2023年2017年全国二卷数学试卷理科全国新课标ⅱ.pdf

2017 年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）A1+2i B12i C2+i D2i 2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 B=（）A1，3 B1，0 C1，3 D1，5 3（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90 B63 C42 D36 5（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）A15 B9 C1 D9 6（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩 根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩 8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A2 B3 C4 D5 9（5 分）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成A2 B C D 10（5 分）已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）A B C D 11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极小值为（）A1 B2e3 C5e3 D1 12（5 分）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC内一点，则（+）的最小值是（）A2 B C D1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X表示抽到的二等品件数，则 DX=14（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x 0，）的最大值是 15（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=16（5 分）已知 F是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN的中点，则|FN|=三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC的面积为 2，求 b 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）附：P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=19（12 分）如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成 20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C的左焦点 F 21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|=16，求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A的极坐标为（2，），点 B在曲线 C2上，求OAB面积的最大值 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 a0，b0，a3+b3=2证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成2017 年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）A1+2i B12i C2+i D2i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果【解答】解：=2i，故选 D【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数 2（5 分）设集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 B=（）A1，3 B1，0 C1，3 D1，5【分析】由交集的定义可得 1A且 1B，代入二次方程，求得 m，再解二次方程可得集合 B【解答】解：集合 A=1，2，4，B=x|x24x+m=0 若 AB=1，则 1A且 1B，可得 14+m=0，解得 m=3，即有 B=x|x24x+3=0=1，3 故选：C【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题 3（5 分）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【分析】设这个塔顶层有 a 盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前 n 项公式列出方程，求出 a的值【解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，从塔顶层依次向下每层灯数是以 2 为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯 381 盏，381=127a，解得 a=3，则这个塔顶层有 3 盏灯，故选 B【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前 n 项和公式的实际应用，属于基础题 4（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90 B63 C42 D36【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成即可求出几何体的体积【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半，V=3210326=63，故选：B 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5（5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最小值是（）A15 B9 C1 D9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可【解答】解：x、y 满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A时，目标函数取得最小值，由解得 A（6，3），则 z=2x+y 的最小值是：15 故选：A 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力 6（5 分）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【分析】把工作分成 3 组，然后安排工作方式即可【解答】解：4 项工作分成 3 组，可得：=6，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6=36 种 故选：D【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力 7（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩 根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩 B丁可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成道自己的成绩）乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩 给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题 8（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（）A2 B3 C4 D5 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K值，当 K=7时，程序终止即可得到结论【解答】解：执行程序框图，有 S=0，K=1，a=1，代入循环，第一次满足循环，S=1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=1，K=7；K6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3 故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础 9（5 分）若双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为 2，则 C的离心率为（）A2 B C D【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2，双曲线 C：=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得 e2=4，即 e=2 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力 10（5 分）已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为（）A