2023年[初中数学]与三角形有关的角精品讲义人教.pdf

?与三角形有关的角?教案 沉着说课 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用又因为三角形是多边形的一种，而且是最简单的多边形在几何里，常常把多边形分割成假设干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们因此对三角形性质的研究就显得十分重要 在小学已学习过三角形的内角的有关知识，知道三角形的内角和为 180，但是为什么是 180而不去研究 在这里要求学生掌握“三角形内角和定理的证明及其简单应用，掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明在证明过程中通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化开展；由内角中的等量关系和外角中的不等关系，让学生体会相等与不等关系的简单证明引导学生从内和外，相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考 在教学中，首先让学生动手操作，把三角形的三个内角拼合在一起，探索它们的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并归纳总结出结论再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法，使学生经历实验思考交流总结运用的过程让他们不仅掌握知识点，还要知道为什么、做什么用，使学到的数学知识与实际生活联系起来防止了数学的枯燥无味和脱离实际的现象，使数学真正运用到实际中去 721 三角形的内角 722 三角形的外角 教学设计 三维目标 1掌握“三角形内角和定理的证明及其简单运用 2掌握三角形的外角的定义，三角形内角和定理的两个推论及其证明 3体会几何中不等关系的简单证明 4通过探索“三角形内角和定理及其推论，培养学生的探索能力和实践操作能力 5在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，训练学生对所学知识的运用能力 教学重点:三角形内角和定理及推论 教学难点:三角形内角和定理及推论的证明和运用 教学过程 导入新课 在小学我们已经知道三角形的内角和为 180，但究竟为什么是 180，我们没有去研究，本节课我们来答复这个问题 推进新课 动手试一试，你会有收获 活动 1问题：在纸上画一个三角形，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为 180？设计意图：旨在让学生亲自实验一下，对所研究的问题产生兴趣，激发好奇心和求知欲 通过亲自经历，体会从具体情景中发现教学问题 师生活动：让学生人人画一个三角形，并把三个角裁下来，拼在一起，让他们自己得出结论 生：三个角拼在一起，会得到一个 180的角 师：为什么是 180呢？生：因为三个角合起来形成一个平角，而平角等于 180，所以三个角的和为 180 师：大家得出的结论相同吗？你们画的三角形都一样吗？如果不一样，你能得出什么结论呢？生：我们互相交流一下，结论都是一样的，但所画的三角形并不完全一样，所以说明三角形三个内角的和与形状没有关系，只要是三角形，其内角和就一定为 180 师：大家答复得非常棒但这只是实验，由观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明来验证，那么怎样证明呢？请同学们看投影片 在图 11中，B和C分别拼在A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点 A的直线 L，移动后的B和C各有一条边在 L上想一想，L 与ABC的边 BC有什么关系？由这个图你能想出说明三角形内角和等于 180这个结论正确的方法吗？请大家思考后再互相交流 生：因为移动后的C 与未移动时的C 相等，而它们又是内错角，由平行线的判定可知，直线 L 与边 BC平行，所以可以过ABC的顶点 A作直线 L 平行于ABC的边 BC，由平行线的性质与平角的定义可知A+B+C=180 师：大家能写出证明过程吗？这是一个文字命题，证明时应先干什么呢？生：需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出、求证 师：下面请一位同学完整地写出过程 生：如图 2，ABC 求证：A+B+C=180 证明：过 A作直线 DE BC，DAB=B，EAC=C DAB+BAC+EAC=180，B+BAC+C=180，即A+B+C=180 师：再观察图 12辅助线的作法与图 11一样吗？证明方法相同吗？生：辅助线的作法不同移动前的A 和移动后的A 相等，且是内错角的位置关系，可知直线 L与边 AB平行，同时移动前和移动后的B是同位角也应相等，所以三个角拼在一起构成了平角，故A+B+C=180 师：能写出证明过程吗？生：、求证和上面相同 证明：如图 3，延长 BC到 D，过 C作 CE AB A=ACE；B=ECD ACE+ACB+ECD=180，A+ACB+B=180，即A+B+C=180 师：利用两直线平行，同旁内角互补怎样？课下讨论从上面的两种证明方法中，大家 能否把它们的异同点？它们的思路是否一致呢？