2023年概率论与数理统计精品讲义.pdf

上课时间 第一周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 概率论根本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 根本概念的掌握与理解 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性就是我们所说的统计规律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。1.1 随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验：可以在相同的条件下重复地进行。每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2 样本空间、随机事件 1样本空间 我们将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S。样本空间的元素即 E 的每个结果，称为样本点。2随机事件 我们称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集称为根本领件。样本空间 S 包含所有的样本点，它是 S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。3事件间的关系与事件的运算 设试验 E 的样本空间为 S，而 A，B，Akk=1，2，是 S 的子集：假设BA，那么称事件 B 包含事件 A，这指的是事件 A 发生必导致事件 B 发生。假设BA且AB，即 A=B，那么称事件 A与事件 B 相等。事件|BxAxxBA 称为事件 A 与事件 B 的和事件。当且仅当 A，B 中至少有一个发生时，事件BA发生。事件|BxAxxBA 称为事件 A 与事件 B 的积事件。当且仅当 A，B 同时发生时，事件BA发生。BA也记作 AB。事件|-BxAxxBA且称为事件 A 与事件 B 的差事件。当且仅当 A 发生，B 不发生时事件 A-B发生。假设BA，那么称事件 A 与 B 是互不相容的，或互斥的。根本领件是两两互不相容的。假设BASBA，那么称事件 A与事件B 互为逆事件。又称事件 A 与事件B 互为对立事件。A 的对立事件记为A。ASA。设 A，B，C 为事件，那么有：交换律：ABBAABBA 结合律：CBACBACBACBA)()()()(分配率：)()()()()()(CABACBACABACBA 摩根率：BABABABA 1.3 频率与概率 1频率 定义：在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA称为事件 A 发生的频数。比值 nA/n 称为事件A 发生的频率，并记为 fn(A)。频率具有如下根本性质：0fn(A)1 fn(S)=1 假设 A1，A2，Ak是两两互不相容的事 件，那 么fn(A1 A2 Ak)=fn(A1)+fn(A2)+fn(Ak)。2概率 定义：设 E 是随机试验，S 是它的样本空间。对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件 A 的概率，如果集合函数P()满足以下条件：非负性：对于每一个事件 A，有 P(A)0。标准性：对于必然事件 S，有 P(S)=1。可列可加性：设 A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于 AiAj=，ij，i，j=1，2，有 P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+概率的性质：性质 1：0)(P 性质 2有限可加性：假设 A1，A2，An是两两互不相容的事件，那么有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)。性质 3：设 A，B 是两个事件，假设BA，那么有 P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)P(A)。性质 4：对于任一事件 A，P(A)1。性质 5逆事件的概率：对于任一事件 A，有)(1)(APAP。性质 6加法公式：对于任意两个事件 A，B 有)()()()(ABPBPAPBAP。1.4 等可能概型古典概型 具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个根本领件发生的可能性相同。假设事件 A 包含 k 个根本领件，即 A=ei1ei2eik，其中 i1，i2，ik 是1，2，n 中某 k 个不同的数，那么等可能概型中事件 A 的概率计算公式为：kjiAnkePAP1jS)()(中基本事件的总数包含的基本事件数 超几何分布的概率公式为：nNkDk-nD-N 实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的根本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间 第二周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 条件概率与独立性 教学目的 使学生了解条件概率与独立性的根本概念及其应用 教学方法 讲授 重点、难点 全概率公式与贝叶斯公式 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.5 条件概率 1条件概率 定义：设 A，B 是两个事件，且 P(A)0，称)()()|(APABPABP为在事件A发生的条件下事件 B 发生的条件概率。条件概率 P(|A)满足：非负性：对于每一事件 B，有 P(B|A)0。标准性：对于必然事件 S，有 P(S|A)=1。可列可加性：设 B1，B2，是两两互不相容的事件，那么有11)|()|(iiiiABPABP 概率的性质都适用于条件概率。2乘法定理 乘法定理：设 P(A)0，那么有 P(AB)=P(B|A)P(A)乘法公式 一般地，设 A1，A2，An为 n 个事件，n2，且 P(A1A2An)0，那么有 P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)P(A2|A1)P(A1)3全概率公式和贝叶斯公式 定义：设 S 为试验 E 的样本空间，B1，B2，Bn为 E 的一组事件，假设 BiBj=，ij，i，j=1,2，n S21nBBB 那么称 B1，B2，Bn是样本空间 S 的一个划分。