2023年三角函数第一章第一节练习题.pdf

学习必备 欢迎下载 2已知角 =45；（1）在区间720，0 内找出所有与角 有相同终边的角 ；（2）集合，那么两集合的关系是什么？解答题（共 16 小题）1（1）设 90 180，角 的终边上一点为 P（x，），且 cos=x，求 sin与 tan的值；（2）已知角 的终边上有一点 P（x，1）（x 0），且 tan=x，求 sin，cos 学习必备 欢迎下载 3填写下表 4已知 =（1）写出所有与 终边相同的角；（2）写出在（4，2）内与 终边相同的角；（3）若角 与 终边相同，则是第几象限的角？出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 5（2006 上海）已知 是第一象限的角，且，求的值 6（2005 黑龙江）已知 为第二象限的角，为第一象限的角，求 tan（2 ）的值 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 7（难）已知 sin=，cos=，试确定 的象限 8把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）135 （2）出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 9已知 AB=2a，在以 AB 为直径的半圆上有一点 C，设 AB 中点为 O，AOC=60 （1）在上取一点 P，若BOP=2，把 PA+PB+PC 表示成 的函数；（2）设 f（）=PA+PB+PC，当 为何值时 f（）有最大值，最大值是多少？出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 10（2008 上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C处，且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD，已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6分钟，若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）11如图所示动点 P、Q 从点 A（4，0）出发沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点 Q 按顺时针方向每秒钟转弧度，求 P、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标 P、Q 点各自走过的弧长 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 12如果把地球看成一个球体，求地球上北纬 60 纬线长和赤道线长的比值 13一个水平放着的圆柱形水管，内半径是 12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含 150（如图），求这个截面上有水部分的面积（取 =3.14）出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 14已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R（1）若 =60，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值 c（c0），当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 15已知扇形的周长是 8，（1）若圆心角 =2，求弧长 l（注）（2）若弧长为 6，求扇形的面积 S 16（2011 福建）设函数 f（）=，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P（x，y），且 0（I）若点 P 的坐标为，求 f（）的值；（II）若点 P（x，y）为平面区域 ：，上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 f（）的最小值和最大值 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 参考答案与试题解析 一解答题（共 16 小题）1（1）设 90 180，角 的终边上一点为 P（x，），且 cos=x，求 sin与 tan的值；（2）已知角 的终边上有一点 P（x，1）（x 0），且 tan=x，求 sin，cos 考点：任意角的概念。专题：计算题。分析：（1）由题意求点 P 和原点之间的距离 r=，再由余弦函数的定义列出方程，求出 x 的值，再根据角的范围确定 x 的值，再根据任意角的三角函数定义求出 sin与 tan的值；（2）根据正切函数的定义，列出方程求出 x 的值，因 x 的值有两个故分两种情况，根据任意角的三角函数定义求出 sin，cos 的值 解答：解：（1）由题意知，r=，cos=，x=，解得 x=0 或 x=90 180，x0，因此 x=故 r=2，sin=，tan=（2）的终边过点（x，1），tan=，又tan=x，x2=1，解得 x=1 当 x=1 时，sin=，cos=；当 x=1 时，sin=，cos=点评：本题考查了任意角的三角函数定义，即由角的终边上的一点坐标表示出该角的三角函数值 2已知角 =45；（1）在区间720，0 内找出所有与角 有相同终边的角 ；（2）集合，那么两集合的关系是什么？考点：终边相同的角；集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。分析：（1）所有与角 有相同终边的角可表示为 45+k 360（k Z），列出不等式解出整数 k，即得所求的角（2）先化简两个集合，分整数 k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系 解答：解析：（1）由题意知：=45+k 360（k Z），则令72045+k 3600，得765k 36045 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 解得 从而 k=2 或 k=1 代回 =675 或 =315 （2）因为 M=x|x=（2k+1）45，k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N=x|x=（k+1）45，k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N 点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k，代回求出所求解；（2）可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论 3填写下表 考点：终边相同的角。