2023年东北师大附属中学高三第一轮复习超详细导学案--命题及其关系充分条件必要条件教师版1.pdf
pq命题及其关系,充分条件,必要条件(教案)A 一、知识梳理：（阅读教材选修 2-1第 2 页第 13 页）1、四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句，具有“若 P,则 q 的形式；（2）、一般地用 P或 q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示 P和 q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。2、充分条件、必要条件与充要条件（1）“若 p，则 q”为真命题，记，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则 p 是 q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。3、判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法（1）、且 q ，则 p 是 q 的 充分不必要条件 ；pqpqqppq（2）、且 ，则 p 是 q 的 必要不充分条件 ；（3）、且 ，则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件；（4）、且 ，则 p 是 q 的 充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件 p 的元素构成集合 A，满足条件 q 的元素构成集合 B；（1）、若 A ，则 p 是 q 的 充分条件 若 ，则 p 是 q 的必要条件;（2）、若 A ，则 p 是 q 的充要条件 ；（3）、若 A ，且 A ，则 p 是 q 的充分不必要条件；q 是 p 的必要不充分条件；（4）、若 A ，且 ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ；二、题型探究 探究一：四种命题的关系与命题真假的判断 例 1；设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数，若 p=q，m=n，则 pm=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假 解：逆命题：“已知 p、q、m、nR，若 pm=qn，则 p=q，m=n(假)否命题：“已知 p、q、m、nR，若 pq，mn，则 pmq n”(假)逆否命题：“已知 p、q、m、nR，若pmq n，则 pq 或 mn”(真)注:否命题“若 pq，mn”应理解为“pq或 mn”即是指：pq，但 m=n，p=q但 mn，而不含 pq 且 mn 因为原命题中的条件：“若 p=q，m=n ”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“pq或mn”例 2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若 ab=0，则 a=0 或 b=0。解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。真命题；逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等或不等高。假命题。（2）逆命题：若 a=0 或 b=0，则 ab=0。真命题；否命题：若 ab0,则 a0 且 b0.真命题；逆否命题：若 a0 且 b0，则 ab0。真命题。探究二:充分必要条件的判定 题否命题逆否命题四种命题的关系两个互为逆否命题的真假是相同的原充要条件判断充分性与必要性的方法一定义法且则是的充分不必要条件合满足条件的元素构成集合若则是的充分条件若若则是的充要条件若且qp例 3：“”是“直线相互垂直”的（）A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案：B；解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要条件都存在时中有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。探究三：利用充分、必要条件解决待定系数问题 例 4：已知 p：,q:,若 是 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围。解:P:-2 ;q:1-m m+1 由题意可知：P是 q 的充分不必要条件，所以 所以，m|3m9 探究四：充要条件的探究与证明 例 5求证方程 ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为 a0 或 a=1.分析：（1）讨论 a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求 a 的取值范围.解答：充分性：当 a=0 时，方程变为 2x+1=0,其根为 x=12,方程只有一个负根；当 a=1 时，方程为 x2+2x+1=0.其根为 x=-1,方程只有一个负根。21m03)2()2(013)2(ymxmmyxm与直线12m 12m 12m 12,k k12.1k k 12,k k题否命题逆否命题四种命题的关系两个互为逆否命题的真假是相同的原充要条件判断充分性与必要性的方法一定义法且则是的充分不必要条件合满足条件的元素构成集合若则是的充分条件若若则是的充要条件若且当 a0,方程有两个不相等的根，且1a0,方程有一正一负根。必要性：若方程 ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当 a=0 时，适合条件。当 a0 时，方程 ax2+2x+1=0有实根，则=4（1-a）0，a1,当 a=1 时，方程有一个负根 x=-1.若方程有且仅有一负根，则110aa a0 综上方程 ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为 a0 或 a=1 注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。三、方法提升 1、判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题是同真同假，2、判断命题充要条件的三种方法（1）、定义法（2）、等价法：（3）、利用集合间的包含关系 3、（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；题否命题逆否命题四种命题的关系两个互为逆否命题的真假是相同的原充要条件判断充分性与必要性的方法一定义法且则是的充分不必要条件合满足条件的元素构成集合若则是的充分条件若若则是的充要条件若且（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。四、思想感悟：。五、课后作业：一 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的相思诗,在这 4 句诗中,哪句可作为命题(A)A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思 解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这 4 句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A 2.“|x-1|2 成立”是“x(x-3)0 成立”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题否命题逆否命题四种命题的关系两个互为逆否命题的真假是相同的原充要条件判断充分性与必要性的方法一定义法且则是的充分不必要条件合满足条件的元素构成集合若则是的充分条件若若则是的充要条件若且解析:由|x-1|2 得-1x3.由 x(x-3)0 得 0 x3.因为“-1x3成立”“0 x3 成立”,但“0 x3 成立”“-1x3成立”.故选 B.评析:如果 p q,q p,则 p 是 q 的必要不充分条件.3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a=1时,直线x+y=0 和直线x-ay=0 互相垂直;当直线x+y=0 和直线x-ay=0互相垂直时,有 a=1.故选 C.评析:如果 pq,q p,则 p 是 q 的充要条件.4.x24 的必要不充分条件是()A.-2x2 B.-2x0 C.0 x2 D.1x3 解析:x24即为-2x2,因为-2x2-2x2,而-2x2 不能推出-2x2,所以 x24 的必要不充分条件是-2x2.选 A.5.(2011 天津)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数.”答案:B 题否命题逆否命题四种命题的关系两个互为逆否命题的真假是相同的原充要条件判断充分性与必要性的方法一定义法且则是的充分不必要条件合满足条件的元素构成集合若则是的充分条件若若则是的充要条件若且