假设 B1，B2，Bn是样本空间 S 的一个划分，那么对每次试验，事件 B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E的事件，B1，B2，Bn为 S 的一个划分，且 P(Bi)0i=1，2，n)，那么 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)全概率公式 定理：设试验 E 的样本空间为 S，A 为 E的事件，B1，B2，Bn为 S 的一个划分，且 P(A)0，P(Bi)0i=1，2，n)，那么 njjniiiiBPBAPBPBAPAPABPABP1)()|()()|()()()|(贝叶斯(Bayes)公式 1.6 独立性 定义：设 A，B 是两事件，假设满足等式 P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件 A，B 相互独立，简称 A，B 独立。定理：设 A，B 是两事件，且 P(A)0。假设 A，B 相互独立，那么 P(B|A)=P(B)，反之亦然。定理：假设事件 A 与 B 相互独立，那么以下各式也相互独立：A 与B，A与 B，A与B。定义：设 A，B，C 是三个事件，假设满足等式 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，那么称事件 A，B，C 相互独立。一般地，设 A1，A2，An是 nn2个事件，假设对于其中任意 2 个，任意 3个，任意 n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，那么称事件 A1，A2，An相互独立。推论：假设事件 A1，A2，Ann2相互独立，那么其中任意 k2kn个事件也是相互独立的。假设 n 个事件 A1，A2，Ann2相互独立，那么将 A1，A2，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间 第三周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 概率论根本概念习题解析 教学目的 使学生稳固概率论根本概念所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.一俱乐部有 5 名一年级学生，2 名二年级学生，3 名三年级学生，2 名四年级学生。1在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。2在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：1共有 5+2+3+2=12 名学生，在其中任选 4 名共有412=495 种选法，其中每年级各选 1 名的选法有12131215=60 种选法，因此，所求概率为 p=60/495=4/33。2在 12 名学生中任选 5 名的选法共有512=792 种，在每个年级中有一个年级取 2名，而其它 3 个年级各取 1 名的取法共有 12131225+12132215+12231215+22131215=240 种，因此所求概率为 P=240/792=12/33。2.某人忘记了 号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 的概率。假设最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：以 Ai表示事件“第 i 次拨号拨通 ，i=1,2,3，以 A 表示事件“拨号不超过 3 次拨通 ，那么有321211AAAAAAA。因 为321211AAAAAA，两 两 互 不 相 容，且101)(1AP 10110991)()|()(11221APAAPAAP 101)()|()|()(112213321APAAPAAAPAAAP 所以103)()()()(321211AAAPAAPAPAP。当最后一位数是奇数时，所求概率为 P=1/5+1/5+1/5=3/5。3.有两种花籽，发芽率分别为 0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：1这两颗花籽都能发芽的概率。2至少有一颗能发芽的概率。3恰有一颗能发芽的概率。解：以 A，B 分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有 P(A)=0.8，P(B)=0.9。1由 A，B 相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.9=0.72。2至少有一颗花籽能发芽的概率为事件AB 的概率 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72 =0.98 3恰有一颗花籽发芽的概率为事件ABBA 的概率 P(ABBA)=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.26。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生稳固所学概率论根本概念的相关内容，通过本次课的学习，学生对概率论根本概念的相关应用技巧有所提升。上课时间 第四周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数 教学目的 使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数 教学方法 讲授 重点、难点 随机变量及其分布函数 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 2.1 随机变量 定义：设随机试验的样本空间为 S=e。X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数。称 X=X(e)为随机变量。2.2 离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。设离散型随机变量 X 所有可能去的值为 xkk=1,2，X 取各个可能值的概率，即事 件 X=xk 的 概 率 为PX=xk=pk，k=1,2，。离散型随机变量 X 的分布律 由概率的定义，pk满足如下两个条件：pk0，k=1,2，11kkp 1 0-1 分布 设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律是 PX=k=pk(1-p)1-k，k=0,1 0p1，那么称 X 服从以 p 为参数的 0-1 分布或两点分布。2伯努利试验、二项分布 设试验 E 只有两个可能结果：A 及A，那么称 E 为伯努利Bernoulli试验。将 E 独立重复地进行 n 次，那么称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利试验。在 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为knkppkn)1(，记q=1-p，即有knkqpknkXP，k=0,1,2，n。注意到knkqpkn刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现 pk的那一项，我们称随机变量 X服从参数为 n，p 的二项分布，并记为 Xb(n,p)。特 别，当n=1时 二 项 分 布 化 为knkqpkXP，k=0，1 0-1 分布。3泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2，而取各个值的概率为!kekXPk，k=0,1,2，其中0 是常数。那么称 X服从参数为的泊松分布，记为X()。泊松定理：设0 是一个常数，n 是任意正整数，设 npn=，那么对于任一固定的非负整数 k，有：!)1(limkeppknkknnknx。上述定理说明，当 n 很大，p 很小时有以下近似式!)1(keppknkknk其中=np。2.3 随机变量的分布函数 定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 F(x)=PX x，-x称为 X 的分布函数。对于任意实数 x1，x2x1x2，有 Px1Xx2=PX x2-PXx1=F(x2)-F(x1)。分布函数 F(x)具有以下根本性质：F(x)是一个不减函数 0F(x)1，且0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx F(x+0)=F(x)，即 F(x)是右连续的。一般，设离散型随机变量 X 的分布律为PX=xk=pk，k=1,2，。由概率的可列可加性得 X 的分布函数为 xxkkxXPxXPxF)(即xxkkPxF)(。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数的相关内容，学生对重要分布律及分布函数相关内容掌握尚可，但对其应用尚需多加练习。上课时间 第五周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数分布 教学目的 使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容 教学方法 讲授 重点、难点 正态分布 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(X)，存在非负可积函数 f(x)，使对于任意实数 x 有xdttfXF)()(，那么称 X 为连续型随机变量，f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度。概率密度具有以下性质：f(x)0 1)(dxxf 对于任意实数 x1，x2x1x2 21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxP 假设 f(x)在点 x 处连续，那么有 F(x)=f(x)1均匀分布 假设连续型随机变量 X 具有概率密度 其它01)(bxaabxf 那么称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布。记为 XU(a,b)。X 的分布函数为:bxbxabxaxaxxF10)(2指数分布 假设连续型随机变量 X 的概率密度为 其它001)(/xexfx 其中0 为常数，那么称 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为：其它001)(/xexFx 服从指数分布的随机变量X具有以下性质：对于任意 s，t0，有 PXS+t|Xs=PXt。上式称为无记忆性。3正态分布 假设连续型随机变量 X 的概率密度为 222)(21)(xexf，-x0为常数，那么称 X 服从参数为，的正态分布或高斯Gauss分布，记为 XN(,2)。正态分布具有如下性质：曲线关于 x=对称。当 x=时取到最大值21)(f。正态分布曲线在 x=处有拐点，曲线以 Ox 轴为渐近线。如果固定，改变的值，那么图形沿着Ox 轴平移，而不改变其形状；假设固定，改变，由于最大值21)(f，可知当越小时图形变得越尖。X 的分布函数为：xtdtexF222)(21)(当=0，=1 时称随机变量 X 服从标准正态分布。引理：XN(,2)，那么 Z=XN(0,1)。设 XN(0,1)，假设 z满足条件 PXz=，01，那么称点 z为标准正态分布的上分位点。2.5 随机变量的函数的分布 设X N(0,1)，其 概 率 密 度 为2/221)(xex，-x，那么 Y=X2的概率密度为00021)(2/2/1yyeyyfyY，此时称 Y 服从自由度为 1 的2分布。定理：设随机变量 X 具有概率密度 fX(x)，-x0 或恒有 g(x)x1时 F(x2,y)F(x1,y)；对于任意固定的 x，当 y2y1时，F(x,y2)F(x,y1)。0F(x,y)1，且：对于任意固定的 y，F(-,y)=0 对于任意固定的 x，F(x,-)=0 F(-,-)=0,F(,)=1 F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续。对于任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1x2，y10，那么称jijppyPYyY,xPXyY|xPXjjiji，i=1，2，为 Y=yj条件下随机变量 X 的条件分布律。同样，对于固定的 i，假设 PX=xj0，那么称iijppxPXyY,xPXxX|yPYijiij，i=1，2，为 X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律。定义：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为fY(y)。假设对于固定的 y，fY(y)0，那么称)(),(yfyxfY为在 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度，记为)(),()|(|yfyxfyxfYYX。称xxYYXdxyfyxfdxyxf)(),()|(|为在Y=y 的条件下 X 的条件分布函数，记为 PX x|Yy。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解 和掌握二维随机变量、边缘分布与条件分布的相关内容。学生对边缘分布和条件分布的定义掌握较好，但对其性质尚需多加联系前方能熟悉。上课时间 第八周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 相互独立的随机变量与随机变量的函数分布 教学目的 使学生掌握相互独立的随机变量并了解几种常见的随机变量的函数分布 教学方法 讲授 重点、难点 相互独立的随机变量 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 3.4 相互独立的随机变量 定义：设 F(x,y)及 FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，假设对于所有 x，y 有 PX x,Yy=PX xPY y，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，那么称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。