2023年函数的单调性和奇偶性精品讲义.pdf

精品资料 欢迎下载 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D为函数y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()xxxxf xf xf xf xxxxxf xf xf xf x增函数或“同增异减”减函数或（2）函数单调性的证明的一般步骤：设1x，2x是区间D上的任意两个实数，且12xx 作差12()()f xf x，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；确定12()()f xf x的符号；给出结论 证明函数单调性时要注意三点：1x和2x的任意性，即从区间D中任取1x和2x，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；有序性，即通常规定12xx；同区间性，即1x和2x必须属于同一个区间。（3）设复合函数 xgfy 是定义区间 M上的函数，若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调性相反，则 xgfy 在区间 M上是减函数；若外函数 f(x)与内函数 g(x)的单调性相同，则 xgfy 在区间 M上是增函数。概括起来，即“同增异减 II 号”（4）简单性质：()f x与()f x单调性相同；()f x与()f x及1()f x单调性相反 在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。（5）必须掌握特殊函数单调性 一次函数ykxb：精品资料 欢迎下载 二次函数2yaxbxc：反比例函数kyx：双钩函数kyxx：注：函数的多个单调区间通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值（1）定义：()f x的最大值：()f x最大的函数值；()f x的最小值：()f x最小的函数值（2）求最值方法与求值域方法类似 函数的奇偶性 1定义:设 y=f(x)，定义域为 A且 A关于原点对称，如果对于任意xA，都有()()fxf x，称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x)，定义域为 A且 A关于原点对称，如果对于任意xA，都有()()fxf x ，称 y=f(x)为奇函数。概括起来，即()()()()f xf xfxf x 定义域关于原点对称为偶函数，()()()()f xf xfxf x 定义域关于原点对称为奇函数 2 函数奇偶性的判断的步骤：求()f x定义域，若()f x定义域不关于原点对称，则函数()f x既不是奇函数也不是偶函数；若()f x定义域关于原点对称，则判断()f x与()fx的关系 判断()f x与()fx的关系，若()()fxf x，则()f x为偶函数；若()()fxf x ，则()f x为奇函数；若()()fxf x 且()()fxf x ，则()f x既是奇函数又是偶函数；若()()fxf x 且()()fxf x，则函数()f x既不是奇函数也不是偶函数 3.性质：（1）若()f x为奇函数，则：()()fxf x ；()f x图像关于原点对称；0 在()f x定义域内时有(0)0f；()f x在关于原点对称的区间上单调性相同 几种特殊的奇函数yx，3yx，1yx，sinyx（2）若()f x为偶函数，则：()()fxf x；()f x图像关于y轴对称()f x在关于原点对称的区间上单调性相反；几种特殊的偶函数：yx，2yx，cosyx 即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载 注：若二次函数2yaxbxc为偶函数，则0b；在同一定义域内，=奇 偶 奇，=奇奇 奇，=偶 偶 偶；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式()0f x 二、典例例题解析：题型一 单调性的定义 例1 定义在R上的函数()f x对任意两个不相等的实数,a b总有()()0f af bab，试判断()f x单调性。例 2 若()f x在区间(,)a b上是增函数，在区间(,)b c上也是增函数，则函数()f x在区间(,)(,)a bb c上（）A.必是增函数 B.必是减函数 C.是增函数或减函数 D.无法确定单调性 变式训练 下列说法中正确的有个 若12,x xI，当12xx时，12()()f xf x，则()yf x在I上是增函数 函数2yx在R上是增函数；函数1yx 在定义域上是增函数；1yx的单调区间是(,0)(0,)题型二 单调性的证明 例1 证明函数1yxx 在区间(0,1)上为减函数 例2 证明函数2()1f xxx 在其定义域内是减函数 例3 已知函数()yf x在(0,)上为增函数，且()0(0)f xx，试判断1()()F xf x在(0,)上的单调性，并给出证明过程 即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载 题型三 利用单调性求函数值域和最值 例1 求下列函数的最值 ()12f xxx；()33f xxx；()11f xxx 1()22f xxx 1(),1,)xf xxx 变式 如果函数2()-23f xxx，求()f x的单调区间和值域 例2 已知2()2(1)2f xxa x在(,4，上是减函数，求a的取值范围 变式 1 已知2()2(1)2f xxa x的减区间是(,4，求a的值 变式 2 函数 f(x)=x 2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为 （）A、42,12 B、42，-14 C、12，-14 D、无最大值，最小值-14.