2023年初中正弦精品讲义.pdf
锐角三角函数之正弦 一、教学目标 1、知识与技能目标：理解并掌握正弦的概念及学会运用正弦的概念或定义表求解相关题目。如通过探究使学生知道在直角三角形中的一个锐角的正弦值等于这个角的对边比上斜边，并且知道，在直角三角形中，当锐角固定时，不管这个三角形的大小，这个锐角的正弦值不变 2、过程与方法目标：体会数形结合等数学思想，开展学生的形象思维，让学生合作交流，培养学生的空间想象及推理论证能力及培养学生独立思考的能力，这种做法没有禁锢学生原有的思想，使得学生的想象空间最大化。3、情感、态度与价值目标：让学生投入数学学习，在数学中体会世界的美妙，从而激发学生对知识的求知欲望，使得学生具有独立思考和敢于创新的精神和魄力。让学生为这种通过老师的一步一步引导而使得思维迸发的震撼。二、教学重难点 1、重点：掌握正弦SinA的概念，并通过所学知识解相关题目。2、难点：让学生能够通过教师的启发一步步的理解课堂模式与掌握教学内容。三、教法分析：本课题采用启示法、探究法、发现法、讲授法、练习法等启发学生思考，循序渐进的引出本文内容更。四、教学过程分析 初中的锐角三角函数中的正弦与我们高中学的正弦函数不一样，高中的正弦函数是定义域上的任意一个数这里称为自变量通过一个映射这里指的是正弦函数有且仅有一个值与之对应，而在初中的正弦的是自变量是一个角度，它是带有单位的变量，而不是一个数，所以我们在高中学三角函数之前先学会把角度通过一种变换变为一个数，即我们的角度弧度制，它把带有单位的角度用弧度制这种作用转化为一个数的表示，从而经历从初中的正弦到高中的正弦函数的一个完美过渡。启发性问题一：就数学教材的九年级下册第二十八章的正弦函数的生活趣味，意大利比萨斜塔的倾斜程度问题。教师要带有欲扬顿挫的语气一边念题然后让学生思考 时间等待【设计意图】：或许很多人觉得这个问题对学生来说太复杂，不适合放在教学过程的第一步，可是我认为，引出生活的趣味题，不是要求学生能够求出答案，旨在学生能够在结合生活实际而激发学习和解题的兴趣，使得学生更有动力和愿望去解题，当然，除此之外，还能培养学生的思考能力，在还没有学习新知识之前让学生做题可以让学生的思维不受禁锢，说不定会有同学能利用不同的答案求解得。启发问题二：好的，同学们如果对上题没有什么解题的思路，我们不妨换个比拟简单的例子来讲解。例子：如图 28.1-1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，现在测得斜坡的仰角为 30，为使出水口的高度为 35m，需要准备多长的水管？提问学生什么是仰角什么是俯角，提问学生的解题思路，时间等待，提问学生，如果有学生答复，并且答案正确，让他上讲台讲题，如果没有，温故知新，进一步引导学生，并提问同学关于直角三角形中边与角的关系，还有当三角形是特殊角的直角三形时的边与角之间的关系。如在ABC 中，A+B=90,a2+b2=c2 这个问题可以归纳为：在 RtABC 中，C=90,A=30，BC=35m,求 AB。根据“在直角三角形中 30 角所对的边等于斜边的一半，即 斜边的对边A=ABBC=21 可得AB=2BC=70(m),也就是说，需要准备 70m 长的水管。【设计意图】这个例题与启示一的题目是同一类型的，但由于初中生对有关于角度的运算仅限于特殊角如 30、45、60、90所以以学生的认知根底为前提，从学生较为熟知的知识入手，这样可以让学生更容易接受，当然，如果只是把知识限制在特殊的情况会使学生的思想变得狭隘，所以后面会从特殊推广到任意情况。启发性问题三：好的，做完上面的例题，现在问题又来了，如果出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管？如果 70m 又需要准备多长的水管？【设计意图】在例子中，我们主要考虑的两个变量有坡的倾斜度和出水口的高度，现在我们先从出水口的高度这个变量从不同的维度来分析问题。A B C 启发性问题四：如图 28.1-2，让每个同学任意画一个 RtABC,使C=90,A=45,让同学们计算A 的对边与斜边的比ABBC,由此你能得出什么结论？