2023年《概率论与数理统计》课后习题超详细解析答案.pdf

优秀学习资料 欢迎下载 第一章：10从0,1,2,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A 三个数字中不含 0 和 5，2A 三个数字中不含 0 或 5，3A 三个数字中含 0 但不含 5.解3813107()15CP AC.333998233310101014()15CCCP ACCC，或 182231014()1()115CP AP AC ，2833107()30CP AC.16设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3P AP B，求()P AB与()P AB 解()1()1()()0.3P ABP ABP AP B 因为,A B不相容，所以AB，于是()()0.6P ABP A 20设()0.7,()0.3,()0.2P AP A BP BA，求()P AB与()P AB.解0.3()()()0.7()P ABP AP ABP AB，所以()0.4P AB，故()0.6P AB；0.2()()()0.4P BP ABP B.所以()0.6P B ()1()1()()()0.1P ABP ABP AP BP AB 22设ABC，试证明()()()1P AP BP C 证 因为ABC，所以()()()()()()()1P CP ABP AP BP ABP AP B 故()()()1P AP BP C.证毕.19设,A B C是三个事件，且1()()(),()()04P AP BP CP ABP BC，1()8P AC，求,A B C至少有一个发生的概率。解()()()()()()()()P A BCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 因为0()()0P ABCP AB，所以()0P ABC，于是 315()488P ABC 22随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求x与y之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.解01,01xy ，不等式确定平面域S.1y 优秀学习资料 欢迎下载 A 1,0.09xyxy 则A发生的 充要条件为01,10.09xyxy 不 等式确定了S的子域A，故 0.90.10.9()(1)AP Axdxx 的面积S的面积 0.40.18ln 30.2 第二章 4从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概率.解设A至少有 3 张黑桃，iB 5 张中恰有i张黑桃，3,4,5i，则 345ABBB，所求概率为 555345()()(|)()()P ABP BP BAP AP BBB51332415133913391391686CC CC CC.5设()0.5,()0.6,(|)0.8P AP BP B A求()P AB与()P BA.解()()()()1.1()(|)1.1 0.40.7P ABP AP BP ABP A P B A()()()0.60.40.2P BAP BP AB.6甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解设A从乙袋中取出的是白球，iB 从甲袋中取出的两球恰有i个白球0,1,2i.由全概公式 001122()()(|)()(|)()(|)P AP BP A BP BP A BP BP A B 11223232222555416131021025C CCCCCC .7一个盒子中装有 15 个乒乓球，其中 9 个新球，在第一次比赛时任意抽取 3 只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取 3 只球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率。解设A第二次取出的均为新球，iB 第一次取出的 3 个球恰有i个新球0,1,2,3.i 由全概公式 00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P AP B P A BP B P A BP B P A BP B P A B 33123213336996896796333333331515151515151515CCC CCC CCCCCCCCCCCC 5280.0895915.17三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是1 1 1,5 3 4，求他们将此密码译出的概率.证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 解1设A将密码译出，iB 第i个人译出1,2,3.i 则 1231231213()()()()()()()P AP BBBP BP BP BP B BP B B 23123111111111()()534535434P B BP B B B 11130.65345 .35一台仪器中装有 2000 个同样的元件，每个元件损坏的概率为 0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000 个元件为 2000 重贝努里试验。1np，利用泊松逼近定理，所求概率为 2000200012000111()0.63216!kkppkek 第三章 9设随机变量X的概率密度为 sin,0,()0,cxxf x 其他.求：（1）常数C；（2）使()()P XaP Xa成立的a.解（1）001()sincos2f x dxcxdxcxc，12c；（2）1111()sincoscos2222aaP Xaxdxxa ，001111()sincoscos,2222aaP Xaxdxxa 可见cos0a，2a 13设电子管寿命X的概率密度为 2100,100,()0,100.xxf xx 若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初 150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。解Y为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数，(3,)YBp，其中 15021001001(150)3pP Xdxx，（1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333P YP YP YC 727；证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载（2）Y的分布列为3312()33kkkP YkC ，0,1,2,3,k 即 01238126127272727YP .