2023年函数奇偶性知识点总结归纳与经典题型全面汇总归纳1.pdf

学习必备 精品知识点 函数奇偶性 知识梳理 1.奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()yf x的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxf x ，则这个函数叫奇函数.（2）偶函数：设函数()yf x的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxf x，则这个函数叫做偶函数.（3）奇偶性：如果函数()f x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x具有奇偶性.（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.注意：（1）奇函数若在0 x 时有定义，则(0)0f（2）若()0f x 且()f x的定义域关于原点对称，则()f x既是奇函数又是偶函数 2奇(偶)函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反 3.判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是偶函数；若 f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则 f(x)是奇函数 例题精讲【例 1】若函数2()f xaxbx是偶函数，求b的值.解：函数 f(x)ax2bx 是偶函数，f(x)f(x)ax2bx=ax2-bx.2bx=0.b0.【例 3】已知函数21()f xx在y轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一 判断函数的奇偶性【例 4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()|(1)f xxx；学习必备 精品知识点（2）1()f xxx；（3）()|1|1|f xxx ；（4）()22f xxx；（5）22()11f xxx（6）22,0(),0 xxxf xxxx 解：（1）2()|(1)f xxx的定义域为 R，关于原点对称 22()|()1|(1)()fxxxxxf x ()()fxf x，即()f x是偶函数 （2）1()f xxx的定义域为|0 x x 由于定义域关于原点不对称 故()f x既不是奇函数也不是偶函数（3）()|1|1|f xxx 的定义域为 R，关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)，f(x)|x1|x1|是奇函数（4）()22f xxx 的定义域为2，由于定义域关于原点不对称，故()f x既不是奇函数也不是偶函数（5）22()11f xxx的定义域为1，1，由(1)0f且(1)0f ，所以()0f x 所以()f x图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称 故()f x既是奇函数又是偶函数（6）显然定义域关于原点对称 当 x0 时，x0，f(x)x2x(xx2)；当 x0，f(x)xx2(x2x)即22(),0()(),0 xxxfxxxx 即()()fxf x ()f x为奇函数 题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)2，求 f(3)和 f(0)的值.解：f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)f(3)2，f(0)0.函数或偶函数那么我们就说函数具有奇偶性非奇非偶函数无奇偶性的函数的图象关于轴对称单调性奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数是偶函数若或则是奇函数例题精讲例若函数是偶函数求的值解函数是偶学习必备 精品知识点【例 5】已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 得()()fxf x ，()()gxg x 所以 f(1)g(1)2 f(1)g(1)4 由消掉 f(1)，得 g(1)3.题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式【例 6】已知函数()f x是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)x3x2，当 x0 时，求 f(x)的解析式.解：当0 x 时，有0 x 所以3232()()()fxxxxx 又因为()f x在 R 上为偶函数 所以32()()f xfxxx 所以当0 x 时，32()f xxx .【例 7】若定义在 R 上的偶函数()f x和奇函数()g x满足()()xf xg xe，求()g x.解：因为()f x为偶函数，()g x为奇函数 所以()()fxf x，()()gxg x 因为()()xf xg xe 所以()()xfxgxe 所以()()xf xg xe 由式消去()f x，得()2xxeeg x.课堂练习 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.函数()11f xxx 是（）A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x为奇函数，且当0 x 时，21()f xxx，则(1)f （）A.2 B.1 C.0 D.-2 3.f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)2，则当 x0时，有（）Af(x)2 Bf(x)2 Cf(x)2 D.f(x)R 4.已知函数 y=f（x）是偶函数，y=f（x2）在0，2上是单调减函数，则（）A.f（0）f（1）f（2）B.f（1）f（0）f（2）C.f（1）f（2）f（0）D.f（2）f（1）f（0）5.已知函数 f（x）=ax2bxc（a0）是偶函数，那么 g（x）=ax3bx2cx 是（）A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 6.定义在 R 上的奇函数 f（x）在（0，+）上是增函数，又 f（3）=0，则不等式 xf（x）0 的函数或偶函数那么我们就说函数具有奇偶性非奇非偶函数无奇偶性的函数的图象关于轴对称单调性奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数是偶函数若或则是奇函数例题精讲例若函数是偶函数求的值解函数是偶学习必备 精品知识点 解集为（）A.（3，0）（0，3）B.（，3）（3，+）C.（3，0）（3，+）D.（，3）（0，3）7.若 f(x)在5,5上是奇函数，且 f(3)f(1)，则下列各式中一定成立的是()Af(1)f(1)Cf(2)f(3)Df(3)f(5)8.设 f(x)在2，1上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x)在1,2 上()A为减函数，最大值为 3 B为减函数，最小值为3 C为增函数，最大值为3 D为增函数，最小值为 3 9.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，)上为增函数的是()Ayx3 Byx2 1 Cy|x|1 Dy2|x|10.若函数 f(x)(x1)(x a)为偶函数，则 a()A1 B1 C0 D不存在 11.偶函数 yf(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)0 的所有根之和为_ 12.如图，给出了偶函数 y=f(x)的局部图象，试比较 f(1)与 f(3)的大小.13.已知函数()(0)pf xxm px 是奇函数，求m的值.14.已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)g(x)x2x2，求 f(x)，g(x)的表达式 x y O 3 2 1 函数或偶函数那么我们就说函数具有奇偶性非奇非偶函数无奇偶性的函数的图象关于轴对称单调性奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数是偶函数若或则是奇函数例题精讲例若函数是偶函数求的值解函数是偶学习必备 精品知识点 15.定义在(1,1)上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围 16.函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f1225，求函数 f(x)的解析式 17.判断函数1()(1)1xf xxx 的奇偶性.函数或偶函数那么我们就说函数具有奇偶性非奇非偶函数无奇偶性的函数的图象关于轴对称单调性奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数是偶函数若或则是奇函数例题精讲例若函数是偶函数求的值解函数是偶