生：相同点是：都是把三角形的三个内角拼到一起，根据平角的定义，证明三角形的内角和是 180；不同点是：辅助线的作法不同，前者是过 A点作边 BC的平行线，后者是过 C点作边 AB的平行线但不管是过三角形的哪一个顶点，作另一边的平行线，它们的思路根本一致，就是通过平行线，利用平行线的性质，即同位角或内错角相等，把三个角都拼到一起，构成一个平角，从而得证 师：很好大家的证明过程写得非常好，分析得非常棒，找到了解决问题的思路 根据思路，大家还能找到其他的证明方法吗？生：还可以这样作辅助线，如图 4，作 CA的延长线 AD，过点 A作DAE=C，那么 AEBC，所以EAB=B 因为DAE+EAB+BAC=180，故C+B+BAC=180，即A+B+C=180 师：大家做得非常好，前三种方法都是把三个角转移到三角形的一个顶点处 只要把它们拼到一起成为平角即可，那么是否可以转移到其他地方呢？请大家讨论 生：如图 5，在 BC上任取一点 D，过点 D作 DE AB交 AC于 E，再过点 D作 DE AC交 AB于 F DE AB，1=B，2=4 DF AC，3=C，4=A 2=A 1+2+3=180，A+B+C=180 师：大家讨论得非常棒，可见大家已掌握了三角形内角和定理的证明，并能根据思路拓展，由于时间关系，我们不再继续了，在课后大家可以继续讨论有关问题，比方点在ABC的内部？外部呢？活动 2例：如图 6，C岛在 A岛的北偏东 50方向，B岛在A岛的北偏东 80方向，C岛在 B岛的北偏西 40方向，从 C岛 看 A、B两岛的视角ACB是多少度？师生活动：请大家先观察思考题中出现的这些方位角，在图上分别指出 生：C岛在 A岛的北偏东 50方向，指DAC=50；B岛在 A岛的北偏东 80方向，指DAB=80；C岛在 B岛的北偏西 40方向，指CBE=40；要求的是ACB的度数 师：下面讨论一下根据角，如何求出ACB的度数 生：要求ACB的度数，根据三角形内角和定理，需求出CAB和CBA的度数 而CAB=DAB-DAC=80-50=30，CBA=90-CBE=90-40=50 所以ACB=180-CAB-CBA=180-30-50=100 生：他做的不对，CBA不等于 50 因为EBA不是 90而是因为 AD BE，DAB+ABE=180 ABE=180-DAB=100 ABC=ABE-CBE=60 ACB=180-30-60=90 师：哪一位同学能把过程完整地写一下呢？生：解：CAB=BAD-CAD=80-50=30 AD BE，BAD+ABE=180 ABE=180-BAD=180-80=100 ABC=ABE-EBC=100-40=60 在ABC中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90 答：从 C岛看 A、B两岛的视角ACB是 90 师：大家看，过 C 点作 AD的平行线 CF，那么 AD CFBE，是否也能求出ACB，请同学们课下完成 尝试反应 稳固练习 1ABC中，A=40，B-C=30求B，C 2ABC中，A：B：C=1：2：2求A，B，C 3在ABC中，A+B=80，C=2A求A，B，C 4如图 7，在ABC中，C=ABC=2 A，BD是 AB边上的高求DBC的度数 设计意图：利用三角形内角和定理求某些角的度数 师生活动：生：1解：A=40，A+B+C=180，B+C=180-A=140 B-C=30，B=C+30，C+30+C=140 C=55，B=85 2解：A：B：C=1：2：2，设A=x，B=C=2x A+B+C=180，5x=180 x=36 A=36，B=C=72 3解：A+B=80，C=180-80=100 C=2A，A=C=50 B=180-A-B=30 4解：C=ABC=2 A，A=36，C=72 BD DC，BDC=90 DBC=180-BDC-C=180-90-72=18 活动 3问题：探究三角形外角的定义，外角与不相邻内角间的关系 设计意图：旨在掌握三角形外角的定义的根底上，利用三角形内角和定理，推导出外角与不相邻内角间的关系 师生活动：师：前面我们学习了三角形的内角，也称为三角形的角，还掌握了内角和定理，下面我们来探究一下三角形的外角 生：顾名思义，三角形的内角是三角形内部的角，那么三角形的外角就是三角形外部的角如图 8，BAC，B，C是三角形的内角，BAE，CAD，EAD是三角形外部的角，称为三角形的外角 师：这位同学的分析似乎有道理，大家认为怎么样？小组讨论后交流 生：不正确，不能这样想当然外角不是外部的角，而是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，如DAC，EAB，DAE虽然在三角形的外部，但它的两边都是三角形的延长线，不符合外角的定义，所以它不是外角 师：这位同学说出了外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；角的一边是三角形的一边；另一边是三角形中一边的延长线，那么在上面的图 8 中，满足条件的角外角是否只有DAC和EAB呢？请大家思考后作答 生：不是在三角形每个顶点处都有两个外角，所以一个三角形有 6 个外角，而且同一顶点处的两个外角是对顶角，应该相等 师：大家的分析很详细，那么这些外角与内角之间有没有关系，如果有，存在什么关系呢？将是下面我们要解决的问题 如图 9，ABC中，A=70，B=60ACD是ABC的一个外角能由A，B求出ACD吗？如果能，ACD与A，B有什么关系？