2023年分式的知识点总结归纳及典型例题分析1.pdf

学习必备 精品知识点 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义：例：下列式子中，yx 15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xy x1、21、212x、xy3、yx 3、ma1中分式的个数为（）（A）2 （B）3 （C）4 (D)5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .；.下列式子，哪些是分式？；.2、分式有、无意义：（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0 按解方程的方法去求解；例 1：当 x 时，分式51x有意义；例 2：分式xx212中，当_x时，分式没有意义；例 3：当 x 时，分式112x有意义；例 4：当 x 时，分式12xx有意义；例 5：x，y满足关系 时，分式xyxy无意义；例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A122xx B.12 xx C.133xx D.25xx 例 7：使分式 有意义的 x 的取值范围为（）A B C D 例 8：要是分式)3)(1(2xxx没有意义，则 x 的值为（）A.2 B.-1或-3 C.-1 D.3 275xx123x25aa22xx 22bb222xyxy5a234x 3yy78x2xxyxy145b 2xx2x2x2x2x学习必备 精品知识点 3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式121aa的值为 0；例 2：当 x 时，分式112xx的值为 0 例 3：如果分式22aa的值为为零,则 a 的值为()A.2 B.2 C.2 D.以上全不对 例 4：能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（）A 0 x B 1x C0 x或1x D0 x或1x 例 5：要使分式65922xxx的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6：若01aa,则a是()A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变。例 1：abyaxy ；zyzyzyx2)(3)(6；如果75)13(7)13(5aa成立,则a的取值范围是_；例 2：例 3：如果把分式baba 2中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那么分式的值（）A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变 例 4：如果把分式yxx10中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的101)(1332baab)(cbacbCBCABACBCABA0C程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 5：若把分式xyx23的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式的值（）A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变 D缩小 6 倍 例 6：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23 B、223yx C、yx232 D、2323yx 例 7：根据分式的基本性质，分式baa可变形为（）A baa B baa C baa D baa 例 8：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，05.0012.02.0 xx ；例 9：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，211xxx=。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（1）yxyxyx122；（2）cabaacab；（3）1baab；（4）yxyxyxyx中正确的是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 例 2：下列约分正确的是（）A、326xxx；B、0yxyx；C、xxyxyx12；D、214222yxxy 例 3：下列式子正确的是()A022yxyx B.1yaya C.xzyxzxy D.0adcdcadcadc 例 4：下列运算正确的是（）程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 A、aaabab B、2412xx C、22aabb D、1112mmm 例 5：下列式子正确的是（）A22abab B0baba C1baba Dbabababa232.03.01.0 例 6：化简2293mmm的结果是（）A、3mm B、3mm C、3mm D、mm3 例 7：约分：2264xyyx ；932xx=；xyxy132；yxyxyx536.03151。例 8：约分：22444aaa ；)()(babbaa ；2)(yxyx 22yxayax ；1681622xxx ；6292xx 23314_21a bca bc29_3mm96922xxx_。例 9：分式3a2a2，22baba，)ba(12a4，2x1中，最简分式有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：222xxx最简公分母就是 22xx。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：4222xxx最简公分母就是 2242xxx 程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：2222xxxx最简公分母是：22xx 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例 1：分式nmnmnm2,1,122的最简公分母是（）A)(22nmnm B222)(nm C)()(2nmnm D22nm 例 2：对分式2yx，23xy，14xy通分时，最简公分母是（）Ax2y B 例 3：下面各分式：221xxx,22xyxy,11xx,2222xyxy，其中最简分式有（）个。A.4 B.3 C.2 D.1 例 4：分式，的最简公分母是 .例 5：分式 a 与1b的最简公分母为_；例 6：分式xyxyx2221,1的最简公分母为 。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1：mnm22=例 2：141322222aaaa=例 3：xyxyxy=412a42 aa程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 4：22222222yxxxyyyxyx=计算（1）abbbaa （2）2222)()(abbbaa 例 5：化简1x+12x+13x等于（）A 12x B32x C116x D56x 例 6：cabcab 例 7：22142aaa 例 8：xxxxxx13632 例 9：211xxx 练习题：（1）22ababbab （2）xxxx2144212 （3）bab-ab2 例 10：已知：0342 xx 求442122xxxxx的值。分式的乘法：乘法法测：=.分式的除法：除法法则：=例题：计算：（1）746239251526yxxx （2）13410431005612516axayx 计算：（10）22221106532xyxyyx badcbdacbadcbacdbcad程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 求值题：（1）已知：43yx，求xyxyxyyxyxyx2222222的值。求值题：（1）已知：432zyx 求222zyxxzyzxy的值。（2）已知：0325102yxx求yxyxx222的值。9、分式的求值问题：一、所求问题向已知条件转化 例1已知x+x1=3，则1242 xxx的值 。例 2：若 ab=1，则1111ba的值为 。例 3：已知x2，y，求的值.二、由已知条件向所求问题转化 例 4：已知13aa ，那么221aa_；例 5：已知311yx，则yxyxyxyx55的值为（）A 27 B 27 C 72 D 72 例 6：如果ba=2，则2222bababa=12222424()()xyxy11xyxy程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 输入 n 计算n（n+1）n 50 Yes No 输出结果 m 例 7：已知 y=3xy+x，求代数式yxyxyxyx2232的值 例 8：已知2xa与2xb的和等于442xx，则 a=,b=。