2023年人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点总结归纳1.pdf

学习必备 精品知识点 第十四章 整式乘除与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：mnm naaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.例 1在横线上填入适当的代数式：614_xx，26_xx.【答案】8x，4x【解析】试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果.6814xxx，.246xxx 考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 2计算：743aaa；【答案】14a【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果.743aaa.14a 考点：本题考查的是同底数幂的乘法 点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.2 幂的乘方 幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(例 1对于非零实数m，下列式子运算正确的是（）A923)(mm B623mmm C532mmm D426mmm【答案】D 学习必备 精品知识点【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果.A632mm，B523mmm，C32mm 与无法合并，故错误；D426mmm，本选项正确.考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 2计算：3223()()aa【答案】12a【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.32236612()()().aaaaa 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 3计算：9543()aaa；【答案】2a【解析】试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果.954314122().aaaaaa 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例 4计算：nmaa3)(；【答案】nma3【解析】试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.nmaa3)(nmaa3.3nma 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法 同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.14.1.3 积的乘方 积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.例 1计算的结果是 A.B.C.D.【答案】B【解析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可（a2b）3=（a2）3 b3=a6 b3=a6b3 故选 B 例 2计算（2a)3的结果是【】A.6a3 B.6a3 C.8a3 D.8a3【答案】D.【解析】根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算后作出判断：33332a)=2a=8a（.故选 D.例 3计算：332)(yx .【答案】69x y 【解析】试题分析：积的乘方法则：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.332)(yx69x y.考点：本题考查的是积的乘方 点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握积的乘方法则，即可完成.例 4计算：423)1(a；【答案】8a【解析】试题分析：先计算3)1(，再计算幂的乘方即可.423)1(a 42a.8a 考点：本题考查的是幂的乘方 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.23()a b33a b63a b36a b66a b同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 14.1.4 整式的乘法 1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.例 1单项式 4x5y 与 2x2（-y）3z 的积是（）A8x10y3z B8x7（-y）4z C-8x7y4z D-8x10y3z【答案】C【解析】试题分析：直接根据单项式乘以单项式的法则计算即可得到结果.由题意得zyxzyyxxzyxyx473253258)(24)(24，故选 C.考点：本题考查的是单项式乘单项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 2 cbacab532243.【答案】328ba【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则，同底数幂的乘法法则即可得到结果.328bacbacab532243.考点：本题考查的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法 点评：解答此题需熟知以下概念：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，相同字母的幂相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加 例 3计算：25x2y3516xyz=_；【答案】18x3y4z【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.25x2y3516xyz=25516 x2 x y3 y z=18x3y4z.考点：本题考查的是单项式乘单项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 4计算：2ab223a3=_；【答案】43a4b2【解析】试题分析：根据单项式乘单项式法则直接计算即可.2ab223a3=223 a a3 b2=43a4b2.考点：本题考查的是单项式乘单项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式.例 522xxy .【答案】yx24 【解析】试题分析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.22xxyyx24.考点：本题考查的是单项式乘单项式 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握单项式乘单项式法则，即可完成.2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式).例 1计算：)()(abbbaa；【答案】22ba【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)()(abbbaaabbaba22.22ba 考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 2计算：3211()(12)63xx yxy；同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点【答案】23442yxyx【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.3211()(12)63xx yxy.42234yxyx 考点：本题考查的是单项式乘多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 3计算：23(4)(31)aaba b；【答案】ababa4124422【解析】试题分析：根据单项式乘多项式法则化简即可.)13()4(32baaba.4124422ababa 考点：本题考查的是单项式乘多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 4计算：_)(32yxxyx.【答案】yxyx3233【解析】试题分析：根据单项式乘多项式的法则即可得到结果.)(32yxxyxyxyx3233.考点：本题考查的是单项式乘多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例 5计算：)1(2)12(322xxxxx.