2023年一次函数的性质与图像精品讲义1.pdf
2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象【学习要求】1.进一步认识一次函数，会借助图象分析其性质，理解其定义；2.掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象；3.提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力【学法指导】通过由一次函数的图象探究其性质的过程，提高探索新问题的能力；培养对分类讨论及数形结合的思想方法的应用.填一填：知识要点、记下疑难点 1.一次函数的概念：函数 ykxb(k0)叫做一次函数，它的定义域为 R，值域为 R.2.一次函数 ykxb(k0)的图象是直线，其中 k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在 y 轴上的 截距.一次函数又叫做 线性函数 .3.一次函数的性质：(1)函数值的改变量 yy2y1 与自变量的改变量 xx2x1 的比值等于直线的斜率 k.(2)当 k0 时，一次函数是增函数；当 k0 时，一次函数是 减函数 .(3)当 b0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 b0 时，它既不是奇函数也不是偶函数(4)直线 ykxb 与 x 轴的交点为bk，0，与 y 轴的交点为(0，b).研一研：问题探究、课堂更高效 探究点一 一次函数的概念 问题 1 在初中我们学过一次函数，那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答：函数 ykxb(k0)叫做一次函数，它的定义域为 R，值域为 R.问题 2 一次函数的图象是什么，表达式中的 k，b 的几何意义又是什么？答：一次函数 ykxb(k0)的图象是直线，其中 k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在 y 轴上的截距一次函数又叫做线性函数 例 1 设函数 y(m3)xm26m9m2：(1)m 为何值时，它是一次函数？(2)在(1)的条件下判断函数的增减性 解：(1)由一次函数的表达式知，m30，m26m91.解得 m2 或 m4.(2)当 m2 时，m32310，所以对应的函数是增函数 小结：只有当 k0 时，函数 ykxb 才是一次函数，若已知 ykxb 是一次函数，则隐含着条件 k0.要判断一个多项式函数是不是一次函数只需要两个条件：未知数 x 的最高次为 1 次，x 的系数不为 0.跟踪训练 1 函数 y2mx3m 是正比例函数，则 m_.解析：由正比例函数的定义可知，2m 0，且 3m0，所以 m3.探究点二 一次函数的性质 问题 1 一次函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值与一次函数 ykxb(k0)中的哪个量相等？请说明原因？答：函数值的改变量 y y2y1与自变量的改变量 x x2x1的比值等于直线的斜率 k.在直线 ykxb(k0)上任取两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1kx1b，y2kx2b，两式相减，得 y2y1k(x2x1)，即yxy2y1x2x1k 或 y kx(x2x1)问题 2 斜率 k 的符号与一次函数单调性有怎样的关系？答：当 k0 时，一次函数是增函数；当 k0 时，一次函数是减函数 问题 3 在一次函数 ykxb(k0)中，b 的取值对函数的奇偶性有怎样的影响？答：当 b0 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 b0 时，它既不是奇函数也不是偶函数 问题 4 一次函数 ykxb(k0)的图象与坐标轴的交点坐标是怎样的？答：直线 ykxb 与 x 轴的交点为bk，0，与 y 轴的交点为(0，b)例 2 已知一次函数 y3x12.求：(1)一次函数 y3x12 的图象与两条坐标轴交点的坐标；(2)x 取何值时，y0?(3)当 y 的取值限定在(6,6)内时，x 允许的取值范围 解：(1)当 y0 时，x4；当 x0 时，y12.所以一次函数 y3x12 的图象与两条坐标轴交点坐标分别为(4,0)、(0,12)(2)由 3x120，得 x4.(3)由63x126，得6x2.小结：一次函数 ykxb(k0)与一元一次方程及一元一次不等式是密切联系的，一次函数与x 轴交点的横坐标即为相应的一元一次方程的解，一次函数图象在 x 轴下面的部分对应的 x 的范围就是不等式 kxb0 的解集 跟踪训练 2 已知一次函数 y2x1，(1)当 y3 时，求 x 的范围；(2)当 y 3,3 时，求 x 的范围；(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积 解：(1)由题意知，2x13，解之，得 x1；(2)因 y 3,3，所以32x13，解之，得2x1；(3)一次函数 y2x1 与两个坐标轴的交点分别为12，0、(0,1)，所以图象与两坐标轴围成的三角形的面积 S1212114.探究点三 一次函数的应用 例 3.对于每个实数 x，设 f(x)取 y4x1，yx2，y2x4 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解析式，并求出 f(x)的最大值 解：分别解出三条直线的交点，y4x1，yx2，得 A13，73.y4x1，y2x4，得 B12，3.yx2，y2x4，得 C23，83.观察函数图象，当 x13时，直线 y4x1的图象在最下面，所以 f(x)4x1，同理，当1323时，f(x)2x4.所以 f(x)4x1，x13，x2，1323.由图象观察可知，当 x23时，f(x)有最大值，最大值为83.小结：在本例中，由于 f(x)取 y4x1，yx2，y2x4 三个函数中的最小值，要判断三个函数中哪一个最小，只有在同一坐标系内画出三条直线的图象，观察图象，在各段线段中处在最下面的几段线段组成的图象就是 f(x)的图象，观察 f(x)图象的最高点的纵坐标即为 f(x)的最大值 跟踪训练 3 对于每个实数 x，设 f(x)取 y3x5，yx5，y2x8 三个函数中的最大值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求出 f(x)的最小值 解：在同一坐标系内作出 y3x5，yx5，y2x8 的图象(如图所示)，它们的交点分别为 A、B、C.解方程组 y3x5，y2x8，得 C35，345.过 C点作 y 轴的平行线 x35，由图可知，在直线 x35左边，y2x8 的图象在最上面，即当 x35时，f(x)2x8；在直线 x35右边，y3x5 的图象在最上面，即当 x35时，f(x)3x5，因此，f(x)2x8，x35，3x5，x35.观察 f(x)的图象可知，f(x)min345.函数的图象探究其性质的过程提高探索新问题的能力培养对分类讨论及做该直线在轴上的截距一次函数又叫做线性函数一次函数的性质函数值是偶函数与轴的交点为直线与轴的交点为研一研问题探究课堂更高效探 练一练：课堂检测、目标达成落实处 1.过点(3，m)、(m，4)的一次函数的斜率为25，则实数 m 的值是()A2 B4 C0 D2 解析：由yx4mm325，得 m2.2.函数 ykx1 与 ykx在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的()解析：在 A中，直线是上升的，知 k0，由曲线的位置知k0，即 k0，故选 B.3.对于函数 y5x6，y 的值随 x 的值减小而_ 解析：由于一次函数的斜率 50，所以一次函数是增函数，所以 y 值随 x 的减小而减小 课堂小结：1.正比例函数 ykx(k为常数，k0)的图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求的图象 2.一次函数 ykxb(k，b 为常数，k0)图象的画法：在 y 轴上取点(0，b)，在 x 轴上取点bk，0，过这两点的直线即为所求的图象 3.正比例函数 ykx(k 为常数，k0)与一次函数 ykxb(k，b 为常数，k0)的单调性为：当 k0 时，是增函数；当 k0 时，是减函数.函数的图象探究其性质的过程提高探索新问题的能力培养对分类讨论及做该直线在轴上的截距一次函数又叫做线性函数一次函数的性质函数值是偶函数与轴的交点为直线与轴的交点为研一研问题探究课堂更高效探