假设对于所有的 x1,x2,xn有 F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)，那么称X1,X2,Xn是相互独立的。假设对于所有的 x1,x2,xm；y1,y2,yn有 F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)，其中 F1，F2，F 依次为随机变量(X1,X2,Xm)，(Y1,Y2,Yn)和X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn的分 布 函 数，那 么 称 随 机 变 量(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互独立的。定理：设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互独立的，那么 Xi(i=1,2,m)和 Yj(j=1,2,n)相互独立。又假设 h，g 是连续函数，那么 h(X1,X2,Xm)和g(Y1,Y2,Yn)相互独立。3.5 两个随机变量的函数的分布 1Z=X+Y 的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)。那么 Z=X+Y 仍为连续型随机变量，其概率密度为：dyyyzfzfYX),()(或dxxzxfzfYX),()(。假设 X 和 Y 相互独立，设(X,Y)关于 X，Y 的边缘密度分别为 fX(x)，fY(y)，那么上面两式可化为 dyyfyzfzfYXYX)()()(和dxxzfxfzfYXYX)()()(。以上两式称为 fX和 fY 的卷积公式，记为 fX*fY，即dyyfyzfzfYXYX)()()(f*fYX 且dxxzfxfzfYXYX)()()(f*fYX 2Z=Y/X 的分布和 X=XY 的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，那么 Z=Y/X 与 Z=XY 仍为连续型随机变量，其概率密度分别为：dxxzxfxzfXY),(|)(/，dxxzxfxzfXY),(|1)(。假设 X 和 Y 相互独立，设(X,Y)关于 X，Y 的边缘密度分别为 fX(x)，fY(y)，那么上式可化为：dxxzfxfxzfYXXY)()(|)(/，dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)(。3M=maxX,Y 及 N=minX,Y 的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y)，那么：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)。特别的，当 X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函 数F(x)时，有：Fmax(z)=F(z)n，Fmin(z)=1-1-F(z)n。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握相互独立的随机变量与两种常见的随机变量的函数分布。学生相互独立的随机变量的定义掌握较好，其余局部需要多加练习。上课时间 第九周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 多维随机变量及其分布习题解析 教学目的 使学生稳固多维随机变量及其分布所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 边缘分布、条件分布与相互独立的随机变量 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1设随机变量(X,Y)的概率密度为 其它，04220)6(),(yxyxkyxf 1确定常数 k 2求 PX1,Y3 3求 PX1.5 4求 PX+Y 4 解：1由 1),(dxdyyxf得：424224220422028)10()2212(21)6()6(1kyykdyykdyxxykdxyxkdyxx 所以 k=1/8。2 3210322321083)211(8121)6(81)6(813Y1,P(Xdyydyxxydxyxdyxx 3 42425.102425.103227)23863(8121)6(81)6(81 5.1dyydyxxydxyxdyXPxx 4 32)4(61)4(81)4(21)4(281)4(21)4)(6(8121)6(81)6(81 44232422422424024240 yydyyydyyyydyxxydxyxdyYXPyxxy 2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 其它00),(yxeyxfy，求边缘概率密度。解：其它00)(0 xeedyexfxxyyX 其它00)(0yyyYyyedxeyf 3.设某种型号的电子元件的寿命以小时计近似地服从于正态分布 N(160,202)，随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于180 的概率。解：以 Xii=1,2,3,4记所选取的第 i 只元件的寿命，由题设一只元件寿命小于 180小时的概率为 8413.0)1()20160180(2016018020160180iiXPXP 可认为 X1，X2，X3，X4相互独立，应选取的4只元件没有一只寿命小于180小时的概率为41400063.0)8413.01(1801 iiXP 教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生稳固所学多维随机变量及其分布的相关内容，通过本次课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。上课时间 第十周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 数学期望与方差 教学目的 使学生了解和掌握数学期望与方差的概念及其在实践中的应用 教学方法 讲授 重点、难点 数学期望与方差的定义及相关定理 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 4.1 数学期望 定义：设离散型随机变量 X 的分布律为：PX=xk=pk，k=1，2，。假设级数 1kkkpx绝对收敛，那么称级数 1kkkpx的和为随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)，即 E(X)=1kkkpx。假设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x)，假设积分dxxxf)(绝对收敛，那么称积分dxxxf)(的值为随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)。即 E(X)=dxxxf)(。数学期望简称期望，又称为均值。数学期望 E(X)完全由随机变量 X 的分布律 所确定。