2023年专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第三讲函数的图象与性质.pdf

学习必备 欢迎下载 第三讲 函数的图象与性质 1函数的三要素：定义域、值域、对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数 2函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设 x1，x2a，b，那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f x1 f x2x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f x1 f x2x1x20 x0得，函数定义域为0,1)2(2013 山东)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)等于()A2 B0 C1 D2 答案 A 解析 f(1)f(1)(11)2.3(2013 四川)函数 yx33x1的图象大致是 ()答案 C 解析 由 3x10 得 x0，函数 yx33x1的定义域为x|x0，可排除选项 A；当 x1 时，y 13131320，可排除选项 B；当 x2 时，y1，当 x4 时，y6480，但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选 C.4 (2013 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 yex关于 y 轴对称，则 f(x)等于 ()Aex1 Bex1 Cex1 Dex1 答案 D 解析 与 yex图象关于 y 轴对称的函数为 yex.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得 yex的图象f(x)的图象由yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1.5(2013 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 的 解集用区间表示为_ 答案(5,0)(5，)解析 由已知 f(0)0，当 x0 时，f(x)f(x)x24x，因此 f(x)x24x，x0 x24x，xx 等价于 x0 x24xx，或 xx 解得：x5 或5x0.题型一 函数及其表示 例 1 (1)若函数 yf(x)的定义域是0,2，则函数 g(x)f 2xln x的定义域是 ()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)(2)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x0，x1，故 x(0,1)(2)首先讨论 1a,1a 与 1 的关系，当 a1,1a0 时，1a1，所以 f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为 f(1a)f(1a)，那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 所以 2a3a1，所以 a32(舍去)综上，满足条件的 a34.反思归纳(1)求函数定义域的方法：根据具体函数 yf(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)，求解即可；根据抽象函数求定义域时：a.若已知函数 f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出 b.若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b时的值域(2)求复合函数的函数值，要先内后外；分段函数问题要准确代入函数的解析式，如不能确定要进行讨论 互动探究 若将例 1(2)中“f(1a)f(1a)”变为“f(1a)f(1a)”，则 a 的取值范围是_ 答案 a34或 a0 解析 当 a0 时，由 f(1a)f(1a)得：(22a)a1a2a，解得 a32.所以 a0，当 a0.变式训练 1 设函数 g(x)x22(xR)，f(x)g x x4，xg x，g x x，xg x，则 f(x)的值域是 ()A94，0(1，)B0，)C94，)D94，0(2，)答案 D 解析 由 xg(x)得 xx22，x2；由 xg(x)得 xx22，1x2.f(x)x2x2，x2，x2x2，1x2.即 f(x)x12274，x2，x12294，1x2.当 x2；当 x2 时，f(x)8.当 x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，)那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 当1x2 时，94f(x)0.当 x1,2时，函数的值域为94，0 综上可知，f(x)的值域为94，0(2，)题型二 函数的图象问题 例 2 已知 f(x)2x 1x0，x 0 x1，则下列函数的图象错误的是 ()审题破题 可以先画出函数 f(x)的草图，然后变换得到其它函数的图象，也可以利用特殊点进行排除 答案 D 解析 先在坐标平面内画出函数 yf(x)的图象，再将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个长度单位即可得到 yf(x1)的图象，因此 A 正确；作函数 yf(x)的图象关于 y 轴的对称图形，即可得到 yf(x)的图象，因此 B 正确；yf(x)的值域是0,2，因此 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象重合，C 正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当 0 x1时，yf(|x|)x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项 D 不正确 反思归纳(1)作图：应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成 (2)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究 变式训练 2 已知函数 f(x)2x2，则函数 y|f(x)|的图象可能是 ()那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 答案 B 解析 函数 f(x)2x2 是把函数 y2x的图象向下平移两个单位得到的图象，由 2x20得 x1，即在(，1)上，函数 f(x)2x2 的图象位于 x 轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方后得到函数 y|f(x)|的图象故选 B.题型三 函数的性质问题 例 3 (1)(2012 山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 013)等于 ()A335 B337 C1 678 D2 012(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x2，若对任意的 x2 2，2 2，不等式 f(xt)2f(x)恒成立，则实数 t 的取值范围是 ()A 2，)B(，2 C43 2，)D(，243 2，)审题破题(1)先判断函数的周期性，再求函数值；(2)利用函数 f(x)的单调性先脱去 f，然后分离 t，再求最值得 t 的范围 答案(1)B(2)B 解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解 f(x6)f(x)，T6.当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)12 0106335.而 f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(1)f(2)f(3)2，f(1)f(2)f(2 013)3352337.