2023年1997考研数学三真题和详解.pdf

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)(1)设()(ln)f xyfx e,其中f可微,则dy _.(2)若12201()1()1f xxf x dxx,则10()f x dx _.(3)差分方程12tttyyt 的通解为_.(4)若二次型2221231231223(,)22f x x xxxxx xtx x是正定的,则t的取值范围是_.(5)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布2(0,3)N,而19,XX和19,YY分别是来自总体XY和的简单随机样本,则统计量192219XXUYY 服从_分布(2 分),参数为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设561 cos20()sin,()56xxxf xt dt g x,则当0 x 时,()f x是()g x的 ()(A)低阶无穷小 (B)高阶无穷小(C)等价无穷小 (D)同阶但不等价的无穷小(2)若()()()fxf xx ,在(,0)内()0fx,且()0fx,则在(0,)内有 ()(A)()0fx,()0fx (B)()0fx,()0fx (C)()0fx,()0fx (D)()0fx,()0fx (3)设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ()(A)12,23,31 (B)12,23,1232 (C)122,2323,313 (D)123 ,1232322,123355(4)设,A B为同阶可逆矩阵,则 ()(A)ABBA (B)存在可逆矩阵P,使1PAPB(C)存在可逆矩阵C,使TC ACB (D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQB(5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：111,2P XP Y 1P X 112P Y,则下列各式中成立的是 ()(A)12P XY (B)1P XY(C)104P XY (D)114P XY 三、(本题满分 6 分)在经济学中,称函数 1()(1)xxxQ xAKL 为固定替代弹性生产函数,而称函数 1QAK L 为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 CD生产函数).试证明：但0 x 时,固定替代弹性生产函数变为 CD生产函数,即有 0lim()xQ xQ.四、(本题满分 5 分)设(,)uf x y z有连续偏导数,()yy x和()zz x分别由方程0 xyey 和0 xexz所确定,求dudx.五、(本题满分6 分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨),x为销售量(单位：吨),商品的成本函数31Cx(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)t为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分 6 分)设函数()f x在0,)上连续、单调不减且(0)0f,试证函数 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时01(),0,()0,0,xnt f t dtxF xxx若若 在0,)上连续且单调不减(其中0n).七、(本题满分 6 分)从点1(1,0)P作x轴的垂线,交抛物线2yx于点1(1,1)Q；再从1Q作这条抛物线的切线与x轴交于2P,然后又从2P作x轴的垂线,交抛物线于点2Q,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;,;nnP Q P QP Q.(1)求nOP；(2)求级数1 122nnQ PQ PQ P 的和.其中(1)n n 为自然数,而12M M表示点1M与2M之间的距离.八、(本题满分 6 分)设函数 f t在0,)上连续,且满足方程 222242241()()2txytf tefxy dxdy,求()f t.九、(本题满分 6 分)设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数.记分块矩阵 0,TTEAPQAAb，其中A是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1TAb.十、(本题满分 10 分)设三阶实对称矩阵A的特征值是 1,2,3；矩阵A的属于特征值 1,2 的特征向量分别是总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时12(1,1,1),(1,2,1)TT .(1)求A的属于特征值 3 的特征向量；(2)求矩阵A.十一、(本题满分 7 分)假设随机变量X的绝对值不大于 1；111,184P XP X ；在事件 11X出现的条件下,X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X的分布函数()F xP Xx.十二、(本题满分 6 分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在0,60上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分 6 分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度()f t、数学期望和方差.总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()1lnlnf xefxfx fx dxx【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln)f xyfx e 可知 ()()()1lnln1lnln.f xf xf xdyfx edxfx efx dxxefxfx fx dxx (2)【答案】4 【分析】本题中10()f x dx是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令10()f x dxA,则221()11f xAxx,两边从 0 到 1 作定积分得 11220011dxAAx dxx10arctan444xAA ,解得4A.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分1201x dx表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】(2)2ttyCt 【解析】对应的齐次差分方程是10ttyy,显然有不恒等于零的特解1ty.因方程的右端函数()2tf tt,可设非齐次差分方程的特解有形式()2tyAtB,代入方程得 (2)22,0,1,2,.ttAtABtt由于20t,于是 2,0,1,2,.AtABtt 可确定1,2AB,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2tyt.从而,差分方程的通解是(2)2ttyCt .