分析：解题时要注意 弧度等于 180，用这个关系可以计算出准确数值，尽量不要用近似数，判断角所在的象限，要把角根据终边相同的角的表示方法 +360k 把角转化到 0 360，轻松判断，用表示的 +360k 形式，使它属于（4），解不等式得出适合条件的角，要做的准确无误 解答：点评：讲某角是第几象限角时，前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的终边与 x 轴的非负半轴重合，在这个前提下，才能由终边所在象限来判断某角是第几象限角若终边落在坐标轴上，它不属于任意象限 4已知 =（1）写出所有与 终边相同的角；出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载（2）写出在（4，2）内与 终边相同的角；（3）若角 与 终边相同，则是第几象限的角？考点：终边相同的角。专题：计算题；数形结合。分析：（1）有与 终边相同的角可以写成 2k+，k Z（2）令4 2k+2（k Z），解出整数 k，从而求得在（4，2）内与 终边相同的角（3）根据 =2k+（k Z），求得=k+（k Z），即可判断是第几象限的角 解答：解：（1）所有与 终边相同的角可表示为|=2k+，k Z （2）由（1）令4 2k+2（k Z），则有 2 k1 又k Z，取 k=2，1，0 故在（4，2）内与 终边相同的角是、（3）由（1）有 =2k+（k Z），则=k+（k Z），当 k 为偶数时，在第一象限，当 k 为奇数时，在第三象限 是第一、三象限的角 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想 5（2006 上海）已知 是第一象限的角，且，求的值 考点：象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦。专题：计算题；综合题。分析：利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出 sin，代入求值即可 解答：解：=由已知可得 sin，原式=点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 6（2005 黑龙江）已知 为第二象限的角，为第一象限的角，求 tan（2 ）的值 考点：象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数。分析：先求 tan，再求 tan2，然后求 tan，应用两角差的正切公式求解即可 解答：解：为第二象限角，sin=，cos=，tan=，tan2=，又 为第一象限角，cos=，sin=，tan=，tan（2 ）=点评：本题考查象限角，同角三角函数的基本关系，两角和与差的正切函数，是中档题 7（难）已知 sin=，cos=，试确定 的象限 考点：象限角、轴线角；半角的三角函数。分析：本题考查的知识点是象限角的判断，及二倍角公式，由 sin=，cos=，我们易得 的正弦值与余弦值，然后根据 的正弦值与余弦值，我们易得 所在的象限 解答：解：sin=，cos=，又由 sin=2sin cos=0 cos=cos2sin2=0 故 是第四象限角 点评：要判断 角的位置，我们可以先确定 角的三角函数值，然后再根据结论进行判断：sin：第一、二象限为正，第三、四象限为负；cos：第一、四象限为正，第二、三象限为负；tan：第一、三象限为正，第二、四象限为负；8把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）135 （2）考点：弧度与角度的互化。专题：计算题。分析：直接利用角度与弧度的互化，求解即可 解答：解：135=135=180=660 故答案为：；660 点评：本题考查弧度与角度的互化，考查计算能力，是基础题 9已知 AB=2a，在以 AB 为直径的半圆上有一点 C，设 AB 中点为 O，AOC=60 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载（1）在上取一点 P，若BOP=2，把 PA+PB+PC 表示成 的函数；（2）设 f（）=PA+PB+PC，当 为何值时 f（）有最大值，最大值是多少？考点：弧度制的应用。专题：计算题。分析：（1）在三角形中使用余弦定理求出 PA、PB、PC 的长度，使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简 （2）利用两角和差的三角公式进一步化简 f（）的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式，利用正弦函数的最值，求出 f（）的最大值，并求出此时 的值 解答：解：（1）由题意知，AB 为直径的半圆的半径为 a，0 2 120，060，PAO 中，由余弦定理得 PA=2acos ，同理可求得 PB=2asin，PC=2asin（60 ），PA+PB+PC=2asin +2acos+2asin（60 ）=2asin+2acos+2a（cos sin）=asin+（2+）acos （2）f（）=PA+PB+PC=asin +（2+）acos=2a（sin+cos）令 cos=，sin=，则 f（）=2asin（+），取锐角 ，则 =arcsin45，故 当 =90 arcsin时，sin（+）=1 取得最大值，此时，f（）取最大值 2a 点评：本题考查余弦定理、二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式的应用，以及利用正弦函数的有界性求函数的最值，要注意 的范围 10（2008 上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C处，且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD，已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6分钟，若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）考点：弧长公式。分析：连接 OC，由 CDOB 知CDO=60，可由余弦定理得到 OC 的长度 解答：解：法一设该扇形的半径为 r 米，连接 CO 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），CDO=60 在CDO 中，CD2+OD22CD OD cos60=OC2 即，出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 解得（米）答：该扇形的半径 OA 的长约为 445 米 法二连接 AC，作 OHAC，交 AC 于 H，由题意，得 CD=500（米），AD=300（米），CDA=120 在CDO 中，AC2=CD2+AD22 CD AD cos120=AC=700（米）（6 分）在直角HAO 中，AH=350（米），（米）答：该扇形的半径 OA 的长约为 445 米 点评：本题主要考查用余弦定理求三角形边长 11如图所示动点 P、Q 从点 A（4，0）出发沿圆周运动，点 P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点 Q 按顺时针方向每秒钟转弧度，求 P、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标 P、Q 点各自走过的弧长 考点：弧长公式；任意角的三角函数的定义。