(2)设 x0.f(x)(x)2，又f(x)是奇函数，f(x)x2.f(x)在 R 上为增函数，且 2f(x)f(2x)那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 故 f(xt)2f(x)f(2x)xt 2x 在2 2，2 2上恒成立，由于 xt 2x(21)xt，要使原不等式恒成立，只需(21)(2 2)t t 2即可 反思归纳(1)周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件：当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)；T 是所在正周期中最小的一个(2)函数的单调性往往和不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间，必要时可以利奇偶性作适当变换；去掉函数符号“f”然后求解 变式训练 3(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于()A1 B1 C2 D2 答案 A 解析 由于函数 f(x)的周期为 5，所以 f(3)f(4)f(2)f(1)，又 f(x)为 R 上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.(2)已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则 x 的取值范围为_ 答案(2，23)解析 易知原函数在 R 上单调递增，且为奇函数，故 f(mx2)f(x)0f(mx2)f(x)f(x)，此时应有 mx2xmxx20，对所有 m2,2恒成立，令 g(m)xmx2，此时只需 g 2 0g 2 0即可，解之得2x0，0，x0，x2mx，x0 时，x0，0，x0，x22x，x0 时，f(x)x22x(x1)21，当 x1，)时，f(x)单调递减；当 x(0,1时，f(x)单调递增 9 分 当 x1，a21，解之得 10 或 x0，从而x0，这样可代入解析式求 m.(2)本题可通过 f(x)的图象直观地看出函数 f(x)的单调区间有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点”处函数值的大小 1(2012 天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR 且 x0 Cyexex2，xR Dyx31，xR 答案 B 解析 利用逐项排除法求解 选项 A 中函数 ycos 2x 在区间0，2上单调递减，不满足题意；那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 选项 C 中的函数为奇函数；选项 D 中的函数为非奇非偶函数，故选 B.2(2013 山东)函数 yxcos xsin x 的图象大致为 ()答案 D 解析 函数 yxcos xsin x 为奇函数，排除 B.取 x2，排除 C；取 x，排除 A，故选 D.3 如果函数 f(x)ax22x3 在区间(，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是()Aa14 Ba14 C14a0 D14a0 答案 D 解析 当a0 时，f(x)2x3，在定义域R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为直线 x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 aa14.综合得14a0.4 设 f(x)为偶函数，对于任意的 x0 的数，都有 f(2x)2f(2x)，已知 f(1)4，那么f(3)等于 ()A2 B2 C8 D8 答案 D 解析 f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当 x1 时，f(21)2 f(21)，f(3)248，f(3)8.5 若偶函数 f(x)在(，0)内单调递减，则不等式 f(1)1，即 lg x1 或 lg x10 或 0 x110.6 已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足以下三个条件：对于任意的 xR，都有 f(x4)f(x)；对于任意的 x1，x2R，且 0 x1x22，都有 f(x1)f(x2)；函数 yf(x2)的图象关于 y 轴对称则下列结论中正确的是 ()Af(4.5)f(7)f(6.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(7)f(6.5)f(4.5)Df(4.5)f(6.5)f(7)答案 A 解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x2 对称的函数 f(4.5)f(412)f(12)，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(452)f(52)又 f(x)在0,2上为增函数 所以作出其在0,4上的图象知 f(4.5)f(7)f(6.5)专题限时规范训练 一、选择题 1 已知函数 f(x)lg(1x)的定义域为 M，函数 y1x的定义域为 N，则 MN ()Ax|x1 Dx|x1 答案 A 解析 Mx|x1，Nx|x0，MNx|x1不关于原点对称，故选 D.4(2013 湖南)函数 f(x)2ln x 的图象与函数 g(x)x24x5 的图象的交点个数为()A3 B2 C1 D0 答案 B 解析 画出两个函数 f(x)，g(x)的图象，由图知 f(x)，g(x)的图象的交点个数为 2.5 设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 ()A1,2 B0,2 C1，)D0，)答案 D 解析 当 x1 时，21x2，解得 x0，所以 0 x1；当 x1 时，1log2x2，解得 x12，所以 x1.综上可知 x0.6 已知函数 f(x)a3 x5，x1，2ax，x1是(，)上的减函数，那么 a 的取值范围是()A(0,3)B(0,3 C(0,2)D(0,2 答案 D 解析 由题意，得 a30，a352a，解得 00，12log6x0.解得 0 x 6.10(2012 陕西)设函数 f(x)x，x0，12x，x0，则 f(f(4)_.答案 4 解析 f(f(4)f124f(16)4.11(2012 上海)已知 yf(x)x2是奇函数，且 f(1)1.若 g(x)f(x)2，则 g(1)_.答案 1 解析 yf(x)x2是奇函数，f(x)(x)2f(x)x2，那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 f(x)f(x)2x20.f(1)f(1)20.f(1)1，f(1)3.g(x)f(x)2，g(1)f(1)2321.12设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x)ax1，1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f12f32，则 a3b 的值为_ 答案 10 解析 因为 f(x)的周期为 2，所以 f32f322 f12，即 f12f12.又因为 f1212a1，f12b22121b43，所以12a1b43.整理，得 a23(b1)又因为 f(1)f(1)，所以a1b22，即 b2a.将代入，得 a2，b4.所以 a3b23(4)10.三、解答题 13已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2 的图象关于点 A(0,1)对称(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)xax，且 g(x)在区间0,2上为减函数，求实数 a 的取值范围 解(1)f(x)的图象与 h(x)的图象关于点 A(0,1)对称，设 f(x)图象上任意一点坐标为 B(x，y)，其关于 A(0,1)的对称点 B(x，y)，则 xx20，yy21，xx，y2y.B(x，y)在 h(x)上，yx1x2.2yx1x2，那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期学习必备 欢迎下载 yx1x，即 f(x)x1x.(2)g(x)x2ax1，g(x)在0,2上为减函数，a22，即 a4.a 的取值范围为(，4 14一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)用 表示铁棒的长度 L()；(2)若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值 解(1)根据题中图形可知，L()2cos 2sin，0，2.(2)本题即求 L()的最小值 L()2cos 2sin 2sin cos sin cos.令 tsin cos ，t(1，2，原式可化为 L(t)4tt214t1t.因为 L(t)为减函数，所以 L(t)L(2)4 2.所以铁棒的最大长度为 4 2 m 那么在上是增函数在上是减函数若函数和都是减函数则在公共定义域内这个函数才能具有奇偶性是偶函数的图象关于轴对称是奇函数的图象关线对称在的公共定义域上奇奇奇偶偶偶奇奇偶偶偶偶奇偶奇函数的周期