(4)【答案】22t 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时【解析】二次型123(,)f x x x对应的矩阵为 210112012tAt.因为f正定A的顺序主子式全大于零.又 2123211211112,At ,故f正定21102t,即22t.(5)【答案】t分布,参数为 9【解析】由19,XX是来自总体X的简单随机样本,故19,XX独立,且都服从正态分布2(0,3)N.类似有19,YY相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N.又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即 219(,)XXXN .其中19()()E XE XX,219()()D XD XX.由期望的性质,19129()()0E XE XXEXEXEX ；由独立随机变量方差的性质,21919()()81D XD XXDXDX ,故2(0,9)XN.因219,(0,3)YYN,故0(0,1),(1,2,9)3iYNi,所以,2921(9)3iiYY .由t分布的定义,现已有2(0,9)XN,将其标准化得0(0,1)9XN,故09(9)9XtY.化简有(9)9XtY,即191922221919(9)19()9XXXXtYYYY .总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aXbYcaE XbE Yc,其中,a b c为常数.2.方差的性质：X与Y相互独立时,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.3.2分布的定义：若1,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则 22(1)iZ,221()niiZn.4.若2(,)ZN u,则(0,1)ZuN.5.t分布的定义：若(0,1)XN,2()Yn,X Y独立,则()XTt nYn.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 0()lim()xf xg x就能判断出正确的选项.【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得 1 cos2205640005244000sin()(sin)sin(1cos)limlimlim()(1)5611(1cos)4limlimlim0,1xxxxxxxt dtf xxxxxg xxxxxxxxx 故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限 ()lim()xlx,(1)若0,l 称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l 称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时(3)若0,l 称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法 1：由()()fxf x(,)知,()f x的图形关于y轴对称.由在(,0)内,0fx且()0fx 知,()f x的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)内,()f x的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法 2：由()()fxf x 可知()(),()()fxfxfxfx .当(0,)x时,(,0)x ,此时由题设知0fx ,()0fx ,则()0,()0,(0,)fxfxx,故应选(C).方法 3：排除法.取2()f xx,易验证()f x符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法 4：由题设可知()f x是一个二阶可导的偶函数,则()fx为奇函数,()fx为偶函数,又在(,0)内()0,()0fxfx,则在(0,)内()0,()0fxfx,故应选(C).(3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,)(,)C 技巧相结合.【解析】对于(A),1223310 ,即存在一组不全为零的数 1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,线性相关,排除(A)；对于(B),122312320 ,即存在一组不全为零的数 1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,2 线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k,k,k,使得 11222331322330kkk,总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时整理得 13112223322330.kkkkkka 已知1,2,3线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330kkkkkk 因的系数行列式101220120033,故有唯一零解,即1230kkk.故原向量组122,2323,313 线性无关.应选(C).或者也可以将122,2323,313 用123,线性表出,且写成矩阵形式,有1223311231231012,23,3,220,033C 记,120C,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由1,2,3线性无关知122,2323,313 线性无关.(4)【答案】(D)【解析】方法 1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若10100302A,B,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若10100302A,B,则 111012030206AB ,101111020306BA,ABBA.故(A)不成立；应取(D).方法 2：因,A B是同阶(设为n)可逆阵,故有 r Ar Bn,而 r Ar B,A B等价存在可逆阵P,Q使得PAQB.(这里只需取1PA,QB,既有1PAQA BAB成立),故应选(D).总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时或者,因,A B是同阶可逆阵,故,A B均可以通过初等行变换化成单位阵,AE,BE,行变换行变换 即存在初等阵1212srPP,P,P,WW,WW,使得 PAE,WBE,从而有PAEWB,得1PAWPAQB1WQ.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因X和Y相互独立,而 1111,1122P XP YP XP Y ,故有：1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y ；1111,111224P XYP XP Y ；1111,11,1442P XYP XYP XY ,故(A)正确,(B)错；11101,11,1442P XYP XYP XY ,故(C)错；11111,11,1442P XYP XYP XY ,故(D)错.