例 9：若0yxxy，则分式xy11（）A、xy1 B、xy C、1 D、1 练习 1：已知x为整数，且+为整数，求所有符合条件的x值的和.2：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+的值为_ 10、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，根据其规律可知第个数应是（n为正整数）例 2：观察下面一列分式：2345124816,.,x xxxx根据你的发现，它的第 8 项是 ，第 n 项是 。例 3：按图示的程序计算，若开始输入的 n 值为 4，则最后输出的结果 m是 （）A 10 B 20 C 55 D 50 例 4：当 x=_时,分式x51与x3210互为相反数.例 5：在正数范围内定义一种运算，其规则为abba11，根据这个规则 x23)1(x的解为（）A32x B1x C32x或 1 D32x或1 例 6：已知4)4(422xCBxxAxx，则_,_,CBA；23x23x22189xxx21程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 7：先填空后计算：111nn=。2111nn=。3121nn=。（3 分）（本小题4分）计算：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn 解：)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1nnnnnnnn =11、分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为 0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根 例 1：如果分式121xx的值为1，则 x 的值是 ；例 2：要使2415xx与的值相等，则x=_。例 3：当 m=_ 时，方程21mxmx=2 的根为12.例 4：如果方程3)1(2xa 的解是 x5，则 a 。例 5：(1)132xx (2)13132xxx 例 6:解方程：22416222xxxxx 例 7：已知：关于 x 的方程xxxa3431无解，求 a 的值。例 8：已知关于 x 的方程12xax的根是正数，求 a 的取值范围。例 9：若分式21x与32xx的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；例 10：当 m为何值时间？关于x的方程21122xxxxxxm的解为负数？例 11：解关于x的方程)0(2aabxaxb 程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 12：解关于 x 的方程:)0(21122abaabaxbax 例 13：当 a 为何值时,)1)(2(21221xxaxxxxx的解是负数?例 14 关于 x 的方程)1)(2(121xxmxxxx的解为负值，求 m的取值范围。12、分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程3xx+1=3xm有增根，则 m=例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程3423xxxk不会产生增根；。例 3：若方程342(2)axxx x 有增根，则增根可能为（）A、0 B、2 C、0 或 2 D、1 13、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 b.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法 c.工程问题：基本公式：工作量=工时工效 d.顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水 工程问题：例 1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_ 小时。例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6 个字，小明打 120个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为 x 个/分钟，则列方程正确的是（）A xx1806120 B xx1806120 C 6180120 xx D 6180120 xx 程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成;如果乙工作队独做,则超过规定日期 3 天,现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x天,下面所列方程中正确的是()A.213xxx;B.233xx;C.1122133xxxx;D.113xxx 例 4：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读 21 页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读 x 页,则下列方程中,正确的是（）A、1421140140 xx B、1421280280 xx C、1211010 xx D、1421140140 xx 例 5：某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，乙、丙两队合做 10 天完成，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的32。求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为 （）A32180180 xx B31802180 xx C 32180180 xx D31802180 xx 例 2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 顺水逆水问题：例 1：A、B两地相距 48 千米，一艘轮船从 A地顺流航行至 B地，又立即从 B地逆流返回 A地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A、9448448xx B、9448448xx C、9448x D、9496496xx 例 2：一只船顺流航行 90km与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为 xkm/h，则可列方程（）A、=B、=C、+3=D、+3=例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时 3 千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例 1：八年级 A、B两班学生去距学校 4.5 千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的 3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？例 2：A、B两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从 A地驶出 3 小时后，一辆小汽车也从 A 地出发，它的速度是公共汽车的 3 倍，已知小汽车比公共汽车迟 20分钟到达 B地，求两车的速度。数字问题：例 1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加 1,则这个分数等于41,求这个分数.例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。290 x260 x290 x260 xx90 x60 x60 x90程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理学习必备 精品知识点 例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。14、公式变形问题：例 1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U像距为 V，凸透镜的焦距为 F，且满足FVU111，则用 U、V表示 F应是（）（A）UVVU （B）VUUV （C）VU （D）UV 例 2：已知公式（），则表示的公式是（）A B C D 例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式：1u1v=1f 若 f 6 厘米，v8 厘米，则物距 u 厘米.例 4：已知梯形面积,)(21hbaSS、a、b、h 都大于零，下列变形错误是（）AbaSh2 B.bhSa2 C.ahSb2 D.)(2baSh 例 5：已知bbaaNbaMab11,1111,1,则M与N的关系为()A.MN B.M=N C.MN D.不能确定.12111RRR12RR1R212RRRRR212RRRRR1212()R RRRR212RRRRR程的方法去求解例当时分式有意义例分式中当时分式没有意义例当时分习必备精品知识点分式的值为零使分式值为零令分子且分母注意当分子的值是或或例要使分式的值为则的值为或例若则是正数负数零任意有理