2023年湘教版九年级数学上册知识点总结归纳全面汇总归纳.pdf

学习必备 精品知识点 九（上）数学知识点答案 第一章 一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化作 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。2、分解因式法（1）分解因式的概念 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据 ab=0，那么 a=0 或 b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤 一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为 0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。3、配方法（1）直接开平方法的定义 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。（2）配方法的步骤和方法 一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。4、公式法（1）求根公式 b2-4ac0 时，x=aacbb242(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a0)；二、计算 b2-4ac的值，当 b2-4ac0 时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。学习必备 精品知识点 命题与证明 二、知识要点梳理 知识点一：定义 要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 知识点二：命题 要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断与判断的正确与否没有关系）知识点三：命题的结构 要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 知识点四：公理 要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”知识点五：定理 要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。知识点六：真命题与假命题 要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。知识点七：证明 要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 知识点八：假命题的判定 要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。知识点九：反证法 要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法 三、规律方法指导 1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可 2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明 3.反证法的适用范围 （1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时 （4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理。四、经典例题透析 类型一：例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；（），两条直线平行吗?(5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则 思路点拨:通过本题熟悉命题的定义 解析：句子(1)(3)(5)(7)对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的 总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。举一反三：【变式 1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若 ab，则；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在 ABC中，若 ABAC，则CB 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程；(6)123 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题 类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；(5)三角形的内角和等于 180；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等 思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去 解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏 （3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180”这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于 180”；(6)“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”AOC 平分线是 OE，DOB 平分线是 OF，判断 OE 和 OF 是在同一条直线上 C 的平分线 OF 互为反向延长线，即 OE、OF 在同一条直线上，但1 3，AOD BOD，A、O、B 不在同一条直线上，不是对顶角，填。类型三：例、证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直”思路点拨:总结步骤：1审题：分清命题的“题设”和“结论”2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证 3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法 4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明 解析：已知：ab，ac，求证：bc 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 证法(一)：ac，(已知)1=90(垂直的定义)ab，(已知)1=2，(两直线平行，同位角相等)2=90，(等量代换)bc(垂直定义)证法(二)：ab，(已知)1=2(两直线平行，同位角相等)ac，(已知)1=90，(垂直定义)2=90，(等量代换)bc(垂直定义)【变式 1】求证：同角的余角相等 已知：2 是1 的余角，3 是1 的余角 求证：2=3 【答案】证明：因为2 与1 互为余角，3 与1 互为余角，(已知)所以2+1=90，3+1=90(余角定义)所以2+1=3+1(等量代换)则 2=3(等量减等量差相等)类型四：例、已知：如右图，直线 l1，l2，l3在同一平面内，且 l1l2，13与 11相交于点 P.求证：13与 l2相交 （使用反证法）思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。解析：证明：假设，13与 l2不相交 ，即 l3 l2 ，又 l1 l2 （已知），过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，假设不成立，即求证的命题成立，13与 12相交 【变式 1】用反证法证明不是有理数 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 【答案】证明：假设是有理数，则可表示为（，为自然数，且互质）两边平方，得 2n2=m2 由知 m2必是 2 的倍数，进而 m必是 2 的倍数 令 m=2p代入式，得 n2=2p2 由知，必是 2 的倍数，m和 n 都是 2 的倍数，则 m、n 不互质，与假定 m、n 互质相矛盾，不是有理数 【变式 2】我们年级有 367 名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日 【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”所以这 367 人就会有不同的 367 天过生日 这就出现了与一年只有 365 天（闰年 366 天）的矛盾 因此反设不成立。所以“至少有两个学生在同一天过生日”第三章 图形的相似 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的 1、线段的比 一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别为，那么把长度的比叫作这两条线段与 的比，记作/，或 ，其中，分别叫作比的前项、后项，如果/的比值为，那么也可写成/，或 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 比例的基本性质：如果/，那么 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形 如果与 相似，且，分别与，对应，那么记作，读作“相似于”相似三角形的对应边的比叫作相似比 判定定理 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 么这两个三角形相似 判定定理 可以简单说成：三边对应成比例的两个三角形相似 判定定理 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似.判定定理 可以简单说成：两角对应相等的两个三角形相似.相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方 判定定理 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条 边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。判定定理 可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。4、相似多边形 把对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形 相似多边形的对应边的比 叫作相似比 相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 取定一点，把图形上任意一点 对应到射线（或它的反向延长线）上 一点 ，使得线段 与 的比等于常数（），点 对应到它自身，这种变换叫作位似变换，点 叫作位似中心，常数 叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形从位似变换和位似的图形的定义立即得出：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比 5、相似多边形的性质 性质 相似多边形的对应边成比例 性质 相似多边形的对应角相等 性质 相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似 比的平方 6、相似多边形的判定 对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似 第四章、解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：C=90A+B=90 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：C=90A=30 BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 A C B D 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 几何表示：ACB=90 D 为 AB的中点 CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：222cba 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CD AB BDADCD2 ABADAC2 ABBDBC2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，C=90 casin斜边的对边AA cbcos斜边的邻边AA batan的邻边的对边AAA abcot的对边的邻边AAA 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0sin1，0cos1，tan0，cot0.锐角三角函数之间的关系（1）平方关系 1cossin22AA（2）倒数关系 tanAtan(90 A)=1（3）弦切关系 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 tanA=AAcossin cotA=AAsincos（4）互余关系 sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A)tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90 A)特殊角的三角函数值 sin cos tan cot 30 12 32 33 3 45 22 22 1 1 60 32 12 3 33 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0 90 之间变化时.（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上.对实际问题的处理（1）俯、仰角.（2）方位角、象限角.（3）坡角、坡度.补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB（2）Rt面积公式：1122Sabch（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc 仰角 俯角 北 东 西 南 h l i i=h/l=tg 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点（4）测底部不可到达物体的高度，解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度(2)有关航行问题(3)计算坝体或边路的坡度等问题 第五章、统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式：普查：对调查对象的全体进行调查；抽样调查：对调查对象的部分进行调查；总体：所要考察对象的全体；个体：总体中每一个考察的对象；样本：从总体中所抽取的一部分个体；样本容量：样本中个体的数目（不带单位）；平均数：对于 n 个数12,nx xx，我们把121()nxxxn 叫做这 n 个数的平均数；中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数；众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；方差：2222121()()()nSxxxxxxn，其中 n 为样本容量，x为样本平均数；标准差：S，即方差的算术平方根；极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率；频数和频率的基本关系式：频率=各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于 1；扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360 该部分占总体的频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、3、分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 百分比；会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图；二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件；2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；3、概率：某件事情 A发生的可能性称为这件事情的概率，记为 P(A)；P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0P(不确定事件)1；概率计算方法：P(A)=例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：袋子中有形状、大小相同的红球 3 个，白球 2 个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P=110 袋子中有形状、大小相同的红球3 个，白球 2 个，取出一个球后放回，1、确定事件 事件 A 发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 A 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次学习必备 精品知识点 再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P=425 分解因式法分解因式的概念当一元二次方程的一边为而另一边易于分解两个一次因式的乘积三设每一个因式分别为得到两个一元二次方程四解骤和方法一移项把方程的常数项移到等号右边二配方程两边都加上一次