三、(本题满分 6 分.)【分析】要证明0lim()xQ xQ,只须证明0lim ln()lnxQ xQ即可,因为()Q x为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算.【解析】因为1ln()lnln(1)xxQ xAKLx,而且 001ln(1)limln(1)lnlim(1)ln(1)lnln(),xxxxxxxxKLxKKLLKLKLK L 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时所以,110limln()lnln()ln()xQ xAK LAK L,于是,10lim()xQ xAK LQ.四、(本题满分 5 分.)【解析】由题设有 duff dyf dzdxxy dxz dx.(*)在0 xyey 中,将y视为x的函数,两边对x求导,得 2()011xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy.(1)在0zexz中,将z视为x的函数,两边对x求导,得 0zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxyx .(2)将(1)、(2)两式代入()式,得 21dufyfzfdxxxyyxyxz.【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)uu x y和(,)vv x y在点(,)x y处偏导数存在,函数(,)zf u v在对应点(,)u v具有连续偏导数,则复合函数(,),(,)zf u x y v x y在点(,)x y处的偏导数存在,且,zfufvzfufvxuxvxyuyvy .五、(本题满分 6 分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x后,满足0()0 x的0 x即为利润最大时的销售量,此时,0()x t是t的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()Ttx t,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t.【解析】(1)设T为总税额,则Ttx.商品销售总收入为 2(70.2)70.2Rpxx xxx.总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时利润函数为 2270.2310.2(4)1RCTxxxtxxt x .令()0 x,即0.440 xt ,得45(4)0.42txt.由于()0.40 x ,因此,5(4)2xt即为利润最大时的销售量.(2)将5(4)2xt代入Ttx,得5(4)2Ttt 25102tt.由()1050T tt ,得惟一驻点2t；由于()50Tt ,可见当2t 时T有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分 6 分)【分析】当0 x 时,()F x显然连续,故只要证0lim()(0)xF xF,且当0 x 时,()0Fx 即可.【解析】方法 1：显然0 x 时,()F x连续,又由洛必达法则知 0000()lim()limlim()0(0)xnnxxxt f t dtF xx f xFx,所以()F x在0,)上连续.当(0,)x时,11022()()()()(),0 xnnnnxf xt f t dtxf xfxF xxxx .由于()f x单调不减,故()()f xf,又nnx,从而()()nnx f xf.于是有()00F xx .故()F x在0,)上单调不减.方法 2：连续性证明同上.由于 10200022()()()()()()()0,xnnxxxnnnnxf xt f t dtF xxx f x dtt f t dtx f xt f t dtxx 可见,()F x在0,)上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于()F x的不同处理方法.总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时O 3P 2P 1P x 1Q2Q 3Q 1 2yx y【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.七、(本题满分 6 分)【分析】先作出草图,再求出曲线2yx在任一点2(,)a a上的切线方程及其与x轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.【解析】(1)由2yx,得2yx.对于任意(01)aa,抛物线2yx在点2(,)a a处的切线方程为 22()yaa xa.且该切线与x轴的交点为(,0)2a,故由11OP 可见 21322111,2211 11,22 221.2nnOPOPOPOPOP (2)由于22211124nnnnnQ POP ,可见 11101144mnnnnnmQ P .利用几何级数求和公式01(1)1nnxxx即得 1011414314mnnnmQ P .【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分 6 分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时2222222200041()()2()222ttxytrrfxydxdydfrdrrfdr ,可得2240()2()2ttrf terfdr.在积分中作换元2rs,又有 200()4()2ttrr fdrsf s ds.于是,()f t满足积分关系式240()8()ttf tsf s dse.在上式中令0t 得(0)1f.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t求导,得 24()8()8tf ttf tte.上述方程为关于()f t的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得 224()(4)tf ttC e,其中常数C待定.由(0)1f可确定常数1C,因此,224()(41)tf tte.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()ttF tf x dx,()t,()t均一阶可导,则 ()()()()()F ttfttft.2.一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()yp x yq x,其通解公式为 ()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.九、(本题满分 6 分)【解析】(1)由*AAA AA E及1*AA A,有*10.0TTTTTTEAAPQAAA AAAb AbAA bA(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 0TEPAAA,总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时2110TTAP QPQAbAA bA 又因A是非奇异矩阵,所以0A,故1TQA bA.