假设 X 服从某一分布，也称 E(X)是这一分布的数学期望。定理：设 Y 是随机变量 X 的函数：Y=g(X)g 是连续函数。假设 X 是离散型随机变量，它的分布律为 PX=xk=pk，k=1,2,，假设kkkpxg 1)(绝对收敛，那么有1)()()(kkkpxgXgEYE。假设 X 是连续型随机变量，它的概率密度为 f(x)，假设dxxfxg)()(绝对收敛，那么有dxxfxgXgEYE)()()()(。数学期望重要性质：设 C 是常数，那么有 E(C)=C。设 X 是一个随机变量，C 是常数，那么有E(CX)=CE(X)。设 X，Y 是两个随机变量，那么有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。此性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况。设 X，Y 是相互独立的随机变量，那么有E(XY)=E(X)E(Y)。此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况。4.2 方差 定 义：设 X 是 一 个 随 机 变 量，假 设EX-E(X)2存在，那么称 EX-E(X)2为X 的方差，记为 D(X)或 Var(X)，即 D(X)=Var(X)=EX-E(X)2。应用中引入)(XD，记为(X)，称为标准差或均方差。对于离散型随机变量：12)()(kkkpXExXD 对于连续型随机变量：dxxfXExXD)()()(2 方差重要性质：设 C 是常数，那么 D(C)=0。设 X 是随机变量，C 是常数，那么有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)。设 X，Y 是两个随机变量，那么有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别地，假设 X，相互独立，那么有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。(X)=0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数E(X)，即 PX=E(X)=1。定理：设随机变量 X 具有数学期望 E(X)=，方差 D(X)=2，那么对于任意正数，不等式22|XP成立。切比雪夫(Chebyshev)不等式 教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握数学期望与方差的相关内容。学生对数学期望与方差的定义掌握较好，相关定理局部需要结合习题多加练习。上课时间 第十一周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 协方差及相关系数，矩、协方差矩阵 教学目的 使学生了解并掌握协方差相关知识 教学方法 讲授 重点、难点 协方差 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 4.3 协方差及相关系数 定义：量 EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的 协 方 差。记 为Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)。)()(),(YDXDYXCovXY称为随机变量 X 与 Y 的相关系数。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，Cov(X,X)=D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)协方差的性质：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b 是常数。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)定理：1|XY 1|XY的充要条件是，存在常数 a，b 使PY=a+bX=1。当0|XY时，称 X 和 Y 不相关。Cov(X,Y)=0 可得0|XY，即 X，Y 不相关；反之 X，Y 不相关，X 和 Y 却不一定相互独立。当(X,Y)服从二维正态分布时，X 和 Y 不相关与 X 和 Y 相互独立是等价的。4.4 矩、协方差矩阵 定义：设 X 和 Y 是随机变量，假设 E(Xk)，k=1,2,存在，称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。假设 EX=E(X)k，k=2,3,存在，称它为 X 的 k 阶中心矩。假设 E(XkYl)，k,l=1,2,存在，称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。X 的数学期望 E(X)是 X 的一阶原点矩，方差 D(X)是 X 的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是 X 和 Y 的二阶混合中心矩。二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩 设它们分别存在，分别记为：c11=EX1-E(X1)2 c12=EX1-E(X1)X2-E(X2)c21=E X2-E(X2)X1-E(X1)c22=EX2-E(X2)2 将它们排成矩阵的形式22211211cccc，这个矩阵称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。设 n 维随机变量(X1,X2,Xn)的二阶混合中心矩 cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,n都 存 在，那 么 称 矩 阵nnnnnncccccccccC222222211211为n维 随 机 变 量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。由于 cij=cjiij；i,j=1,2,n，因而上述协方差矩阵是一个对称矩阵。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握协方差、矩与协方差矩阵的相关内容。学生对相关概念掌握较好，相关应用局部尚需多加练习。上课时间 第十二周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 随机变量的数字特征习题解析 教学目的 使学生稳固随机变量的数字特征所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 数学期望与方差 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解：设圆盘直径为 X，按题设 X 具有概率密度其它01)(bxaabxfX 故圆盘面积 A=X2/4 的数学期望为：)(12)(12141)41(22322aabbxabdxabxXEbaba 2.