图 28.1-2 如图 28.1-2，在 RtABC 中，C=90,因为A=45,所以 RtABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB=AC+BC=2BC AB=2BC 因此，ABBC=21=22 即在直角三角形中，当一个锐角等于 45时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边比斜边的比值都等于22。综上可知，在 RtABC 中，C=90,当A=30 时，A 的对边与斜边的比都等于21，是一个固定值；当A=45时，A 的对边与斜边的比都为22，是一个固定值。一般的，当A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？【设计意图】先从特殊角出发，让学生易于接受。启发性问题五：任意画 RtABC 和 RtABC(图 28.1-3)，使得C=C=90,A=A,那么ABBC与BACB有什么关系？你能解释一下吗？A B C 图 28.1-3 在图 28.1-3中，由于C=C=90,A=A,所以ABCRtABC,因此 CBBC=BAAB ABBC=BACB.这就是说，在 RtABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值。【设计意图】：紧紧抓住本课题的结论，第一，在直角三角形中，无论这个三角形有多大，固定的锐角的正弦值不变；第二，在直角三角形中，由特殊角的正弦也是固定由相似三角形推出，推广到非特殊角的直角三角形回到启发性问题一这样锻炼了学生的发散性思维和培养类比推理的能力 启发性问题六：是不是只有在直角三角形中才有正弦呢？其他不是在直角三角形的非特殊角有正弦值吗？这个值又怎么算呢？简单带过。不是，只是我们初中的知识只要求我们掌握在含有特殊角的直角三角形的中的正弦运算。【设计意图】：及时地把学生从刻板的思想拉出来，使得学生的思维不局限，告诉学生，有的也可以运算，只是我们初中只需掌握直角三角形中特殊角的正弦值运算就可以了，当然，高中的非特殊角的正弦值其实也是利用圆这个工具和初中的知识结合起来求解得。启发性问题七：现在我们知道了，在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角的对边比斜边，那么，我想问，你们还能想出这个角的其他运算吗？时间等待，启发，既然对边比斜边是正弦值，那么邻边比斜边呢？对边比斜边呢？让同学们说。【设计意图】：为学生接下来要学的余弦与正切做铺垫，如果学生问到为什么要先教正弦，就这么解释，正弦、余弦与正切没有先后与主次关系的，它们三者是同一个级别的，先教正弦是因为书本内容的编排就是这样的。启发性问题八：根据题目给出定义及概念 如图 28.1-4，在 RtABC 中，C=90,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦A B C B A C sine,记作 sinA，即 sinA=斜边的对边A=ca 例如，当A=30时，我们有 sinA=sin30=21;当A=45时，我们有 sinA=sin45=22【设计意图】最后才引出本课的重点内容是因为不想一开始提出这些概念限定了学生的思想，使得学生在这个框架里面思考，而是一步一步的引导学生揭开谜底，这样的课堂更有吸引性及使得学生深入课堂。老师：现在，让我们回到我们最先提问的题目，意大利比萨斜塔的求解还是问题吗？不是了。学会了正弦函数，我们深刻地体会到它给我们带来的实用性，这种边与角的关系使得我们在实际问题中可以简单的运用其他的量来求出未知的量。引入例题稳固 例 1.如图 28.1-5，在 RtABC 中，C=90,求 sinA 和 sinB 的值。解：如图1，在RtABC中，根据勾股定理得 AB=22BCAC=2 32 4=5 因此，sinA=ABBC=53,A B C C B A SinB=ABAC=54.如图2，在 RtABC 中，由勾股定理得 AC=22BCAB=2 5213=12.因此 sinA=ABBC=135,SinB=ABAC=1312.启发性问题九：课堂小结，本节课我们通过我们掌握了在一个三角形中的对角所对应的边比上直角三角形的斜边的值我们称为这个角的正弦值，并且，我们发现在两个相似的直角三角形，相同的锐角的正弦值都是不变的，是固定的这个性质。