你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系呢？生：A+B+ACB=180，ACB+ACD=180，ACD=A+B=130 三角形的一个外角等于两个内角的和 师：根据刚刚这位同学的逻辑，那么ACD=A+ACB，ACD=B+ACB成立吗？生：不成立 再如图 10，A=30，B=40，那么ACB=110 因为ACB+ACD=180，所以ACD=70 那么ACD=A+ACB成立吗？生：不成立 师：为什么呢？那刚刚的结论成立吗？生：不成立在上图中有结论ACD=A+B，此题中有ACD=A+B而A，B 与ACD不相邻，所以上面的结论应改为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 师：那么外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢？生：因为两个角的和等于外角，所以外角应大于其中任何一个内角 师：由此可知三角形内角和定理的推论 1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；2三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 尝试反应 稳固练习 1：如图 11，BAF，CBD，ACE是ABC的三个外角 求证：BAF+CBD+ACE=360 设计意图：稳固三角形内角和及其推论 师生活动：生：证明：BAF=2+3，CBD=1+3，ACE=1+2，BAF+CBD+ACE=2 1+2+3 1+2+3=180，BAF+CBD+ACE=360 2：如图 12，在ABC中，1 是它的一个外角，E为边 AC上一点，延长 BC到 D，连接DE 求证：12 设计意图：体会几何中不等关系的简单证明 师生活动：证明：1 是ABC的外角，13 3 是DCE的外角，32 12 课堂小结 本节课共同探索了三角形内角和定理及推论的证明，根本思想是：把三个内角拼在一起，拼成一个平角；熟练掌握三角形内角和及外角和定理；理解三角形外角的性质，并能解简单问题 布置作业 习题 72 3、5 活动与探究 在前面讨论三角形内角和定理的证明时，证明的思路是把三角形的三个角拼到一起，构成一个平角，根据平角的定义得证 可以把三个角“凑到一个顶点处，也可以把三个角“凑到一边上，那么能否把三个角“凑到三角形的内部和外部呢？如以下图：过 P点分别作三边的平行线 ST，MN，QR 在图 131中，A=QST=SPN，B=SQP=NPR，C=NRP=SPQ，SPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180 在图 132中，A=ATS=SPN，B=1=NPR，C=2=SPQ SPN+NPR+SPQ=180，A+B+C=180 以上几种证法，都是在把三角形的三个内角剪下拼在一起，构成一个平角的实验根底上产生的特点是添加了辅助线，构造出了新图形，形成了新的关系，把未知转化成，下面这一种证法十分有趣，不直接从内角的角度考虑问题，而是从外角入手，应用了运动的观点来解决问题 一个人沿着一个三角形广场绕圈跑步，设他站在 AB边上任意一点 P处，面向 B 点前进，到达 B点向左转动一个角度1，面向 C点前进，到达 C 点后向左再转动一个角度2，再面向 A点前进，到达 A点后再向左转动一个角度3，最后又回到 P点，仍面向 B点站立，那么他在这个过程中共转了一周，即1+2+3=360 证明：1=180-ABC，2=180-ACB，3=180-BAC，1+2+3=540-ABC+ACB+BAC=360 ABC+ACB+BAC=180 备课资料 1等腰三角形的一个内角是 30，那么这个三角形另两角的度数是_ 2过ABC的顶点 C作 AB的垂线，如果这条垂线将ACB分为 40和 20两个角，那么A，B中较大的角的度数是_ 3一个三角形中，最多有_个锐角；最少有_个锐角；最多有_个钝角 4如图 15，1=31，2=52，3=60，那么4 的度数为_ 5如图 16，1+2+3+4+5+6 的度数是_ 6如图 17，ABC中，C=90，CAB，CBA的平分线相交于点 D，BD 的延长线交AC于 E，那么ADE的度数是_ 7如图 18，五角星的五个角A，B，C，D，E的度数之和等于_ 8一个非直角三角形 ABC的A=55，三条高所在直线交于点 H，那么BHC的度数是_ 9三角形的三个内角中 A至少有一个是钝角 B 至少有一个是直角 C至少有两个是锐角 D 至多有两个是锐角 10具备以下条件的三角形中，不是直角三角形的是 AA+B=C BB=C=12A CA=90-B DA-B=90 11在锐角三角形中，A BC，那么以下结论中错误的选项是 AA60 BB45 CC60 DB+C90 12如图 19，ABC中，AB=AC，点 D在 AC边上，且 BD=BC=AD，那么A的度数为 A30 B36 C45 D70 13如图 20，A=50，BD，CD分别是B，C的平分线，那么BDC等于 A65 B100 C115 D130 14如果三角形三个内角度数的比是 1：2：3，那么这个三角形一定是 A锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 答案：1 75，75或 30，120 2 70 3 3 2 1 4 37 5 360 6 45 7180 8 55或 125 9 C 10 D 11 D 12 B 13 C 14 B