设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间 X以 min 计是一个随机变量，其概率密度为：其它030001500)3000(150011500015001)(22xxxxxf 求 E(X)。解：按连续型随机变量的数学期望定义有：(min)1500)32*3000(150013150010*1500)3000(15000*)()()()()()(30001500322150003230003000150021500020300030001500150000 xxxdxxdxxxdxxxdxxdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfdxxxfXE 3.一直正常男性成认血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300，军方差是 700。利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400 直接的概率 p。解：以 X 表示每毫升含白细胞数，由题设 E(X)=7300，700)(XD 而概率 p=P5200X9400 =P-2100X-73002100 =P|X-7300|2100 在切比雪夫不等式 P|X-|1-2/2中，取=2100，此时：1-2/2=1-7002/21002=8/9，即：p=P|X-7300|0，有1|1|1limnkknXn。设 Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列，a是一个常数。假设对于任意正数，有1|limaYPnn，那 么 称 序 列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于 a，记为aYPn。依概率收敛的序列有如下性质：设aXPn，bYPn，又设函数 g(x,y)在点(a,b)连续，那么),(),(bagYXgPnn。因此，弱大数定理可定义为：设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布且具有数学期望 E(Xk)=(k=1,2,)，那么序列nkkXnX11依 概 率 收 敛 于 ，即PX。伯努利大数定理：设 fA是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，那么对于任意正数0 有：1|limpnfPAn 或 0|limpnfPAn。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握大数定律的相关内容。学生对相关概念掌握较好，相关应用局部尚需多加练习。上课时间 第十四周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 中心极限定理 教学目的 使学生了解并掌握中心极限定理相关知识 教学方法 讲授 重点、难点 独立同分布中心极限定理与李雅普诺夫(Lyapunov)定理 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 定理一独立同分布的中心极限定理：设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,)，那么随机变量之和nkkX1的标准化变量 nnXXDXEXYnkknkknkknkkn1111)()(的分布函数 Fn(X)对于任意 x 满足：)(21)(2/12limlimxdtexnnXPxFtxnkknnn 定理二李雅普诺夫(Lyapunov)定理：设随机变量X1,X2,Xn,相互独立，它们具 有 数 学 期 望 和 方 差：E(Xk)=k，D(Xk)=2k 0，k=1,2,，记nkknB122。假设 存 在 正 数 ，使 得 当n时，0|1122nkkknXEB，那么随机变量之和nkkX1的标准化变量nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ11111)()(的分布函数 Fn(x)对于任意 x，满足)(21)(2/112limlimxdtexBXPxFtxnnkknkknnn 定 理 三 棣 莫 弗 拉 普 拉 斯(De Moivre-Laplace)定理：设随机变量 n(n=1,2,)服从参数为 n，p(0p1)的二项式分布，那么对于任意 x 有：)(21)1(2/2limxdtexpnpnpPtxnn。教学后记 本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握中心极限定理的相关内容。学生对两个定理内容掌握较好，相关应用局部尚需多 加练习。上课时间 第十五周 上课节次 3 节 课 型 理论 课 题 大数定律及中心极限定理习题解析 教学目的 使学生稳固大数定律及中心极限定理所学内容 教学方法 讲授 重点、难点 数学期望与方差 时间分配 教学内容 板书或课件版面设计 1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机取 16 只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命的综合大于 1920h 的概率。解：以 Xi(i=1,2,16)记第 i 只元件的寿命，以 T 记 16 只元件寿命的总和：161iiXT，按题设 E(Xi)=100，D(Xi)=1002，由中心极限定理：210016100*16T近似服从 N(0,1)分布，故所求概率为：2119.07881.01)8.0(1)40016001920(110016100*16192010016100*16119201192022TPTPTP 2.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 0.5kg，均方差为 0.1kg，问 5000 各零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？解：以 Xi(i=1,2,5000)记第 i 个零件的重量，以 W 记 5000 个零件的总重量：50001iiXW。按题设 E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12，由中心极限定理：21.050005.0*5000W近似服从 N(0,1)分布，故所求概率为：0787.09213.01)2(1)1.050005.0*50002510(11.050005.0*500025101.050005.0*50001251012510222WPWPWP 3.一工人修理一台机器需要两个阶段，第一阶段所需时间小时服从均值为 0.2 的指数分布，第二阶段服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立。现有 20 台机器需要修理，求他在 8 小时内完成的概率。解：设修理第 i(i=1,2,20)台机器，第一阶段耗时 Xi，第二阶段耗时 Yi，共耗时 Z