由此可知Q可逆的充要条件是0Q,即10TbA,亦即1TAb.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA是 1 阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 *,*AOAA BBOB *1*mnOAAA BBBO.2.行列式乘积公式：设,A B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即ABA B.十、(本题满分 10 分)【解析】(1)设A的属于3的特征向量为3123Tx,x,x,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故 1312323123020TTxxx,xxx.解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B,对B进行初等行变换：111111101121030010B,系数矩阵的秩为 2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为 1,解得 1 0 1T,即A的对应于3的特征向量为 31 0 1Tk,其中k为非零常数.(2)方法 1：令123111120111P,则有1100020003PAP,即1AP P,其中1P计算如下：总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时 21131131222313131121111 100111100120 010031110111 0010021011111103332211010011111030101022636001001111100222P E 2 得 122211216303P,11111002221325111200201212102661110033035213AP P .方法 2：因A是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q(对P单位化),使1TQ AQQ AQ,TAQ Q,其中11136212036111362Q.111111362333100121210020366660031111103622211111136233313251224210210263666652111133036222TAQ Q 3.方法 3：由于矩阵A的特征值是 1,2,3,特征向量依次为123,利用分块矩阵有 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时123123(,)(,2,3)A .因为123,是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵123(,)可逆.故 11123123123111(,2,3)(,)1401201231111232221325111401212102.661233035213A 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出3,另一个难点就是反求矩阵A.十一、(本题满分 7 分)【分析】求分布函数()F xP Xx实质上是求Xx的概率.【解析】由X的绝对值不大于 1,可得 当1x 时,()0F xP Xx；当1x 时,()1F xP Xx；又111,184P XP X ,则 115 111111848PxP XP X ；由题意X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X的值属于(1,1)的条件下,事件1Xx 的条件概率为：(1)11|111(1)2xxPXxXkk(其中k为比例正常数),又 11|111PXX ,而 1 111|112PXXkk ,所以1k,故11|112xPXxX；当11x 时,1111XxXxX ,所以 11,11PXxPXxX .总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时由条件概率公式,有 11,111|11 111555,2816PXxPXxXPXxXPXxx ()11F xP XxP XPXx ,而 11111088P XP XP X ,所以 15557()1181616xxF xP XxP XPXx ,故所求的X的分布函数为0,157(),11161,1xxF xxx .十二、(本题满分 6 分)【解析】已知X在0,60上均匀分布,则其密度函数为：1,160,()600,xf x 其他.设Y表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第 5 分钟,25 分钟,55 分钟起行,则 当05X时,游客需等候时间5YX；当525X时,游客需等候时间25YX；当2555X时,游客需等候时间55YX；当5560X时,游客需等候时间60565YXX (这个时间段到达,就需要等下个整点的第分钟,所以是605X).故Y是关于到达时刻X的函数：5,05,25,525,()55,2555,65,5560.XXXXYg XXXXX 由随机变量函数期望的定义,有 525556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601(12.520045037.5)11.67.60EYg x f x dxg x dxg x dxx dxx dxx dxx dx 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量()Yg X,且EY存在,则有()()EYg x f x dx.十三、(本题满分 6 分)【解析】设12XX和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12TXX.由于每台无故障工作的时间都服从参数为的指数分布,则12XX和的概率密度函数为 55,0()0,0 xexf xx.因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12XX和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当0t 时,T的概率密度为 55()5120()()()2525txt xtf tf x f tx dxeedxte.当0t 时,()0f t,即 525,0,()0,0.ttetf tt 由指数分布的期望和方差的结论,有 12115EXEX,1221125DXDX,由期望的性质,有 1212112()555ETE XXEXEX ,由独立随机变量方差的性质,有 1212112()252525DTD XXDXDX.【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若X服从参数为的指数分布,则其期望1EX,方差21DX.2.X与Y相互独立,数学期望和方差的性质:()()()E aXbYcaE XbE Yc,22()()()D aXbYca D Xb D Y,其中,a b c为常数.总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时 总体和的简单随机样本则统计量服从分布分参数为二选择题本题共小题等价的无穷小若在内且则在内有设向量线性无关则下列向量中线性无关中称函数为固定替代弹性生产函数而称函数为生产函数简称生产函数时