（3）Y的分布函数为 0,0,8,012720(),12,2726,23,271,3.xxF xxxx 16设随机变量2,5XU，现对X进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解设Y为三次观测中，观测值大于 3 的观测次数，则(3,)YBp，其中 532(3)523pP X，所求概率为 232321220(2)(2)(3)33327P YP YP YC 18 一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数()N t服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。解（1）设T的分布函数为()TFt，则()()1()TFtP TtP Tt 事件()Tt表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故()0N t，于是 0()()1()1()0)11,00!ttTtFtP TtP N teet ，可见，T的分布函数为 1,0,()0,0.tTetFtt 即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为 168816,8(16)(16|8)(8)(8)P TTP TeP TTeP TPe.证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 19设随机变量2(108,3)XN。求（1）(101.1117.6)PX；（2）常数a，使()0.90P Xa；（3）常数a，使(|)0.01PXaa。解（1）117.6108101.1 108(101.1117.6)()()33PX (3 2)(2 3)(3 2)(2 3)1 0.99930.9893 10.9886；（2）1080.90()()3aP Xa，查表知 1081.283a，所以111.84a；（3）0.01(|)1(|)1(02)PXaaPXaaPXa 21081(),3a 所以 2108()0.993a，查正态分布表知 21082.333a，故57.495a。20设随机变量2(2,)XN，且(24)0.3PX，求(0)P X。解420.3(24)()(0)PX ，所以2()0.8，0222(0)()()1()0.2P X 。28设(0,1)XU，求（1）XYe的概率密度；（2）2lnYX的概率密度。解X的密度为 1,01,()0,Xxfx 其它.（1）xye在(0,1)上单调增，反函数为()lnh yy，所以Y的密度为 1,1,()0,.Yyeyfy 其他（2）2lnyx在(0,1)上单调减，反函数为2()yh ye，所以Y的密度为 21,0,()20,0.yYeyfyy 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 31设随机变量X的概率密度为 22,0,()0,.xxf x 其它 求sinYX的概率密度.解1函数sinyx在(0,2上单调增，反函数为1()arcsinhyy 在(,)2上单调减，反函数为2()arcsinhyy.Y的概率密度为：2211()(arcsin)(arcsin)11Yfyfyfyyy 22222arcsin122arcsin1,01,110,yyyyy 其他.22,01,10,.yy 其他 解2设Y的分布函数为()YFy，则()()(sin)(arcsinarcsin)YFyP YyPXyP XyXy (arcsin)1(arcsin)P XyP Xy (arcsin)1(arcsin)XXFyFy 所以 2211()(arcsin)(arcsin)11Yfyfyfyyy 22,01,10,yy 其他.第四章 5已知随机变量X和Y的联合概率密度为 4,01,01(,)0,.xyxyf x y 其它 求X和Y的联合分布函数.解1设(,)X Y的分布函数为(,)F x y，则 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载(,)(,)xyF x yf u v dudv001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1,1.xyxyxyuvdudvxyuydudyxyxvdxdvxyxy 或 22220,00,01,01,01,1,1,01,1,1,1.xyx yxyxxyyxyxy 或 解2由联合密度可见，,X Y独立，边缘密度分别为 2,01,()0,;Xxxfx 其他2,01,()0,.Yyyfy 其它 边缘分布函数分别为(),()XYFxFy，则 20,0,()(),01,1,1.xXXxFxfu duxxx 20,0,()(),01,1,1.yYXyFyfv dvyyy 设(,)X Y的分布函数为(,)F x y，则 22220,00,01,01(,)()(),01,1,1,01,1,1,1.XYxyx yxyF x yFxFyxxyyxyxy 或 7设(,)X Y的概率密度为,0,(,)0,.yexyf x y 其他 求边缘密度和概率(1)P XY 解 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 0,0,0,0,()(,),0.,0;Xxyxxxfxf x y dyexe dyx 00,0,0,0,()(,),0.,0;yYyyyyfyf x y dxyeye dxy 111122001(1)(,)()xyxxxx yP XYf x y dxdye dy dxee e dx 1121 2ee.8一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知,X Y的联合分布函数为：0.50.50.5()1,0,0(,)0,.xyxyeeexyF x y其他（1）问,X Y是否独立？为什么？（2）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率.解（1）先求边缘分布函数：0.51,0,()lim(,)0,0.xXyexFxF x yx 0.51,0,()lim(,)0,0.yYxeyFyF x yy 因为(,)()()XYF x yFxFy，所以,X Y独立.（2）(0.1,0.1)(0.1)(0.1)1(0.1)1(0.1)P XYP XP YP XP Y 0.050.050.1eee.18设,X Y相互独立，其概率密度分别为 1,01,()0,;Xxfx 其他,0,()0,0.yYeyfyy 求XY的概率密度.解1设ZXY，由卷积分式，Z的概率密度为()()()ZXYfzfzy fy dy,0,01,()()0,.yXYeyzyfzyfy 其它 不等式0,01yzy 确定平面域D如图.