2023年求数列通项公式的方法精品讲义例题习题.pdf
学习必备 欢迎下载 求数列的通项公式的方法 1.定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。例 1等差数列na是递增数列，前 n 项和为nS，且931,aaa成等比数列，255aS 求数列na的通项公式.解：设数列na公差为)0(dd 931,aaa成等比数列，9123aaa，即)8()2(1121daadadad12 0d，da 1 255aS 211)4(2455dada 由得：531a，53d nnan5353)1(53 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练：已知数列,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：_；2.公式法：已知nS（即12()naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2 已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn 求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa 当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa 1122(1),nnnaa ,)1(22221nnnaa，.2212 aa 11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa .)1(2 323)2(1 2)1(2)2()2()2()1(21211211nnnnnnnnn 经验证11a也满足上式，所以)1(23212nnna 点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对 n 分类讨论，但若能合写时一定要合并 学习必备 欢迎下载 练一练：已知na的前n项和满足2log(1)1nSn ，求na；数列na满足11154,3nnnaSSa，求na；3.作商法：已知12()na aaf n求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n。如数列na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa_ ；4.累加法：若1()nnaaf n求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa 1a(2)n。例 3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann 分别令)1(,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn 所以naan111 211a，nnan1231121 如已知数列na满足11a，nnaann111(2)n，则na=_ ；5.累乘法：已知1()nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa (2)n。例 4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即 错定义设法求出首项与公差公比后再写出通项练一练已知数列试写出其若能合写时一定要合并学习必备欢迎下载练一练已知的前项和满足求数乘法已知求用累乘法例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个学习必备 欢迎下载 1342312nnaaaaaaaann1433221naan11 又321a，nan32 如已知数列na中，21a，前n项和nS，若nnanS2，求na 6.已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na。1nnakab解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na.解：设 递 推 公 式321nnaa可 以 转 化 为)(21tatann即321ttaann.故 递 推 公 式 为)3(231nnaa,令3nnab，则4311 ab,且23311nnnnaabb 所以nb是以41b为首项，2 为公比的等比数列，则11224nnnb,所以321nna.1nnnakab解法：该类型较类型 3 要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用1nnakab的方法解决.。例 6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa 错定义设法求出首项与公差公比后再写出通项练一练已知数列试写出其若能合写时一定要合并学习必备欢迎下载练一练已知的前项和满足求数乘法已知求用累乘法例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个学习必备 欢迎下载 令nnnab 2，则1321nnbb,应用例 7 解法得：nnb)32(23 所以nnnnnba)31(2)21(32 练一练已知111,32nnaaa，求na；已知111,32nnnaaa，求na；（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。例 7：1,13111aaaannn 解：取倒数：11113131nnnnaaaa na1是等差数列，3)1(111naan3)1(1n231nan 练一练：已知数列满足1a=1，11nnnnaaa a，求na；错定义设法求出首项与公差公比后再写出通项练一练已知数列试写出其若能合写时一定要合并学习必备欢迎下载练一练已知的前项和满足求数乘法已知求用累乘法例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个学习必备 欢迎下载 数列通项公式课后练习 1 已知数列na中，满足 a1，a1n+1=2(an+1)（nN）求数列na的通项公式。2 已知数列na中，an0,且 a1，1nana （nN）3 已知数列na中，a1，a1n21an（nN）求数列na的通项公式 4 已知数列na中，a1，a1n3an，求数列na的通项公式 5 已知数列na中，an，a121，a1nnnaa21 （nN）求 an 6 设数列na满足 a1=4，a2=2，a3=1 若数列nnaa 1成等差数列，求 an 7 设数列na中，a1=2，a1n=2an+1 求通项公式 an 8 已知数列na中，a1=1，2a1n=an+a2n 求 an 错定义设法求出首项与公差公比后再写出通项练一练已知数列试写出其若能合写时一定要合并学习必备欢迎下载练一练已知的前项和满足求数乘法已知求用累乘法例已知数列满足求解由条件知分别令代入上式得个
