2023年一元二次方程知识点总结归纳+考点+题型全面汇总归纳1.pdf

名师总结 优秀知识点 一元二次方程专题复习 考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax 难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A 12132xx B 02112xx C 02cbxax D 1222xxx 变式：当k 时，关于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。针对练习：1、方程782x的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程021mxm是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 112xmxm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知322yy的值为 2，则1242 yy的值为 。例 2、关于 x 的一元二次方程 04222axxa的一个根为 0，则 a 的值为 。例 3、已知关于 x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为 。例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则 m 的值为 。针对练习：1、已知方程0102 kxx的一根是2，则 k 为 ，另一根是 。2、已知关于 x 的方程022 kxx的一个解与方程311xx的解相同。求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m 是方程012xx的一个根，则代数式 mm2 。4、已知a是0132 xx的根，则 aa622 。5、方程 02acxcbxba的一个根为（）A 1 B 1 C cb D a 6、若yx则yx324,0352 。考点三、解法 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次 类型一、直接开方法：mxmmx,02 对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题：例 1、解方程：;08212x 216252x=0;09132x 名师总结 优秀知识点 例 2、若 2221619xx，则 x 的值为 。针对练习：下列方程无解的是（）A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x 类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如 22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx 典型例题：例 1、3532xxx的根为（）A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x 例 2、若 044342yxyx，则 4x+y 的值为 。变式 1：2222222,06b则ababa 。变式 2：若032yxyx，则 x+y 的值为 。变式 3：若142yxyx，282xxyy，则 x+y 的值为 。例 3、方程062xx的解为（）A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx 例 4、解方程：04321322xx 例 5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。变式：已知023222yxyx,且0,0 yx,则yxyx的值为 。针对练习：1、下列说法中：方程02qpxx的二根为1x，2x，则)(212xxxxqpxx )4)(2(862xxxx.)3)(2(6522aababa )()(22yxyxyxyx 方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以71与71为根的一元二次方程是（）A0622 xx B0622 xx C0622 yy D0622 yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：4、若实数 x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（）A、-1或-2 B、-1或 2 C、1 或-2 D、1 或 2 5、方程：2122xx的解是 。6、已知06622yxyx，且0 x，0y，求yxyx362的值。7、方程012000199819992xx的较大根为 r，方程01200820072xx的较小根为 s，则 s-r的值为 。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例例方程针对练习方程的一次项系数是常数项是若方程是关于的一元一次等的未知数的值就是方程的解应用利用根的概念求数式的值典型例题例名师总结 优秀知识点 例1、试用配方法说明322 xx的值恒大于 0。例2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例4、分解因式：31242 xx 针对练习：1、试用配方法说明47102xx的值恒小于 0。2、已知041122xxxx，则xx1 .3、若912322xxt，则 t 的最大值为 ，最小值为 。4、如果4122411bacba,那么cba32 的值为 。类型四、公式法 条件：04,02acba且 公式：aacbbx242,04,02acba且 典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132x .863xx 0142 xx 01432 xx 5211313xxxx 例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx.22542yxyx 说明：对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成 cbxax2=)(21xxxxa.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用 求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知0232 xx，求代数式 11123xxx的值。例 2、如果012xx，那么代数式7223 xx的值。例 3、已知a是一元二次方程0132 xx的一根，求1152223aaaa的值。例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.065)1(,6222yxyxyx 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例例方程针对练习方程的一次项系数是常数项是若方程是关于的一元一次等的未知数的值就是方程的解应用利用根的概念求数式的值典型例题例名师总结 优秀知识点 考点四、根的判别式acb42 根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。例 2、关于 x 的方程 0212mmxxm有实数根，则 m 的取值范围是()A.10且mm B.0m C.1m D.1m 例 3、已知关于 x 的方程 0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.例 5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式92 kxx是完全平方式。2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022 mxmx有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.5、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程03212mxxm 有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m 为 。例2、不解方程，判断关于 x 的方程 3222kkxx根的情况。例 3、如果关于 x 的方程022 kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题 典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例例方程针对练习方程的一次项系数是常数项是若方程是关于的一元一次等的未知数的值就是方程的解应用利用根的概念求数式的值典型例题例名师总结 优秀知识点 3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313）4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时 36 分到达 A 地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系 前提：对于02cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。主要内容：acxxabxx2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822 xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3 B.3 C.6 D.6 例 2、已知关于 x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知ba，0122 aa，0122 bb，求 ba 变式：若0122 aa，0122 bb，则abba的值为 。例 5、已知,是方程012xx的两个根，那么34 .针对练习：1、解方程组)2(5)1(,322yxyx 为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例例方程针对练习方程的一次项系数是常数项是若方程是关于的一元一次等的未知数的值就是方程的解应用利用根的概念求数式的值典型例题例名师总结 优秀知识点 2已知472 aa，472 bb)(ba，求baab的值。3、已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例例方程针对练习方程的一次项系数是常数项是若方程是关于的一元一次等的未知数的值就是方程的解应用利用根的概念求数式的值典型例题例