当0z 时，()0Zfz 当01z 时，0()zyZfze dy 01zyzee 1 0 z y 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 当1z 时，1()(1),zyzZzfzedyee 综上所述 0,0,()1,01,(1),1.zZzzfzezeez 解2变量代换法：()()()ZXYfzfx fzx dx，注意到当01x 时()Xfx=1，有 110()()()()()u z xzZXYYYzfzfx fzx dxfzx dxfu du 令 1(),zYzfu du 因 0,0,(),0.Yuufueu 所以，当0z 时，()0Zfz，当01z 时，0()1zuzZfze due，当1z 时，1()(1)zuzZzfze duee.综上所述 0,0()1,01,(1),1.zZzzfzezeez 解3分布函数法：设Z的分布函数为()ZFz，则()()()()()ZXYx y zFzP ZzP XYzfx fy dxdy 001000,0,01,1,zz yyz xyze dydxze dydxz 当时,当时,当时 0,0,1,01,1,1.zzzzzezee ez y x+y=1 1 0 x x+y=0 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 Z的概率密度为 0,0()()1,01,(1),1.zZZzzfzFzezeez 36设X关于Y的条件概率密度为 23|3/,0,(|)0,.X Yxyxyfx y 其他 而Y的密度为 45,01,()0,.Yyyfy 其他 求1()2P X 解(,)X Y的概率密度为 2|15,01,(,)(|)()0,.X YYx yxyf x yfx yfy 其他 112121()152xP Xx ydxdy 2121214715.264xxdx 第五章 6设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.（4）,01,()2,12,0,.xxf xxx 其他（4）223122220111128(2)313333xEXx dxxxdxx ,1223230112114(2)(81)(161)43412EXx dxxxdx ,所以 1411126DX .20设,X Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 2,01()0,;Xxxfx 其他(5),5,()0,5.yYeyfyy 求(),()E XYD XY 解120223EXx dx，1 1/2 y x证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 6EY （注：因为参数为 1 的指数分布的数学期望为 1，而()Yfy是前指数分布向右平移了 5 个单位，所以1 56EY ）因,X Y独立，所以 2643EXYEXEY .今求DXY 方法 1222()DXYEX YEXY 122320162()16EX EYx dxDYEY 137513616162.5222.方法 2 利用公式：当,X Y独立时 22()()DXYDX DYDX EYDY EX 11413612.5.18189 31 设,X Y Z为 三 个 随 机 变 量，且1,1,EXEYEZDXDY 1DZ，110,22XYXZYZ，若WXYZ 求,EWDW.解()1EWE XYZEXEYEZ ()2cov(,)2cov(,)2cov(,)DWD X Y ZDXDY DZX YX ZY Z 11321213.22 39设(,)X Y为二维正态变量1,0,4,9EXEYDXDY，cov(,)3X Y，求(,)X Y的概率密度.解(,)X Y的相关系数为3162，所以(,)X Y的密度为 2214(1)(1)(,)exp646963xxyyf x y 2211exp(9186649)546 3xxxyyy 42若0.004DX，利用切比雪夫不等式估计概率(|0.2)PXEX.解由切比雪夫不等式 20.004(|0.2)110.9(0.2)0.04DXPXEX 第六章 17 求总体(20,3)N的容量分别为 10，15 的两个独立样本均值差的绝对值大于 0.3 的概率。证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 解设1X和2X为两个独立样本的均值，则13(20,)10XN，23(20,)15XN于是1215(0,)30XXN即121(0,)2XXN 1212(|0.3)1(|0.3)PXXPXX 0.30.31()()1/21/2 22(0.42)22 0.66280.6744 第七章 5设总体的密度为(1),01,(;)0,.xxf x 其他 试用样本12,nXXX求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：111210011(1),22EXxdxx 解出得 111 2,1 所以的矩估计为 1 21XX.再求极大似然估计：1121(,;)(1)(1)()nnniniL XXxx xx，1lnln(1)lnniiLnx，1lnln01niidLnxd，解得的极大似然估计：1(1)lnniinx .25零件尺寸与规定尺寸的偏差2(,)XN，令测得 10 个零件，得偏差值（单位：微米）2,1,2,3,2,4,2,5,3,4，试求2,的无偏估计值和置信度为 0.90 的置信区间。解的无偏估计为1011210iiXX 2的无偏估计为221110 45.7789niiSX 的置信区间为 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出优秀学习资料 欢迎下载 0.050.05(9),(9)1010SSXtXt 0.052,2.404,(9)1.8331103.1623XSt 所以的置信度为 0.90 的置信区间为 2.4042.404(21.8331,2 1.8331)(0.6064,3.3935)3.16233.1623；2的置信区间为 2222/21/2(1)(1)(1)(1)nSnSnn 220.050.95(9)16.919,(9)3.325 所以2的置信度 0.90 下的置信区间为 52.00252.002(3.075,15.6397)16.9193.325.第八章 2 某种零件的尺寸方差为21.21，对一批这类零件检查 6 件得尺寸数据（毫米）：32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50 毫米（0.05）.解问题是在2已知的条件下检验假设0:32.50H 0H的否定域为/2|uu 其中 32.5029.4632.502.456.771.1Xun 0.0251.96u，因|6.771.96u，所以否定0H，即不能认为平均尺寸是 32.5 毫米 证因为所以故证毕设是三个事件且至少有一个发生的概率求解于是所以式确定了的子域故的面积的面积第二章从张朴克牌中任意抽取张求在至球放入乙袋再从乙袋中任取一球求该球是白球的概率解设从乙袋中取出