专题：计算题。分析：根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长公式及 l=R 求出两个点走过的弧长 解答：解：设 P、Q 第一次相遇时所用的时间是 t，则 t+t|=2 t=4（秒），即第一次相遇的时间为 4 秒 设第一次相遇点为 C，第一次相遇时 P 点已运动到终边在 4=的位置，则 xC=cos 4=2，yC=sin 4=2 C 点的坐标为（2，2），P 点走过的弧长为 4=，Q 点走过的弧长为 4=点评：本题考查了圆周运动的问题，认真分析题意列出方程，即第一次相遇时两个动点走过的弧长和是圆周，这是解题的关键，考查了分析和解决问题的能力 12如果把地球看成一个球体，求地球上北纬 60 纬线长和赤道线长的比值 考点：弧长公式。专题：计算题。分析：设出地球的半径，求出北纬 60 纬圆半径，即可求出其纬线长和赤道线长的比值 解答：解：设地球的半径为 R，那么对应的赤道线的大圆的半径为 R，而对应的北纬 60 纬线所在的小圆的半径为 R，那么它们对应的长度之比为 R：R=即所求比值为 点评：不同考查地球经纬度的关系，是基础题 13一个水平放着的圆柱形水管，内半径是 12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含 150（如图），求这个截面上有水部分的面积（取 =3.14）考点：扇形面积公式。专题：计算题。分析：先求截面圆的面积，再求扇形的面积，再解三角形面积，最后解弓形面积即可 解答：解：O 的面积=OA2=144（cm2）扇形 OACB 的面积=OAB 的面积=出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 弓形 ACB 的面积=60 36 60 3.1436=152.4（cm2）故截面有水部分的面积为 152.4cm2 点评：本题考查扇形的面积公式，是基础题 14已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R（1）若 =60，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值 c（c0），当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？考点：扇形面积公式。专题：综合题。分析：（1）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积；（2）法一：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于 的表达式，利用基本不等式解答即可 法二：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于弧长 l 的表达式，利用二次函数的最值求出最大值，以及圆心角解答即可 解答：解：（1）设弧长为 l，弓形面积为 S弓，=60=，R=10，l=（cm），S弓=S扇S=10 102 sin60 =50（）（cm2）（2）法一：扇形周长 c=2R+l=2R+R，R=，S扇=R2=（）2=当且仅当 =，即 =2（=2 舍去）时，扇形面积有最大值 法二：由已知 2R+l=c，R=（lc），S=Rl=l=（cll2）=（l）2+，当 l=时，Smax=，此时 =2，当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形面积有最大值 点评：本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，基本不等式以及二次函数的应用，利用基本不等式求最值需要满足“正、定、等”的条件；二次函数注意 x 的范围；考查计算能力 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 15已知扇形的周长是 8，（1）若圆心角 =2，求弧长 l（注）（2）若弧长为 6，求扇形的面积 S 考点：扇形面积公式；弧长公式。专题：计算题。分析：（1）直接利用，求出扇形的弧长（2）求出扇形的半径，利用面积公式求出扇形的面积 解答：解：扇形的周长是 8，（1）若圆心角 =2，弧长 l，所以 l=2r，l+2r=8，所以 l=4，；（2）若弧长为 6，半径 r=1，所以扇形的面积 S=点评：本题是基础题，考查扇形的周长与面积的计算问题，正确利用公式是解题的关键 16（2011 福建）设函数 f（）=，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P（x，y），且 0（I）若点 P 的坐标为，求 f（）的值；（II）若点 P（x，y）为平面区域 ：，上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 f（）的最小值和最大值 考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值。专题：综合题；转化思想。分析：（I）由已知中函数 f（）=，我们将点 P 的坐标代入函数解析式，即可求出结果（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出 角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数 f（）的最小值和最大值 解答：解（I）由点 P 的坐标和三角函数的定义可得：于是 f（）=2 （II）作出平面区域 （即感触区域 ABC）如图所示 其中 A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是 0 f（）=出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 且 故当，即时，f（）取得最大值 2 当，即 =0 时，f（）取得最小值 1 点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟学习必备 欢迎下载 出在内与终边相同的角若角与终边相同则是第几象限的角学习必备欢迎把角度化为弧度学习必备欢迎下载已知在以为直径的半圆上有一点设中置在点及点处且小区里有一条平行于的小路已知某人从沿走到用了分钟