2023年2012-2013学年高三数学寒假作业3含超详细解析答案.pdf

数学寒假作业 3 一选择题：1.若条件2:log2px,条件1:0,4xqx则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 2.iii1)21)(1(（）Ai 2 Bi 2 Ci2 Di2 3在各项都为正数的等比数列na中,首项是13a,前三项和为 21,则345aaa()33 72 84 189 4已知函数 1lnaln xf x,x在上为减函数，则实数a的取值范围是（）A10ae B0ae Cae Dae 5某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2 人担任班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是()A73 B74 C75 D76 6.设0 x是方程ln4xx 的解，则0 x属于区间 ()A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）7.若7722107)1(xaxaxaax，则 2753126420)()(aaaaaaaa=（）A.1 B.0 C.-1 D.2 8一水池有 2 个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 （）A B C D 二填空题：本大题共 9 个小题,分必做题和选做题，每小题 5 分，共 30 分 必做题：考生必须作答第 9 至第 13 题 9已知 i，j 为互相垂直的单位向量，a=i 2j，b=i+j，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数的取值范围是 10在直角坐标平面内，由直线1,0,0 xxy和抛物线22yx 所围成的平面区域的面积是 .11在如下程序框图中，输入0()fxcosx，则输出的是_ 12F1、F2是椭圆19222yax的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若PF1F2是等边三角形，则 a2=13.不等式：6|4-x|2-x|22的解集为 选做题：从第 14、15 两道题中选做一题，两题都答的只计算第一题的得分。14极坐标方程分别为sincos2和的两个圆的圆心距为 .15如图，AB是半圆O的直径，C在半圆上，CDAB于D，且DBAD3，设COD，则2tan2 .三、解答题：本大题共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin(x+6)+sin(x 6)+cosx+a 的最大值为 1(1)求常数 a 的值；(2)求使 f(x)0成立的 x 的取值集合；(3)若 x0，求函数的值域 否 是 开始 输入f 0 (x):0i 1():()iif xfx 结束:1ii i=2007 输出 f i (x)A O D B C 组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序 17.(本题满分 12 分)如图所示,有两个独立的转盘()A、()B.两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60、120、180.用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘()A指针对的数为x，转盘()B指针对的数为y.设yx 的值为,每转动一次则得到奖励分分.（）求x1 的概率；()某人玩 12 次，求他平均可以得到多少奖励分？18（本题满分 14 分）如图，已知正三棱柱ABC111CBA的底面边长是2，D是侧棱1CC的中点，直线AD与侧面11BB C C所成的角为45o （）求此正三棱柱的侧棱长；（）求二面角CBDA的大小；（）求点C到平面ABD的距离 ABCD1A1B1C1 3 2 A 3 2 1 B 组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序 19已知数列na满足：,21,121aa且*2,0 1)1(22)1(3Nnaannnn（）求3a，4a，5a，6a的值及数列na的通项公式；（）设nnnaab212，求数列nb的前n项和nS；20（本题满分 14 分）已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1 为半径为圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y=x 对称.（1）求双曲线 C 的方程；组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序（2）若 Q 是双曲线 C 上的任一点，F1、F2为双曲线 C 的左、右两个焦点，从 F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程.（3）设直线 y=mx+1 与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点，另一直线 L 经过 M（2，0）及AB 的中点，求直线 L 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.21（本题满分14分）已知函数)0()(txtxxf和点)0 ,1(P，过点P作曲线)(xfy 的两条切线PM、PN，切点分别为M、N（）设)(tgMN，试求函数)(tg的表达式；（）是否存在t，使得M、N与)1 ,0(A三点共线若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数n，在区间64,2nn 内总存在1m个实数 maaa,21，1ma，使得不等式)()()()(121mmagagagag成立，求m的最大值 组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序 数学 答案及评分标准 一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 40 分 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D C C B A 二、填空题：本大题每小题 5 分(第 12 题前空 2 分，后空 3 分)，满分 30 分 9)21,2()2,(；1053；11 sinx ；12_12 ;13.x|x6;14.25;15.13.三、解答题 16.（本小题满分 12 分）解：(1)f(x)=2sin(x+6)+a 3 分 由 2+a=1 得 a=1 4 分(2)由 f(x)0得 sin(x+6)21，5 分 则Zkkxk,265626 7 分 x|2k x2k +32，kZ 8 分 组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序(3)x0，67,66x 9 分 则21 sin(x+6)1 11 分 故值域 y 2,1 12 分 17（本小题满分 12 分）解：（）由几何概率模型可知：P（x=1）=61、P（x=2）=31、P（x=3）=21；P（y=1）=31、P（y=2）=21、P（y=3）=61.2 分 则 P（x1）=P（y=2）+P（y=3）=21+61=32 所以 P（x1）=P（x1）=91.6 分（）由条件可知的取值为：2、3、4、5、6.则的分布列为：2 3 4 5 6 P 181 367 3613 3611 121.10 分 他平均一次得到的钱即为的期望值：6251216361153613436731812E 所以给他玩 12 次，平均可以得到5012E分.12 分 18.