B C D【分析】【解法一】设 M、N、P 分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，得出 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出 AC、MQ，MP 和MNP 的余弦值即可【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁【解答】解：【解法一】如图所示，设 M、N、P 分别为 AB，BB1和 B1C1的中点，则 AB1、BC1夹角为 MN 和 NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，），可知 MN=AB1=，NP=BC1=；作 BC中点 Q，则PQM 为直角三角形；PQ=1，MQ=AC，ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（）=7，AC=，MQ=；在MQP 中，MP=；在PMN 中，由余弦定理得 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成cosMNP=；又异面直线所成角的范围是（0，AB1与 BC1所成角的余弦值为【解法二】如图所示，补成四棱柱 ABCD A1B1C1D1，求BC1D 即可；BC1=，BD=，C1D=，+BD2=，DBC1=90，cosBC1D=【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题 11（5 分）若 x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则 f（x）的极百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成小值为（）A1 B2e3 C5e3 D1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数 f（x）=（x2+ax1）ex1，可得 f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x=2 是函数 f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，可得：4+a+（32a）=0 解得 a=1 可得 f（x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1，当 x2 或 x1 时，f（x）0 函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（1211）e11=1 故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力 12（5 分）已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC内一点，则（+）的最小值是（）A2 B C D1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A（0，），B（1，0），C（1，0），设 P（x，y），则=（x，y），=（1x，y），=（1x，y），则（+）=2x22y+2y2=2 x2+（y）2 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成当 x=0，y=时，取得最小值 2（）=，故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次X表示抽到的二等品件数，则 DX=1.96 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则 DX=npq=np（1p）=1000.020.98=1.96 故答案为：1.96【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键 14（5 分）函数 f（x）=sin2x+cosx（x 0，）的最大值是 1 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出【解答】解：f（x）=sin2x+cosx=1cos2x+cosx，令 cosx=t 且 t 0，1，则 y=t2+t+=（t）2+1，当 t=时，f（t）max=1，百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成即 f（x）的最大值为 1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 15（5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，则=【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得 a2=2，数列的首项为 1，公差为 1，Sn=，=，则=2 1+=2（1）=故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力 16（5 分）已知 F是抛物线 C：y2=8x 的焦点，M 是 C上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N若 M 为 FN的中点，则|FN|=6 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出 M 坐标，然后求解即可【解答】解：抛物线 C：y2=8x 的焦点 F（2，0），M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N若 M 为 FN的中点，可知 M 的横坐标为：1，则 M 的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6 故答案为：6【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）=8sin2（1）求 cosB；（2）若 a+c=6，ABC的面积为 2，求 b【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知 A+C=B，再利用诱导公式化简 sin（A+C），利用降幂公式化简 8sin2，结合 sin2B+cos2B=1，求出 cosB，（2）由（1）可知 sinB=，利用勾面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出b【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB=；（2）由（1）可知 sinB=，SABC=acsinB=2，ac=，b2=a2+c22accosB=a2+c22=a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 18（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）附：P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成 22 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数【解答】解：（1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由 P（A）=P（BC）=P（B）P（C），百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成则旧养殖法的箱产量低于 50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）5=0.62，故 P（B）的估计值 0.62，新养殖法的箱产量不低于 50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）5=0.66，故 P（C）的估计值为，则事件 A的概率估计值为 P（A）=P（B）P（C）=0.620.66=0.4092；A发生的概率为 0.4092；（2）22 列联表：箱产量50kg 箱产量50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则 K2=15.705，由 15.7056.635，有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）5=0.34，箱产量低于 55kg 的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）5=0.680.