2023年初二三角形四边形动点问题知识点总结归纳及题超详细解析答案.pdf

名师总结 优秀知识点 三角形四边形动点问题 适用学科 初中 适用年级 初二 适用区域 人教版 课时时长（分钟）60 分钟 知识点 几何综合动点 教学目标 1、能掌握几何动点类问题的思想方法：数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 2、培养学生的几何动点问题中动中求静的思考能力 教学重点 培养学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力问题.教学难点 培养学生主动探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质.教学过程 一、复习预习 1.复习所学过的几何图形及其性质 2.列出所有几何图形的面积边长公式.二、知识讲解 专题一：一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。名师总结 优秀知识点 二、应用比例式建立函数解析式。三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题。（一）点动问题。（二）线动问题。（三）面动问题。二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。2、动手实践，操作确认。3、建立联系，计算说明。三、专题二总结，本大类习题的共性：1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数 2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。3 以双动点为载体，探求存在性问题。4 以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 专题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。三、例题精析【例题 1】如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，B=90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s的速度运动；动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向 B动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 以 3cm/s的速度运动P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts（1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？解析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答：解：（1）四边形PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 即当t=6 时，四边形PQCD 平行为四边形（2）过 D 作 DEBC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形 （3）由题意知：QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当 t=6.5（s）时，四边形 PQCD 为直角梯形 点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 【例题 2】如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x 0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 解析：以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、N 重合且点 Q、M 不重合，此时 AP+ND=AD即 2x+x2=20cm，BQ+MC BC即 x+3x 20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+ND AD 即 2x+x2 20cm，BQ+MC=BC即 x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解 x 的值 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点 Q 只能在点 M的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点 P 在点 N 的右侧时，AN=MC，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 如果以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得 AP+ND AD 即 2x+x2 20cm，BQ+MC BC 即 x+3x 20cm，AP=ND 即 2x=x2，BQ=MC即 x=3x，x 0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 解答：解：（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20，得 x1=-1，x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x=-1 符合题意 当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20，得 x=5 此时 DN=x2=2520，不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 所以所求 x 的值为-1（2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得 x1=0（舍去），x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时，由 20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得 x1=-10（舍去），x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP是平行四边形 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F 由于 2xx，所以点 E一定在点 P 的左侧 若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去），x2=4 由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点【例题 3】如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，C=90 ，BC=16，DC=12，AD=21，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间为 t（s）（1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 解析：（1）若过点 P 作 PM BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12，由 QB=16-t，可知：s=PM QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若 PQ=BQ，在 Rt PQM 中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间 t 求出；若 BP=BQ，在 Rt PMB 