【答案】xxx3423【解析】试题分析：先根据单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可.)1(2)12(322xxxxx232322363xxxxx.3423xxx 考点：本题考查的是单项式乘多项式，合并同类项 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.例 1计算：（a+2b）（a-b）=_；同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点【答案】a2+ab-2b2 【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（a+2b）（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2 考点：本题考查的是多项式乘以多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项 例 2计算：（3x-y）（x+2y）=_【答案】3x2+5xy-2y【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可（3x-y）（x+2y）=3x2+6xy-xy-2y=3x2+5xy-2y 考点：本题考查的是多项式乘以多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项 例 3计算：（x+1）（x2-x+1）=_ _ _ 【答案】13x【解析】试题分析：根据多项式乘多项式法则化简即可.（x+1）（x2-x+1）=1223xxxxx13x 考点：本题考查的是多项式乘多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 4、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)mn 同底数幂相除，底数不变，指数相减.例 1计算：26aa=，25)()(aa=.【答案】4a，3a【解析】试题分析：根据同底数幂的除法法则即可得到结果.26aa4a，25)()(aa.)(33aa 考点：本题考查的是同底数幂的除法 同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.例 2计算：m3 m2 .【答案】m【解析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可：原式=32mm 5、零指数：10a，即任何不等于零的数的零次方等于 1.例 1012=A2 B2 C1 D1【答案】D.【解析】零指数幂.根据任何非 0 数的 0 次幂等于 1 解答即可：01=12.故选 D.例 2计算：|2|+（3）0=【答案】1【解 析】此 题 考 查 绝 对 值 的 运 算、幂 的 运 算 性 质 和 二 次 根 式 的 化 简，即02,(0),(0)|,1(0),|,(0),(0)a aa aaaaaaa aa a；解：原式2121 ；例 3计算：（-0.5）0（-12）-3【答案】-18【解析】试题分析：根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，即可得到结果.原式.81)8(1 考点：本题考查了零指数幂，负整数指数幂 点评：解答本题的关键是熟练掌握任意非 0 数的 0 次幂均为 0，负整数指数幂的运算法则：ppaa1（a0，p 是正整数）6、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.即：cbamcmmbmmammcmbmam)(14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式 平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方.例 1下列能用平方差公式计算的是（）A、)yx)(yx(B、)x1)(1x(C、)xy2)(yx2(D、)1x)(2x(【答案】B【解析】A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2，故本选项错误；B、（x-1）（-1-x）=-（x-1）（x+1）=-（x2-1），正确；C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；D、应为（x-2）（x+1）=x2-x-2，故本选项错误 故选 B 例 2计算 xyxy22的结果是（）A、xy 4 B、xy 4 C、224xy D、222xy【答案】C【解析】平方差公式的应用，原式=224xy，故选 C 例 3若 ab=2011，ab=1，则 a2b2=_.【答案】2011【解析】考点：平方差公式 分析：先根据平方差公式分解因式，再整体代入即可 解：a+b=2011，a-b=1，a2-b2=（a+b）（a-b）=2011 1=2011 故答案为：2011 例 4(a3)(3a)_ 【答案】9a2 同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点 【解析】根据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空 解：（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a2=9-a2 故答案是：9-a2 14.2.2 完全平方公式 完全平方公式：2222)(bababa 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾 2 倍中间放，符号和前一个样.公式的变形使用：（1）abbaabbaba2)(2)(2222；22()()4ababab 222)()()(bababa；222)()()(bababa（2）三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(2222 例 1若3ab,5ba，则2)ba(的值是（）A.25 B.19 C.31 D.37【答案】D【解析】解：37)3(454)()(222abbaba，故选 D.例 2计算：23229 .【答案】.91880【解析】试题分析：化31303229，再根据完全平方公式计算即可.9120900)3130()3229(22.91880 考点：题考查的是完全平方公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.2)(222bababa 例 3计算：（1）199.92=_；（2）512=_；（3）1-2 51+512=_【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500【解析】试题分析：根据完全平方公式依次分析各小题即可.同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确学习必备 精品知识点（1）199.92=（200-0.1）2=2002-2 200 0.1+0.12=40000-40+0.01=39960.01；（2）512=（50+1）2=502+2 50 1+12=2500+100+1=2601；（3）1-2 51+512=（1-51）2=（-50）2=2500 考点：本题考查的是完全平方公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a b）2=a2 2ab+b2 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 1、会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；2、提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 3、注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 14.3.2 公式法 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：1、平方差公式：a2b2（ab）（ab）2、完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 例 1已知2226aabb，则ab 【答案】6【解析】由题意得（a-b）2=6，则 例 2因式分解：244xx 【答案】2)2(x【解析】试题分析：根据完全平方公式即可得到结果.244xx 2)2(x 考点：本题考查的是完全平方公式 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：.)(2222bababa ab6同底数幂的乘除法法则即可得到结果考点本题考查的是同底数幂的乘法算答案解析试题分析根据同底数幂的乘法法则即可得到结果考点本题考变指数相乘幂的乘方法则可以逆用即例对于非零实数下列式子运算正确