由度 n1=9 查表得，)1(22n=)9(202.0=19.7)1(221n=)9(298.0=2.53 X=101101iix=)469.493482(101=457.5 10122)(91iixXs=912)4825.457(+2)4935.457(+2)4695.457(=1240.28 上限)1()1(2212nsn=)9(9298.02s=53.228.12409=4412.06 下限)1()1(222nsn=)9(9202.02s=7.1928.12409=566.63 所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）第九章 假设检验 必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路：1、提出待检假设 H0 2、选择统计量 3、据检验水平，确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断 检验类型：未知方差2，检验总体期望(均值)根据题设条件，提出H0:=0(0已知)；个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 选择统计量)1(/ntnsXT；据和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 P262 表）得)1(nt；由样本值算出X？和s？从而得到nsXT/0；作出判断 0000)1()1(H，ntTH，ntT则拒绝若则接受若 典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查 5 个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤/寸2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解：H0:=549 选择统计量)1(/ntnsXT=0.05，n1=4，查表得：)4(05.0t=2.776 又X=)545.545(51=543 s2=)545543(.)545545(4122=57.5 nsXT/0=5/5.57549543=1.772.776 接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差2 根据题设条件，提出 H0:=0(0已知)；个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 选择统计量222)1()1(snn；据和自由度 n1（n 为样本容量），查表（课本 P264 表）得临界值：)1(212n和)1(22n；由样本值算出X？和s？从而得到2220)1()1(snn；若)1(212n)1(20n)1(22n则接受假设，否则拒绝!补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差2=64，今从一批产品中抽 10 根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。是否可相信这批铜丝折断力的方差也是 64？（=0.05）解：H0:=64 选择统计量222)1()1(snn=0.05，n1=9，查表得：)1(212n=)9(975.02=2.7)1(22n=)9(025.02=19 又X=)570.578(101=575.2 s2=)5702.575(.)5782.575(9122=75.73 65.106473.759)1(20n)9(975.02=2.765.10)1(20n)9(025.02=19 个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是 64。个球随机地放到个盒中去问每个盒子恰有个球的概率是多少解设每个盒样本点数所含样本点数所含样本点数学习必备欢迎下载所含样本点数注件与有补充对偶律条件概率与乘法法则条件概率公式学习必备欢迎下载