中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t求出；若 PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间 t 求出 解答：解：（1）过点 P 作 PM BC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12，QB=16-t，s=QB PM=（16-t）12=96-6t（0 t ）动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况 四、课堂运用【基础】1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒 1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动设点E移动的时间为t（秒）（1）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；解析（1）ED=t，CF=2t，S=SBCE+SBCF=12 8 4+12 2tt=16+t2 即S=16+t2（0 t 4）；（2）若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，EF2=222(24)51616tttt，EC2=222416tt ，251616tt=216t t=4 或t=0（舍去）；若EC=FC时，EC2=222416tt ，FC2=4t2，216t=4t2433t；若EF=FC时，EF2=222(24)51616tttt，FC2=4t2，251616tt=4t2t1=168 3（舍去），t2=168 3 当t的值为 4，433，168 3时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 【巩固】2.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 从 A 点出发，沿 ABCD路线运动，到 D 点停止；点 Q 从 D 点出发，沿 DCBA 运动，到 A 点停止若点 P、点 Q 同时出发，点 P 的速度为每秒 1cm，点 Q 的速度为每秒 2cm，a 秒时点 P、点 Q 同时改变速度，点 P 的速度变为每秒 b（cm），点 Q 的速度变为每秒 c（cm）如图 2 是点 P出发 x 秒后 APD 的面积 S1（cm2）与 x（秒）的函数关系图象；图 3 是点 Q 出发 x 秒后AQD 的面积 S2（cm2）与 x（秒）的函数关系图象根据图象：（1）求 a、b、c 的值；（2）设点 P 离开点 A 的路程为 y1（cm），点 Q 到点 A 还需要走的路程为 y2（cm），请分别写出改变速度后 y1、y2与出发后的运动时间 x（秒）的函数关系式，并求出 P 与 Q 相遇时 x 的值 【答案】(1)a=8；b=2；c=1 (2)y1=2x 8（x8）;y2=22 x（x8）;出发 10 秒时，P 与 Q 相遇 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点【解析】（1）观察图象得，S APQ=PA AD=（1 a）6=24，解得 a=8（秒）b=2（厘米/秒）（228）c=（12 2+6）2 8 解得 c=1（厘米/秒）（2）依题意得：y1=1 8+2（x8），即：y1=2x 8（x8），y2=（302 8）1（x8）=22 x（x8）又据题意，当 y1=y2时，P 与 Q 相遇，即 2x8=22 x，解得 x=10（秒）出发 10 秒时，P 与 Q 相遇【拔高】3.如图 1，在矩形 ABCD 中，点 P从 B点出发沿着四边按 BCDA方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a 秒后变为每秒 2 个单位匀速运动，b 秒后又恢复为每秒 m个单位匀速运动在运动过程中，ABP的面积 S 与运动时间 t 的函数关系如图 2 所示 （1）求矩形 ABCD 的长和宽；（2）求 m、a、b 的值【答案】(1)长方形的长为 8，宽为 4 (2)m=1;a=4；b=11 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点【解析】（1）从图象可知，当 6t 8 时，ABP面积不变 即 6 t 8 时，点 P 从点 C 运动到点 D，且这时速度为每秒 2 个单位 CD=2（86）=4 AB=CD=4 当 t=6 时（点 P 运动到点 C），S ABP=16 AB BC=16 4 BC=16 BC=8 长方形的长为8，宽为 4（2）当 t=a 时，S ABP=8=16 即点 P 此时在 BC 的中点处 PC=BC=8=4 2（6a）=4 a=4 BP=PC=4 m=BP a=4 4=1，当 t=b 时，S ABP=AB AP=4 4 AP=4，AP=2 b=13 2=11；课程小结 本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题，着重讲解几何中解决动点问题的思路，讲解过程中需让学生学会如何运用数形结合思想解决问题，学会动中求静。动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 课后作业【基础】1.如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B运动，速度为 2cm/s、点 M、N 分别从点 A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？【答案】(1)t=5时，四边形 MNCD 是平行四边形 (2)t=9时，四边形 MNCD 是等腰梯形【解析】（1）MD NC，当 MD=NC，即 15-t=2t，t=5 时，四边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DEBC，垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12时，即 2t-（15-t）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形 【巩固】2.正方形ABCD边长为 4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积 D A N 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 解析：RtRtABMMCN，44ABBMxMCCNxCN，244xxCN，22214114 4282102422ABCNxxySxxx 梯形，当2x 时，y取最大值，最大值为 10 拔高：3.如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC 厘米，点D为AB的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）1t 秒，3 13BPCQ 厘米，A Q C D B P 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系名师总结 优秀知识点 10AB 厘米，点D为AB的中点，5BD 厘米 又8PCBCBPBC，厘米，835PC 厘米，PCBD 又ABAC，BC ，BPDCQP PQvv，BPCQ，又BPDCQP，BC ，则45BPPCCQBD，点P，点Q运动的时间433BPt 秒，515443QCQvt厘米/秒。（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532 104xx，解得803x 秒 点P共运动了803803 厘米 802 2824，点P、点Q在AB边上相遇，经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇 动点问题中动中求静的思考能力教学重点培养学生的分析问题解决问题良好品质教学过程一复习预习复习所学过的几何图形及其性质列出所有点或某图形的有条件地运动变化引起未知量与已知量间的一种变化关系