2023年六年级奥数-数论综合二教师版.pdf

学习必备 欢迎下载 数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲：板块一 质数合数 【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来【解析】抽一张卡片，可写出一位数 1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数 12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数 123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为 6，都能被 3 整除，所以都是合数这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31 【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数 【解析】设这三个质数分别是a、b、c，满足11abcabc()，则可知a、b、c中必有一个为 11，不妨记为a，那么11bcbc ，整理得(1b)(1c)12，又121 122 63 4 ，对应的2b、13c 或3b、7c 或4b、5c (舍去)，所以这三个质数可能是 2，11，13 或 3，7，11 【例 3】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下 1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质数67所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数 【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617 ，共有 16 种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了 可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有 111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是 111 的倍数，而111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是 37 或 37 的倍数，但只能是 37 的 2 倍(想想为什么？)3 倍就不是两位数了 把九个三位数分解：111373、222376743、333379、44437 12746、55537 15、66637 18749、7773721、888372474 12、9993727 把两个因数相加，只有(743)77和(3718)55的两位数字相同所以满足题意的答案是 74和 3，37 和 18 板块二 余数问题 【例 5】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968 学习必备 欢迎下载 【例 6】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目由题意所求的自然数一定是 2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于 10 这个条件这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约数，319982 337 ，共有(1+1)(3+1)(1+1)=16 个约数，其中 1，2，3，6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个 【例 7】有一个整数，除 39，51，147 所得的余数都是 3，求这个数【解析】(法 1)39336，1473144，(36,144)12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于除数，这个数是4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12 【例 8】(20XX 年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是_【解析】(70110160)50290，50316.2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58，110581.52，5052，所以除数不是 58 70292.12，110293.23，160295.15，50152312，所以除数是29 【巩固】(20XX 年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=_【解析】n 能整除258251299163因为2538.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n 不能大于 63符合条件的只有 43 【例 9】一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是 17 【例 10】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的 2 倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的 2 倍求A等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603AKr 22939AKr 33393AKr 由于122rr，232rr，要消去余数1r，2r，3r，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减 这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4 于是我们可以得到下面的式子：11603AKr 22939222AKr 33393424AKr 这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被A整除 93926031275，3934603969，1275,969513 17 51 的约数有 1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以A等于 17 从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要学习必备 欢迎下载【例 11】(20XX 年南京市少年数学智力冬令营试题)20032与22003的和除以 7 的余数是_【解析】找规律用 7 除 2，22，32，42，52，62，的余数分别是 2，4，1，2，4，1，2，4，1，2的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为 4因为20033 667 222，所以20032除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1，所以22003除以 7 余 1 故20032与22003的和除以 7 的余数是415 【巩固】2008222008除以 7 的余数是多少？【解析】328除以 7 的余数为 1，20083 6691，所以20083 6691366922(2)2，其除以 7 的余数为：669122；2008 除以 7 的余数为 6，则22008除以 7 的余数等于26除以 7 的余数，为 1；所以2008222008除以 7 的余数为：213 【例 12】(20XX 年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？【解析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数 所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数 由于200954014，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数 【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第 2008 个数除以 3所得的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0 第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0 【例 13】(1997 年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213.依次写到第 1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 _ 【解析】本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和 19共有 9 个数字，1099共有 90 个两位数，共有数字：902180 (个)，100999共 900 个三位数，共有数字：90032700 (个)，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602.2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位从 100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除，702 个数能分成的组数是：702978 (组)，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为9-27 【例 14】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要学习必备 欢迎下载 余数为 8，那么 1031 除以 9 的余数也必须为 8，只能是3将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即3103131 1001143217 所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是 360 【例 15】设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D？