2023年九年级相似三角形知识点归纳总结全面汇总归纳及例题讲解.pdf

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a：bm：n（或nmba）2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcba 4、比例外项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例dcba（或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例dcba（或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abba（或 a:b b:c 时，我们把 b 叫做 a 和 d 的比例中项。8.比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba（或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质 1.基本性质:bcaddcba （两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cdabdcba (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项 同时交换内外项 4.合比性质：ddcbbadcba（分子加（减）分母,分母不变）注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca 注意：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立 知识点三：黄金分割 1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），如果ACBCABAC，即AC2=AB BC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中ABAC215 0.618AB。.ABDEABDEBCEFACDF或等2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C使 C是线段 AB的黄金分割点.作法：过点 B作 BD AB，使；连结 AD，在 DA上截取 DE=DB；在 AB上截取 AC=AE，则点 C就是所求作的线段 AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理 (一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.已知 l1l2l3,A D l1 B E l2 C F l3 可得 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由 DE BC 可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。三角形一边的平行线性质定理 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE中 BD CE DEADBCAB简记：下上下上 归纳：AEADACAB 和AEDEACBC推广：类似地还可以得到全上全上和全下全下 EDABC ADBEC 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（1）是“A”字型（2）是“8”字型 经常考，关键在于找 EDCBA FEDCBA 三角形一边的平行线的判定定理 三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDABCAEDCB 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线分线段成比例定理 1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD BE CF,ABDEBCEFABDEBCEFACDFACDF.2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：ADBECFABBCDEDFPP.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形 1、相似三角形 1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如ABC 与DEF 相似，记作ABC DEF。相似比为 k。4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多)判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 直角三角形相似判定定理:1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD =AD BD，AC =AD AB，BC =BD BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.2、相似的应用：位似 1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。例 2、已知ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是角平分线，求证：ABCBCD 例 3：已知，如图，D为ABC内一点连结 ED、AD，以 BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。ABCDEFG1234ABCDABCDEF 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE 例 6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是 BC的中点，DM BC于点 E，交 BA的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22 例 7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。ABCDEFKABCDEM12 例 8：已知：如图 E、F分别是正方形 ABCD 的边 AB和 AD上的点，且31ADAFABEB。求证：AEF=FBD 例 9、在平行四边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线，求证：SQAB，RPBC 例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCD 例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG ABCDEFGABCDSPRQOABCDEFABCDFGE 例 12、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF （答案）例 1 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角），由 ABDG 可得4=G，所以EGCEAB。例 2 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC 是等腰三角形，ABC=C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD 例 3 分析：由已知条件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBE ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD,BCE=BAD CBE ABD BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD DBE和ABC中，CBE=ABD,DBC公用CBE+DBC=ABD+DBC DBE=ABC且BCBE=ABBDDBE ABC 例 4 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形 ABCDEAABBCCDDEE ABCDEFO123 (2)如图：其中1=2，则ADEABC 称为“相交线型”的相似三角形。