2023年椭圆及其标准方程一精品教案.pdf
学习必备 欢迎下载 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）一、教材分析 本节课是新课标人教版选修 1-1第二章圆锥曲线方程的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识.这一节课是在高一学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备.因此本节内容起到一个承上启下的重要作用.二、学生分析 介于所教的文科班的生源情况较差，在初中阶段就带了帐的学生，学习高中数学的能力我们都非常清楚是怎样一个情况.在此就以这样的学生作为背景来设计这堂课，使之成为一节很有必要的研究性课.由于学生基础差、底子薄，数学运算能力，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，思维能力都比较弱，所以在设计课的时候往往要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性.三、教学目标分析 根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：1、知识与技能目标：理解椭圆的定义及有关概念；明确椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在 X 轴与 Y 轴上的不同；掌握椭圆的标准方程的概念，能够根据给定的条件求椭圆的标准方程.2、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养。3、情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“嫦娥 1 号”月球探测卫星的运动轨迹的视频演示，引入新课，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.四、学情分析与学法指导 学情分析：在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容.学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。本设计笔者采用了以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的学习必备 欢迎下载 建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.五、教学重点、难点及其解决办法 教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.解决办法：采用了循序渐进、逐层推进的方法.教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.解决办法：为突破难点，在设计中通过课堂精心设问.教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？六、教学方法与教学手段 教学方法：为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最近发展区”，以及为了实现本课的教学目标，本课采用探究式教学法即教师通过“问题诱导实验探究探索结果”，引导学生“直接观察归纳抽象总结规律”的一种研究性教学方法.使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.教学手段：多媒体辅助教学、动手实验.教学准备:课件（包括 PPT 课件、视频、几何画板课件）、准备几副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一根细绳，一张白纸）.七、教学过程(一)创设情景，提出课题 提出问题:20XX年 10 月 24 日是全中国人感到骄傲和自豪的日子,这一天在中国发生了什么震惊世人的事件？中国人终于实现了什么梦想？请问嫦娥 1 号月球探测卫星的运行轨道是什么？创设情景:情境 1:视频演示我国 20XX年 10 月 24 日发射嫦娥 1 号探月卫星运行的轨迹,并用几何画板演示行星运行轨迹.情境 2:生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?(教师用多媒体演示)学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？（二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆.实验探究：(1)固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?(2)如果调整1F、2F的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化?思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？2、引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点1F、2F距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆.教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.M 2F 1F 程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们学习必备 欢迎下载 深化概念:(通过 flash动态演示加深学生对椭圆定义的理解)注：1、平面内.2、若|2121FFPFPF，则点 P的轨迹为椭圆;若|FF|PF|PF|2121，则点 P的轨迹为线段;若|FF|PF|PF|2121,则点 P的轨迹不存在.思考：焦点为1F、2F椭圆上任一点 M，有什么性质？令椭圆上任一点 M，则有)22(22121FFcaaMFMF（三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程:(1)求曲线方程的一般步骤是什么？(2)建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕两问思考、讨论可得：求曲线方程的一般步骤建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）；建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.设置依据让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.2、研讨探究 问题：如图已知焦点为1F、2F的椭圆，且21FF=2c,对椭圆上任一点 M，有 aMFMF221，尝试推导椭圆的方程。思考:怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简.方案一 方案二 M 2F 1F x y 1F 2F M O x y 1F 2F M O 程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们学习必备 欢迎下载(1)建系设点：以两定点1F、2F的连线为 x 轴，以线段1F、2F的垂直平分线为 y 轴，建立坐标系，如图 1 设 M(x，y)为椭圆上任意一点，|F1、F2|=2c(c0)，则有 F1（c、0）、F2(c、0)，又设 M 与 F1、M 与 F2的距离的和等于常数)0(2aa.设置依据因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.(2)写 出 点 集：让 学 生 利 用 两 点 的 距 离 公 式，根 据 椭 圆 定 义 列 出：aMFMFMP221(3)列出方程：aycxycx2)()(2222 到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.(4)化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到)()(22222222caayaxca，指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要.思考：观察图形能找出图形中a、c所表示的线段及其关系吗？先 简 化.0,2222cacaca令),0(222bbca则 方 程 变 为222222bayaxb，联 想 到 直 线 截 距 式 方 程，两 边 同 时 除 以22ba得)0(12222babyax 教师指出方程)0(12222babyax叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在x轴上，程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们学习必备 欢迎下载)0,(1cF、),(2ocF，这里222bac.(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.另外步骤(2)也可省略，直接列出曲线的方程.设置依据再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程:)0(12222babyax，其中)0(222bcab；如图,如果焦点 F1、F2在 y 轴上，并且点 O 与线段 F1、F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？学生相互讨论、交流，合情猜想，动手验证可得：)0(12222babyax 指出：方程)0(12222babxay叫做椭圆的标准方程.此时椭圆的焦点在y轴上，焦点是),0(1cF、),0(2cF，这里222bac 选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出22ay+22bx=1，同样也有)0(222bbca 教师指出：我们所得的两个方程22ax+22by=1 和22ay+22bx=1（0 ba）都是椭圆的标准方程。（建系过程通过几何画板动态演示）程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们学习必备 欢迎下载 设置依据 该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.（四）归纳概括，方程特征 1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是 1；（3）椭圆标准方程中三个参数cba,关系：222cab)0(ba；（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出ba,的值.为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.（五）例题研讨，变式精析 例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于102，求它的标准方程.变 式：已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 坐 标 分 别 是(-2,0),(2,0),并 且 经 过 点)23,25(，求它的标准方程.随堂练习：求下列椭圆的焦点的坐标.11625)1(22yx 1169144)2(22yx 11)3(2222mymx（六）小结提问 1、本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 标准方程 22ax+22by=1)0(ba 22ay+22bx=1)0(ba 图形 cba,关系 222cab 222cab 焦点坐标)0,(c),0(c x y 1F 2F M O x y 1F 2F M O 程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们学习必备 欢迎下载 焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上（七）布置作业：1、课本 p46 A 组 1.2.（1）、（2）、（3）.2、探究椭圆标准方程的其它推导方法.3、思考题：已知直线l经过椭圆C 的一个焦点1F,且与椭圆C交于 A、B 两点，求2ABF 的周长.（八）板书设计:2.1.1 椭圆及其标准方程（一）1椭圆的定义 2椭圆的标准方程（1）标准方程的推导（2）标准方程的比较 例 学生练习 程的基础上将研究曲线的方法拓展到椭圆又是继续学习椭圆的几何性质帐的学生学习高中数学的能力我们都非常清是怎样一个情况在此就以这弱所以在设计课的时候往往要多作铺垫扫清他们学习上的障碍保护他们
