2023年勾股定理全章教学导案.pdf

勾股定理全章教案 2 作者：日期：3 课 题 勾股定理（一）教学目标 1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。教学重点 勾股定理的内容及证明。教学难点 勾股定理的证明。学习流程 讨论完善 4 三、例题的意图分析 例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，用刻度尺量出 AB的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 32+42与 52的关系，52+122和 132的关系，即 32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析 例 1（补充）已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正 421ab（ba）2=c2，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 已知：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。cbaDCAB 5 求证：a2b2=c2。分析：左右两边的正方形 边 长 相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=421abc2 右边 S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 421abc2=（a+b）2 化简可证。六、课堂练习 1勾股定理的具体内容是：。2如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若D为 斜 边 中 点，则 斜 边 中线 ；若B=30，则B 的对边和斜边：；三边之间的关系：。3ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2=a2c2，则 =90；若满足 b2c2a2，则B 是 角；若满足 b2c2a2，则B 是 角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习 1 已知在 RtABC 中，B=90，a、b、c 是ABC的三边，则 bbbbccccaaaabbbbaaccaaACBDbccaabDCAEB 6 c=。（已知 a、b，求 c）a=。（已知 b、c，求 a）b=。（已知 a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 19，b、c 192+b2=c2 3在ABC 中，BAC=120，AB=AC=310cm，一动点 P 从 B 向C 以每秒 2cm 的速度移动，问当 P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。4已知：如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 CB 的延长线上。求证：AD2AB2=BDCD 若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。课后反思 课 题 勾股定理（四）教学目标 1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。教学重点 勾股定理的综合应用。教学难点 勾股定理的综合应用。学习流程 讨论完善 ADCB 7 三、例题的意图分析 例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P76 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析 例 1（补充）1已知：在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=3，求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式 BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由22BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=2 和 BC=6。例 2（补充）已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以求得 AD，CD，BD，AB，BC 及 SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问 CABDBACD 8 题。并指出如何作辅助线？解略。例 3（补充）已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=34。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=12=32。S四边形ABCD=SABE-SCDE=21ABBE-21CDDE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。六、课堂练习 1ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC=，SABC=。2ABC 中，若A=2B=3C，AC=32cm，则A=度，B=度,C=度，BC=，SABC=。3ABC 中，C=90，AB=4，BC=32，CDAB 于 D，则 AC=，CD=，BD=，AD=,SABC=。4已知：如图，ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求 SABC。ABCDEABC 9 七、课后练习 1在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=3，AB=。2 在 RtABC 中，C=90，SABC=30，c=13，且 ab，则 a=，b=。3已知：如图，在ABC 中，B=30，C=45，AC=22，求（1）AB 的长；（2）SABC。4 在数轴上画出表示52,5的点。课后反思 ABC 10 课 题 勾股定理的逆定理（一）教学目标 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。教学重点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。教学难点 2难点：勾股定理的逆定理的证明。学习流程 讨论完善 三、例题的意图分析 例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例 2（P82 探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。五、例习题分析 例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2（P82 探究）证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，abcabBCAA1C1B1 11 那么这个三角形是直角三角形。分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边 A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求证：C=90。分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出 a2+b2和 c2的值。判断 a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明 a2+b2=c2即可。由于 a2+b2=（n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2=n42n21，从而 a2+b2=c2，故命题获证。六、课堂练习 1判断题。在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是 30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。ABC 的三边之比是 1：1：2，则ABC 是直角三角形。2ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果CB=A，则ABC 是直角三角形。B如果 c2=b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90。C如果（ca）（ca）=b2，则ABC 是直角三角形。12 D如果A：B：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9，b=12，c=15 Ca=5，b=3，c=2 Da：b：c=2：3：4 4已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7，c=9；a=2，b=3，c=7；a=5，b=62，c=1。七、课后练习，1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果 a30，那么 a20；如果三角形有一个角小于 90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。在ABC 中，若 a2=b2c2，则ABC 是 三角形，是直角；若 a2b2c2，则B 是 。若在ABC 中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，则ABC 是 三角形。3若三角形的三边是 1、3、2；51,41,31；32，42，52 9，40，41；（mn）21，2（mn），（mn）21；则构成的是直角三角形的有（）A2 个 B个 个 个 4已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；a=5k，b=12k，c=13k（k0）。课后反思：13 14 课 题 勾股定理的逆定理（二）教学目标 1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。教学重点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。教学难点 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。学习流程 讨论完善 15 三、例题的意图分析 例 1（P83 例 2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析 例 1（P83 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得 PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30；因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知QPR=90；PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长 5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习 1小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走 60m 的方向是 。2如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 50 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？BACDPNESQRENABC 16 课 题 勾股定理的逆定理（三）教学目标 1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。七、课后练习 1一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。2一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。课后反思：ABCDDCAB 17 3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。教学重点 重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。教学难点 利用勾股定理及逆定理解综合题。学习流程 讨论完善 三、例题的意图分析 例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造 3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析 例 1（补充）已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC 的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为 0，则都为 0；已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充）已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形 ABCD 的面积。分析：作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5 勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 3（补充）已知：如图，在ABC 中，CD是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD。求证：ABC 是直角三角形。分析：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2 ABCDEBACD 18 六、课堂练习 1若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断ABC 的形状。3 已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且 ABBC。求：四边形 ABCD 的面积。4 已知：在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，且 CD2=AD BD。求证：ABC 中是直角三角形。七、课后练习，1 若 ABC的 三 边 a、b、c 满 足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC 的面积。2在ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：ABC 是等腰三角形。3已知：如图，1=2，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。4已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判定ABC 的形状。课后反思：BCAEDABCD