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35（kg）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题 19（12 分）如图，四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是 PD的中点（1）证明：直线 CE平面 PAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成【分析】（1）取 PA的中点 F，连接 EF，BF，通过证明 CEBF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可（2）利用已知条件转化求解 M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角 MABD 的余弦值即可【解答】（1）证明：取 PA的中点 F，连接 EF，BF，因为 E是 PD的中点，所以 EFAD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，BCAD，BCEF是平行四边形，可得 CEBF，BF平面 PAB，CE 平面 PAB，直线 CE平面 PAB；（2）解：四棱锥 PABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是 PD的中点 取 AD的中点 O，M 在底面 ABCD上的射影 N 在 OC上，设 AD=2，则 AB=BC=1，OP=，PCO=60，直线 BM 与底面 ABCD所成角为 45，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作 NQAB于 Q，连接 MQ，ABMN，所以MQN 就是二面角 MABD 的平面角，MQ=，二面角 MABD 的余弦值为：=百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20（12 分）设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：+y2=1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足=（1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x=3 上，且=1证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l过 C的左焦点 F【分析】（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；（2）设 Q（3，m），P（cos，sin），（0 2），运用向量的数量积的坐标表示，可得 m，即有 Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得 OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证【解答】解：（1）设 M（x0，y0），由题意可得 N（x0，0），设 P（x，y），由点 P 满足=可得（xx0，y）=（0，y0），可得 xx0=0，y=y0，即有 x0=x，y0=，百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x2+y2=2；（2）证明：设 Q（3，m），P（cos，sin），（0 2），=1，可得（cos，sin）（3cos，msin）=1，即为3cos 2cos2+msin 2sin2=1，当=0 时，上式不成立，则 0 2，解得 m=，即有 Q（3，），椭圆+y2=1 的左焦点 F（1，0），由=（1cos，sin）（3，）=3+3cos 3（1+cos）=0 可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=ax2axxlnx，且 f（x）0（1）求 a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【分析】（1）通过分析可知 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，进而利用h（x）=a可得 h（x）min=h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知 f（x）=x2xxlnx，记 t（x）=f（x）=2x2lnx，解不等式可知 t（x）min=t（）=ln210，从而可知 f（x）=0 存在两根 x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点 x0及 x0可知 f（x0），另一方面可知 f（x0）f（）=百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成【解答】（1）解：因为 f（x）=ax2axxlnx=x（axalnx）（x0），则 f（x）0 等价于 h（x）=axalnx0，求导可知 h（x）=a 则当 a0 时 h（x）0，即 y=h（x）在（0，+）上单调递减，所以当 x01 时，h（x0）h（1）=0，矛盾，故 a0 因为当 0 x时 h（x）0、当 x时 h（x）0，所以 h（x）min=h（），又因为 h（1）=aaln1=0，所以=1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f（x）=x2xxlnx，f（x）=2x2lnx，令 f（x）=0，可得 2x2lnx=0，记 t（x）=2x2lnx，则 t（x）=2，令 t（x）=0，解得：x=，所以 t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以 t（x）min=t（）=ln210，从而 t（x）=0 有解，即 f（x）=0 存在两根x0，x2，且不妨设 f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以 f（x）必存在唯一极大值点 x0，且 2x02lnx0=0，所以 f（x0）=x0 x0lnx0=x0+2x02=x0，由 x0可知 f（x0）（x0）max=+=；由 f（）0 可知 x0，所以 f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以 f（x0）f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且 e2f（x0）22【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos=4（1）M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|OP|=16，求点P 的轨迹 C2的直角坐标方程；（2）设点 A的极坐标为（2，），点 B在曲线 C2上，求OAB面积的最大值【分析】（1）设 P（x，y），利用相似得出 M 点坐标，根据|OM|OP|=16 列方程化简即可；（2）求出曲线 C2的圆心和半径，得出 B到 OA的最大距离，即可得出最大面积【解答】解：（1）曲线 C1的直角坐标方程为：x=4，设 P（x，y），M（4，y0），则，y0=，|OM|OP|=16，=16，即（x2+y2）（1+）=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x2）2+y2=4（x0），点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程：（x2）2+y2=4（x0）（2）点 A的直角坐标为 A（1，），显然点 A在曲线 C2上，|OA|=2，曲线 C2的圆心（2，0）到弦 OA的距离 d=，AOB的最大面积 S=|OA|（2+）=2+【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成 选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 a0，b0，a3+b3=2证明：（1）（a+b）（a5+b5）4；（2）a+b2【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由 a3+b3=2 转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab（）2，即可得到（a+b）32，问题得以证明【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）（+）2=（a3+b3）24，当且仅当=，即 a=b=1 时取等号，（2）a3+b3=2，（a+b）（a2ab+b2）=2，（a+b）（a+b）23ab=2，（a+b）33ab（a+b）=2，=ab，由均值不等式可得：=ab（）2，（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当 a=b=1 时等号成立【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看丙的成绩给丁看甲的成考点卡片 1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 AB 符号语言：AB=x|xA，且 xB AB实际理解为：x 是 A且是 B中的相同的所有元素 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集 运算形状：AB=BA A=AA=A ABA，ABB AB=AAB AB=，两个集合没有相同元素A（UA）=U（AB）=（UA）（UB）【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题 2利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f（x）f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y极大值=f（x0），x0是极大值点；百八十一请问尖头几盏灯意思是一座层塔共挂了盏灯且相邻两层中的下分后所得则该几何体的体积为分设满足约束条件则的最小值是分安排名有位优秀位良好我现在给甲看乙丙的成绩给乙看