（本小题满分 14 分）解：（）设正三棱柱ABC111CBA的侧棱长为x取BC中点E，连AE ABC是正三角形，AEBC 又底面ABC 侧面11BB C C，且交线为BC AE侧面11BB C C 连ED，则直线AD与侧面11BBC C所成的角为45ADEo 2 分 ABCD1A1B1CEFGHI组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序在AEDRt中，23tan4514AEEDxo，解得2 2x 3 分 此正三棱柱的侧棱长为2 2 4 分 注：也可用向量法求侧棱长（）解法 1：过E作EFBD于F，连AF，AE侧面,11CCBBAFBD AFE为二面角CBDA的平面角 6 分 在BEFRt中，sinEFBEEBF，又 22231,sin32(2)CDBEEBFBD，33EF 又3,AE 在AEFRt中，tan3AEAFEEF 8 分 故二面角CBDA的大小为arctan3 9 分 解法 2：（向量法，见后）（）解法 1：由（）可知，BD平面AEF,平面AEF 平面ABD，且交线为AF，过E作EGAF于G，则EG 平面ABD 10 分 在AEFRt中，2233303103(3)()3AEEFEGAF 12 分 QE为BC中点，点C到平面ABD的距离为2 30210EG 14 分 解法 2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由,CACBDADB，易得平面ABD 平面CHD，且交线为DH过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离 解法 3：（思路）等体积变换:由CABDA BCDVV可求 解法 4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法 2：如图，建立空间直角坐标系xyzo 则(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)ABCD 设1(,)nx y zr为平面ABD的法向量 ABCD1A1B1Cxyzo组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序由0,021ADnABn 得3230yzxyz 取1(6,3,1).n ur 6 分 又平面BCD的一个法向量2(0,0,1).n uu r 7 分 10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos222212121nnnnnn 8 分 结合图形可知，二面角CBDA的大小为10arccos10 9 分（）解法 4：由（）解法 2，1(6,3,1),n ur(0,1,3).CA uuu r10 分 点C到平面ABD的距离11nnCAd2221)3()6()1,3,6()3,1,0(1030214 分 19.（本小题满分 14 分）.解：（）经计算33a，414a，55a，816a 3 分 当n为奇数时，22nnaa，即数列na的奇数项成等差数列，122)1(112nnaan；5 分 当n为偶数，nnaa212，即数列na的偶数项成等比数列，nnnaa)21()21(122 7 分 因此，数列na的通项公式为)()21()(2为偶数为奇数nnnann 8 分 （）nnnb)21()12(，9 分 nnnnnS)21()12()21()32()21(5)21(3211132 （1）1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21nnnnnS（2）10 分（1）、（2）两式相减，组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序得132)21()12()21()21()21(2211 21nnnnS 11)21()12(211)21(1 2121nnn1)21()32(23nn12 分 nnnS)21()32(3 14 分 20（本小题满分 14 分）解：（1）设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx，即 kxy=0 该直线与圆 1)2(22 yx相切，双曲线 C 的两条渐近线方程为xy 2 分 故设双曲线 C 的方程为12222ayax，又双曲线 C 的一个焦点为)0,2(1,2222 aa，双曲线 C 的方程为122yx 4 分（2）若 Q 在双曲线的右支上，则延长 QF2到 T，使|QT|=|OF1|若 Q 在双曲线的左支上，则在 QF2上取一点 T，使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点 T 在以 F2)0,2(为圆心，2 为半径的圆上，即点 T 的轨迹 方程是)0(4)2(22xyx 6 分 由于点 N 是线段 F1T 的中点，设 N（x，y），T（TTyx,）则yyxxyyxxTTTT222,222即 代入并整理得点 N 的轨迹方程为)22(122xyx 8 分（3）由022)1(112222mxxmyxmxy得 令22)1()(22mxxmxf 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程)0,(0)(在xf上有两个不等实根.组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序因此21012012022mmmm解得 10 分 又 AB 中点为)11,1(22mmm 直线 L 的方程为)2(2212xmmy 12 分 令 x=0，得817)41(2222222mmmb)2,1(m )1,22(817)41(22 m 故 b 的取值范围是),2()22,(14 分 21.（本小题满分 14 分）解：（）设M、N两点的横坐标分别为1x、2x，21)(xtxf，切线PM的方程为：)(1()(12111xxxtxtxy，又切线PM过点)0,1(P，有)1)(1()(012111xxtxtx，即02121ttxx，（1）2 分 同理，由切线PN也过点)0,1(P，得02222ttxx（2）由（1）、（2），可得21,xx是方程022ttxx的两根，.,22121txxtxx （*）4 分 22211221)()(xtxxtxxxMN)1(1)(221221xxtxx )1(14)(22121221xxtxxxx，把（*）式代入,得ttMN20202,因此，函数)(tg的表达式为)0(2020)(2ttttg 5 分 组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序（）当点M、N与A共线时，NAMAkk，01111xxtx01222xxtx，即21121xxtx22222xxtx，化简，得0)()(211212xxxxtxx，21xx，1212)(xxxxt （3）7 分 把（*）式代入（3），解得21t 存在t，使得点M、N与A三点共线，且 21t 9 分（）解法1：易知)(tg在区间64,2nn 上为增函数，)64()()2(nngaggi)1,2,1(mi，则)64()()()()2(21nngmagagaggmm 依题意，不等式)64()2(nnggm对一切的正整数n恒成立，11 分)64(20)n6420(n 22022022nnm，即)64()n64(n612nnm对一切的正整数n恒成立，1664nn，3136161661)64()n64(n6122nn，3136m 由于m为正整数，6m 13 分 又当6m时，存在221maaa，161ma，对所有的n满足条件 因此，m的最大值为6 14 分 解法2：依题意，当区间64,2nn 的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值 1664nn，长度最小的区间为16,2，11 分 当16,2ia)1,2,1(mi时，与解法1相同分析，得)16()2(ggm，组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序解得3136m 13 分 后面解题步骤与解法1相同（略）组成现从中选出人担任班长其中至少有名女生当选的概率是设是方程的出水点到点不进水只出水点到点不进水不出水则一定能确定正确的论断直角坐标平面内由直线和抛物线所围成的平面区域的面积是在如下程序