2023年八年级数学-一元二次方程知识点总结归纳全面汇总归纳及典型习题1.pdf

学习必备 精品知识点 金老师复习（2）一元二次方程（一）、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式02cbxax（a0）；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0a时，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法 1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如nx 2的方程的解法：当0n时，nx;当0n时，021xx;当0n时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为nmx2)(的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为nmx2)(的形式；求解：若0n时，方程的解为nmx，若0n时，方程无实数解。（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242 当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042 acb时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为abxx221；当042 acb时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定cba,的值；代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；若042 acb代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（三）、根的判别式 1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参学习必备 精品知识点 数取值范围。（1）=acb42（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02cbxax（0a）当时00a方程有实数根；当时00a方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。例：求证：方程0)4(2)1(222aaxxa无实数根。（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。（四）、一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式bxan)1(表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有 100 米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50 米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？(3)已知：cba,分别是ABC的三边长，当0m时，关于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。（4）已知：cba,分别是ABC的三边长，求证：方程0)(222222cxacbxb没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442 xmx与0544422mmmxx的根都是整数？（6）已知关于x的方程02212222mxxmxx，其中m为实数，（1）当m为何值时，方程没有实数根？（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：（1）2m（2）21,1x.（六）相关练习（一）一元二次方程的概念 1一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）xx3252 数时整式方程才是一元二次方程各项的确定包括各项的系数及各项的未手段从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解根据方程系数的特点知数的一次式的平方而另一边是一个非负数可用开平方法求解形如的方学习必备 精品知识点（2）22)3(4)15(aa 2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值 (1)m为何值时，关于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2）若分式01872xxx，则x 3由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程01)1(22axxa有一个根为 0，则a (2)已知关于x的一元二次方程)0(02acbxax有一个根为 1，一个根为1，则cba ，cba （二）一元二次方程的解法 1开平方法解下列方程：（1）289)3(1692x (2)0)31(2m 2配方法解方程：（1）0522 xx (2)3422 yy 3公式法解下列方程：（1）2632 xx （2）pp3232 4因式分解法解下列方程：（1）04542 yy (2)1)5(2)5(2xx （3）02172xx 5解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：(1)3)(2()2(6xxxx (2)22)3(144)52(81xx （三）一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情况：（1）4xxx732 （2）xx4)2(32 (3)xx54542 2k为何值时，关于 x 的二次方程0962 xkx（1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根 3.k为何值时，方程0)3()32()1(2kxkxk有实数根.数时整式方程才是一元二次方程各项的确定包括各项的系数及各项的未手段从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解根据方程系数的特点知数的一次式的平方而另一边是一个非负数可用开平方法求解形如的方学习必备 精品知识点 （四）一元二次方程的应用 1已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.2.某印刷厂在四年中共印刷 1997 万册书，已知第一年印刷了 342 万册，第二年印刷了 500 万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？3某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？数时整式方程才是一元二次方程各项的确定包括各项的系数及各项的未手段从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解根据方程系数的特点知数的一次式的平方而另一边是一个非负数可用开平方法求解形如的方