【解析】由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和除以 9 的余数相同，所以20092009与A、B、C、D 除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则20092009除以 9 的余数与20092除以 9 的余数相同，而6264除以 9 的余数为 1，所以33420096 334 5652222除以 9 的余数为52除以 9 的余数，即为 5 另一方面，由于20092009803620091000010，所以20092009的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字之和不超过9 803672324，即72324A；那么A的各位数字之和9 545B ，B的各位数字之和9218C ，C小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么C为 5 或 14，C的各位数字之和为 5，即5D 板块三 完全平方数 【例 16】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现 而327223266 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍，由于231 3119222008232322048 ，所以22 1、222、2231都满足题意，即所求的满足条件的数共有 31 个 【例 17】一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设这个数减去63为2A，减去100为2B，则 22100633737 1ABABAB，可知37AB，且1AB，所以19A，18B，这样这个数为218100424 【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为 54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以 ABAB不是 4 的倍数，就是奇数，不可能是像 54 这样是偶数但不是 4 的倍数所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的 【例 18】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的 设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x5x是平方数，设2255xa，则25xa，223153 5xaa 是立方数，所以2a至少含有 3 和 5 的质因数各 2 个，即2a至少是 225，中间的数至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为 1123 板块四 位值原理 【例 19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数 如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 45，试求这样的两位数中最大的是多少？从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要学习必备 欢迎下载【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，(10)(10)9()45abbaabbaab，5ab，原两位数最大时，十位数字至多为 9，即9a，4b，原来的两位数中最大的是 94 【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大 8802求原来的四位数【解析】设原数为abcd，则新数为dcba，(100010010)(100010010)999()90()dcbaabcddcbaabcddacb 根据题意，有999()90()8802dacb ，111()10()97888890dacb 推知8da，9cb，得到9d，1a，9c，0b，原数为 1099 【例 20】(第五届希望杯培训试题)有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为,abc acb bac bca cab cba，因为10010abcabc，10010acbacb，它们的和是：222()1554abc ，所以15542227abc ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1，2，而7(12)4，所以最大的数最大为 4；又12367 ，所以最大的数大于3，所以最大的数为 4，其他两数分别是 1，2 【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数【解析】设三个数字分别为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abcacbbacbcacabcbaabcabcabcabc 所以288622213abc ，最小的三位数的百位数应为 1，十位数应尽可能地小，由于十位 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 9，此时十位数为13193 ，所以所 有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139 【巩固】a，b，c 分别是09中不同的数码，用 a，b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()abc 因为223422210，所以10abc 若11abc ，则所求数为222112234208，但2081011 ，不合题意 若12abc ，则所求数为222122234430，但430712 ，不合题意 若13abc ，则所求数为222132234652，65213 ，符合题意 若14abc ，则所求数为222142234874，但8741914 ，不合题意 若15abc ，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意 所以，只有13abc 时符合题意，所求的三位数为 652 板块五 进制问题 【例 21】在几进制中有4 13100？【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位 所以说进位制n为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个 但是式子中出现了 4，所以n要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制 从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要学习必备 欢迎下载 另外，由于101010(4)(13)(52)，因为52100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知道10n，那么n不能是 12 所以，n只能是 6 【巩固】算式15342543214是几进制数的乘法？【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是现在为 4，说明进走20416，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、8、4 或 2 因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、2 进位，而在十进制中有1534253835043214，所以在原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制 【例 22】在 6 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】(abc)6=a 62 b 6+c=36a+6b+c；(cba)9=c 92+b 9+a=81c+9b+a；所 以36a+6b+c=81c+9b+a；于是 35a=3b+80c；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1所以，b=0 或 5 当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c 0，所以 a=16，c=7但是在 6，9进制，不可以有一个数字为 16 当 b=5，则 35a=3 5+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后，3+2c 0 所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数)因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80 2，a=5 所以(abc)6 =(552)6=5 62+5 6+2=212这个三位数在十进制中为 212 课后练习：练习 1 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数【解析】设这三个质数分别是a、b、c，满足7()abcabc，则可知a、b、c中必有一个为 7，不妨记为a，那么7bcbc ，整理得(1)(1)8bc，又81 824 ，对应的b2、c9(舍去)或b3、c5，所以这三个质数可能是 3，5，7 练习 2 有一个大于 1 的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14 练习 3 将 1 至 2008 这 2008 个 自 然 数，按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出，得 一 个 多 位 数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以 9 的余数【解析】以 19992000 这个八位数为例，它被 9 除的余数等于19992000 被 9 除的余数，但是由于1999 与1999 被9除的余数相同，2000 与2000 被9除的余数相同，所以 19992000就与19992000被 9 除的余数相同 由此可得，从 1 开始的自然数 1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同 根据等差数列求和公式，这个和为：12008200820170362，它被 9 除的余数为 1 另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同 从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要学习必备 欢迎下载 因此，此数被 9 除的余数为 1 练习 4 在 7 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首先还原为十进制：27()77497abcabcabc ；29()99819cbacbacba 于是497819abccba；得到48802acb，即2440acb 因为24a是 8 的倍数，40c也是 8 的倍数，所以b也应该是 8 的倍数，于是0b 或 8 但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字于是0b，2440ac，则35ac 所以a为 5 的倍数，c为 3 的倍数 所以，0a 或 5，但是，首位不可以是 0，于是5a，3c；所以77()(503)5493248abc 于是，这个三位数在十进制中为 248 月测备选：【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来【解析】有六个这样的数，分别是 11，13，17，23，37，47 【备选 2】(20XX 年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和 等于 415，则被除数是_【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415）（）（，所以，被除数为3248479 【备选 3】1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是_【解析】先将 1016 分解质因数：310162127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为422127，故a 最小为2 127254 【备选 4】在几进制中有125 12516324？【解析】注意101010(125)(125)(15625)，因为1562516324，所以一定是不到 10 就已经进位，才能得到16324，所以10n 再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)，而 16324 的末位为 4，于是25421 进到上一位 所以说进位制n为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或 3 因为出现了 6，所以n只能是 7 从中抽出一张二张三张按任意次序排列出来可以得到不同的一位数二位都是合数这些数中是质数的有例三个质数的乘积恰好等于它们和的倍求字都要用到并且只能用一次那么这个数字最多能组成多少个质数解析要