ABCDE12AABBCCDDEE12412(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA 解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得 AE=a2，在EAF 与ECA 中，AEF 为公共角，且2AEECEFAE所以EAFECA 例 5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，DKAB，DF：FE=BK：BE 又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而 BK：AD=BC：AC 即 DF：FE=BC：AC，DFAC=BCFE 例 6 证明：（1）BAC=900，M是 BC的中点，MA=MC，1=C，DM BC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAE MDA，MAMEMDMA，MA2=MDME，（2）MAE MDA，MDMAADAE，MAMEADAEMDMEMAMEMDMAADAE22 评注：命题 1 如图，如果1=2，那么ABD ACB，AB2=ADAC。命题 2 如图，如果 AB2=ADAC，那么ABD ACB，1=2。例 7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作 DG BA交 CF于 G，得AEF DEG，DGAFDEAE。与结论BFAFFBAFEDAE212相比较，显然问题转化为证FBDG21。证明：过 D点作 DG AB交 FC于 G则AEF DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）DGAFDEAE （1）D为 BC的中点，且 DG BFG为 FC的中点则 DG为CBF的中位线，BFDG21（2）将（2）代入（1）得：FBAFBFAFDEAE221 例 8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明：作 FG BD，垂足为 G。设 AB=AD=3k 则 BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=k23 BEACD12 ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=kDF22BG=kkk2222321BGFGAEAF 又A=FGB=900AEF GBF AEF=FBD 例 9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB，只需证明 AR：AS=BR：DS。证明：在ADS 和ARB 中。DAR=RAB=21DAB，DCP=PCB=21ABCADSABR DSBRASAR 但ADSCBQ，DS=BQ，则BQBRASAR，SQAB，同理可证，RPBC 例 10 分析：要证明 AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD，只要证明ODOFOCOA即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：ABED，BCFEODOBOEOA，OBOFOCOE两式相乘可得：ODOFOCOA 例 11 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明 FC=FG，首先要找出与 FC、FG 相关的比例线段，图中与 FC、FG相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到?FGFC（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明：FGACBE，ABEAGF 则有AEAFBEGF而 FCDE AEDAFC 则有AEAFDECF GFCFAFBEDEAE又BE=DE（正方形的边长相等）DFGFBEBE，即 GF=CF。例 12 证明：CO 平分C，2=3，故 RtCAERtCDO，CDACODAE 又 OFBC，ADABODBF又RtABDRtCAD，ADABCDAC，即ODBFODAEAE=BF。一、选择题 1（2009 年滨州）如图所示，给出下列条件：BACD ；ADCACB；ACABCDBC；2ACAD ABg 其中单独能够判定ABCACD的个数为（）A1 B2 C3 D4 【关键词】三角形相似的判定.【答案】C 2.（2009 年上海市)如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是（）AADBCDFCE BBCDFCEAD CCDBCEFBE DCDADEFAF 【关键词】平行线分线段成比例【答案】A 3.(2009 成都)已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC的面积与DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1【关键词】【答案】B 4.(2009年安顺)如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形【答案】D 5.（2009 重庆綦江）若ABCDEF,ABC 与DEF 的相似比为2，则ABC 与DEF 的周长比为（）A14 B12 C21 D2【关键词】【答案】B 6.（2009 年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（）A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B 7.2009 年宁波市）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）AAOM 和AON 都是等边三角形 B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 【关键词】位似【答案】C 8.（2009 年江苏省）如图，在5 5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（）A先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 【关键词】平移【答案】D 9.(2009 年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为 A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm【关键词】黄金比【答案】A 10.（2009 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA=0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度 BB为 （）A3 米B0.3 米C0.03 米D0.2 米【关键词】相似三角形【答案】B 11.（2009 恩施市）如图，在ABC中，C9060BD ，是AC上一点，DEAB于E，且21CDDE，则BC的长为（）A2 B433 C2 3 D4 3 【关键词】解直角三角形、相似【答案】B D B C A N M O 12.（2009 年甘肃白银）如图 3，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（）A12m B10m C8m D7m 【关键词】相似三角形判定和性质【答案】A 13.（2009 年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90得AOB 已知AOB=30，B=90，AB=1，则 B 点的坐标为 A3 3()22 B33()22 C13()22 D3 1(,)22 【关键词】旋转【答案】A 14.（2009 年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感如图，某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A4cm B6cm C8cm D10cm 【关键词】黄金比【答案】C 15.（2009 年新疆）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）【关键词】相似三角形的判定【答案】A 16.（2009 年天津市）在ABC和DEF中，22ABDEACDFAD ，如果ABC的周长是 16，面积是 12，那么DEF的周长、面积依次为（）A8，3 B8，6 C4，3 D，6【关键词】相似三角形的性质【答案】A 17.(2009 年牡丹江市)如图，ABC中，CDAB于D，一定能确定ABC为直角三角形的条件的个数是（）1A ，CDDBADCD，290B ，3 4 5BCACAB，CDACBDAC A1 B2 C3 D4 A.