变式 3 函数 y2x2(a1)x3 在(，1内递减，在(1，)内递增，则 a 的值是 ()A.1 B.3 C.5 D.1 例 3 若1()2axf xx在区间(-2,)上是减函数，求a的的取值范围 变式 1 函数()yf x的图象如图所示：则12()logg xfx的单调减区间是（）X Y O 12 1 即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载 2.1,2.,1.0,12,.,12,2ABCD和和变 式2、已 知 3141l o g1aaxaxfxxx是 R 上的减函数，那么a的取值范围是（）1111.0,1.0,.,.,13737ABCD 题型四 抽象函数的单调性 例1 已知函数()yf x是(,)上的增函数，且(23)(56)fxfx，求x的取值范围 变式 已知函数()yf x的定义域为 2,2，且()f x在区间 2,2上是增函数且(1)()fmf m，求m的取值范围 例2 已知函数()yf x在0,)上是减函数，比较3()4f与2(1)f aa 的大小 例3 已知定义在区间(0,)上的函数()f x满足()()()xff xf yy，且当1x 时()0f x 求(1)f的值；判定()f x的单调性；若(3)1f，求()f x在2,9上的最小值 变式 已知定义在区间(0,)上的增函数()f x满足()()()xff xf yy，(2)1f，解不等式1()()23f xfx 即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载 例4 函数 f(x)是定义在(0，)上的减函数，对任意的 x，y(0，)，都有 f(x y)f(x)f(y)1，且 f(4)5.(1)求 f(2)的值；(2)解不等式 f(m 2)3 变式 已知函数()f x定义域为R，且对,m nR，恒有()()()1f mnf mf n，且1()02f，当12x 时，()0f x 求1()2f证明：()f x在R上为增函数 题型五 函数的奇偶性概念 例 1 下列说法中错误的个数为（）图像关于坐标原点对称的函数是奇函数图像关于y轴对称的函数是偶函数 奇函数的图像一定过坐标原点偶函数的图像一定与y轴相交 A.4 B.3 C.2 D.0 变式 下列判断正确的是（）A.定义在R上的函数()f x，若(1)(1)ff，且(2)(2)ff，则()f x是偶函数 B.定义在R上的函数()f x满足(2)(1)ff，则()f x在R上是增函数 C.定义在R上的奇函数()f x在区间(,0上是减函数，则在区间(0,上也是减函数 D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个 题型六 函数奇、偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性（定义法）31()f xxx 1()(1)1xf xxx21()22xf xx 2()21f xxx()22f xxx 22()11f xxx 1212)(xxxf)1lg()1lg()(xxxf 例 2 判断下列函数奇偶性（定义法或图像法）即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载(1),0()(1),0 x xxf xx xx 22230()00230 xxxf xxxxx ()2,2,1,0,1,2f xx 例 3 判断下列函数奇偶性（抽象函数）()()()F xf xfx ()()()F xf xfx ()()()F xf xfx，其中()f x为奇函数函数()f x定义域为R，并且对任意x y R、均满足()()()f xyf xf y，判断()f x奇偶性，并证明。设函数()(0)yf x x并且对任意非零实数x y，均满足()()()f xyf xf y，求证：()f x为偶函数 函数()f x不恒为 0()xR，对任意x y R、均满足()()2()()f xyf xyf x f y 求证：()f x为偶函数 题型七 奇偶性的应用 1 求函数值 例 1 已知53()8f xaxbxcx 且(3)10f，求(3)f 变式 1 已知f(x)=x5+ax3+bx6 且，f(3)=10，则f(-3)的值为 变式 2 已知定义在 R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)()A2 B.154 C.174 Da2 变式 3 已知 g(x)为奇函数，xxgxxxf2)()1(log)(22，且 f(-3)=841，求 f(3)；变式 4 设f(x)是定义在 R上的奇函数，当x0 时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D3 变式 5 已知()f x是定义在 R上的奇函数，若(2)()f xf x ，则(6)f的值为_ 2 求解析式 例 1 已知()f x是奇函数，当0 x 时，()2f xx x，求0 x 时，()f x解析式 变式 1 奇函数f(x)在(0，)上的解析式是f(x)x(1 x)，则在(，0)上f(x)的函即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调精品资料 欢迎下载 数解析式是()Af(x)x(1 x)Bf(x)x(1 x)Cf(x)x(1 x)Df(x)x(x1)变式 2 设 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又 f(x)+g(x)=11x求 f(x)和 g(x).例2 函数2()=1axbf xx是定义在(1,1)上的奇函数，且12()25f，求()f x解析式 变 式 1 若 函 数2()3fxa xxb是R上 的 奇 函 数，则)(xf的 解 析 式 为_ 变式 2 若函数(1)()yxxa为偶函数，求a 3 解不等式 例 1 设()f x为定义在R上的偶函数，在(,0)上递增，且(1)(21)f afa，求a的取值范围 变式 1 已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f13的x取值范围是()A.13，23 B.13，23 C.12，23 D.12，23 变式 2()f x为偶函数，在0,)上单调递减，且(21)(3)fxf x，求x的取值范围 4 奇偶性与单调性的综合应用 例1 设()f x是R上的偶函数，()f x在0,)上单调递增，试比较(2),(3),()fff大小 例2()f x是定义在 R上的偶函数，且(3)0f，()f x在0,)上单调递增，则不等式()0f x 的解集为_ 变式 1 定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有2121()()0f xf xxx，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)变式 2 设()f x是定义在 R上的奇函数，且(2)0f，()f x在0,1上单调递增，在1,)上单调递减，则不等式()0f x 的解集为_ 即增函数同增异减减函数或或函数单调性的证明的一般步骤设是区间上从区间任取和证明单调性时不可随意用量额特殊值代替有序性即通常规区间上是增函数概括起来即同增异减号简单性质与单调性相同与及单调